Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif
PC Planche 4
Polynômes
approfondissement
Exercice 0 :
P X de degré supérieur ou égal à deux.
On suppose que P est scindé et toutes ses racines sont simples. Montrer que P' est scindé.
Exercice 1 : 𝑃(𝑋) = 𝑋 + 𝑋 + 𝑋 + 𝑋 + 1 1. Décomposer 𝑃 dans ℝ[𝑋]
2. En déduire les valeurs exactes de cos et cos sous forme de radicaux Exercice 2 :
Soit 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] de degré ≥ 2. Montrer que la fonction ℂ → ℂ
𝑥 ↦ 𝑃(𝑥) n’est pas injective.
Exercice 3 (classique)
Pour tout entier naturel non nul k, on pose : P xk
x21
k
k .
Montrer que Pk admet k racines distinctes dans l’intervalle
1,1Exercice 4
Déterminer les entiers naturels n tels que,
X1
nXnsoit divisible par X2 X 1 Exercice 5Déterminer les entiers naturels n tels que,
X1
nXn1soit divisible par X2 X 1 Exercice 6Soient n un entier non nul,
xi 1 i nune famille de réels distincts 2 à 2 et P[X].Donner dans [X] le reste de la division euclidienne de P par
1 n
i i
X x
Exercice 7
Soient
ai 0 i n une famille de n réels distincts deux à deux.Et
0
j i
j n i j
j i
L X X a
a a
le ième polynôme d’interpolation de Lagrange associé à la famille
ai 0 i nSimplifier les polynômes
0
n k
k i i
i
P a L
pour k
0,n2
Exercice 8 Soit n* et :
'
n X n X
Q Q Q
1. Montrer que est un isomorphisme.
2. Soit Pn
X , et le polynôme Q1
P . Exprimer Q en fonction de P 3. Soit Pn
X telque P0. Montrer que 1
P 0Exercice 9 :
Déterminer tous les polynômes P de