Planche 4 : réduction

(1)

Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif

PC Planche 4

Polynômes

approfondissement

Exercice 0 :

 

P X de degré supérieur ou égal à deux.

On suppose que P est scindé et toutes ses racines sont simples. Montrer que P' est scindé.

Exercice 1 : 𝑃(𝑋) = 𝑋 + 𝑋 + 𝑋 + 𝑋 + 1 1. Décomposer 𝑃 dans ℝ[𝑋]

2. En déduire les valeurs exactes de cos et cos sous forme de radicaux Exercice 2 :

Soit 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] de degré ≥ 2. Montrer que la fonction ℂ → ℂ

𝑥 ↦ 𝑃(𝑥) n’est pas injective.

Exercice 3 (classique)

Pour tout entier naturel non nul k, on pose : ^{P x}^k

 

^

 

^x²^¹



^k



^{ }^k ^.

Montrer que Pk admet k racines distinctes dans l’intervalle

 

^^1,1

Exercice 4

Déterminer les entiers naturels n tels que,



^X^¹



ⁿ^^Xⁿsoit divisible par X² X 1 Exercice 5

Déterminer les entiers naturels n tels que,



^X^¹



ⁿ^^Xⁿ^¹soit divisible par X² X 1 Exercice 6

Soient n un entier non nul,

 

xi ₁_{ }i nune famille de réels distincts 2 à 2 et P[X].

Donner dans [X] le reste de la division euclidienne de P par

 

1 n

i i

X x







Exercice 7

Soient

 

ai ₀_{ }i n une famille de n réels distincts deux à deux.

Et

 

0

j i

j n i j

j i

L X X a

a a

 

 



 ^{le i}^èmepolynôme d’interpolation de Lagrange associé à la famille

 

ai ₀_{ }i n

Simplifier les polynômes

0

n k

k i i

i

P a L





^pour^k^

_

^0,ⁿ^²

_

Exercice 8 Soit n^* et ^:

   

'

n X n X

Q Q Q

 



 



1. Montrer que  est un isomorphisme.

2. Soit Pn

 

X , et le polynôme ^Q^^^¹

 

^P . Exprimer Q en fonction de P 3. Soit Pn

 

X ^telqueP0. Montrer que ^^¹

 

^P ^⁰

Exercice 9 :

Déterminer tous les polynômes P de 

 

^X tel que : ^{P X}

 

² ^^{P X P X}

^{  }

^¹