MÉCANIQUE
Chapitre 3
Mécanique du solide
3.1. Cinématique du solide
Définition d’un solide
Un solide est, par définition, un système matériel indéformable dans les conditions de liaisons où on le considère. La distance entre deux points quelconques d’un solide est donc invariante et nous pouvons définir un référentiel par rapport auquel le solide est immobile.
Définir la situation d’un solide dans l’espace requiert donc au maximum six coordonnées scalaires : trois coordonnées pour définir la position de l’origine du référentiel lié au solide et trois angles pour en définir l’orientation. Si le solide est soumis à des liaisons, le nombre de paramètres nécessaires pour en définir la situation peut être inférieur à six.
Solide dont les mouvements sont limités par des liaisons
Voici quelques exemples de liaisons, citées ici dans le seul but de rappeler les termes de vocabulaire usuels. Les schémas sont reproduits depuis l’encyclopédie WIKIPÉDIA.
Exemples de liaisons laissant un seul degré de liberté au solide
Un solide est en liaison pivot par rapport à un support lorsqu’il présente en permanence au moins deux points fixes. Dans ce cas le seul degré de liberté autorisé est la rotation autour de la droite passant par ces points. C’est l’axe de la liaison.
Un solide est en liaison glissière par rapport à un support lorsque qu’il est astreint à se déplacer de façon rectiligne dans une direction donnée. Il n’existe alors qu’un seul degré de liberté de translation.
La liaison glissière hélicoïdale, ou liaison vis-écrou, est caractérisée l’existence de deux degrés de liberté combinés : la rotation autorisée est simultanée à la translation dans un rapport qu’on appelle le pas de vis.
De ce fait, il faut considérer que le système vis-écrou ne dispose que d’un seul degré de liberté.
Liaison pivot Liaison glissière Liaison glissière hélicoïdale
Exemples de liaisons laissant deux degrés de liberté au solide
Un solide est en liaison pivot glissant par rapport à un support lorsqu’il est susceptible de se déplacer par translation selon un axe autour duquel il peut tourner : il existe alors un degré de liberté de translation et un degré de liberté de rotation.
Un solide est en liaison cardan par rapport à un support lorsqu’il existe alors deux degrés de liberté de rotation autour de deux axes orthogonaux. La liaison rotule à doigt, présentée ci-dessous, est un exemple de liaison cardan.
Exemples de liaisons laissant trois degrés de liberté au solide
Un solide est en liaison rotule par rapport à un support lorsqu’il est susceptible de tourner dans toutes les directions de l’espace autour d’un point fixe : il existe alors trois degrés de liberté de rotation.
Un solide est en liaison appui plan par rapport à un support plan lorsqu’il peut se déplacer dans les deux directions de translation du plan tout en pouvant tourner autour d’un axe orthogonal au plan.
Exemples de liaison laissant quatre degrés de liberté au solide
Une liaison linéaire rectiligne est obtenue entre un solide et un support dans le cas, par exemple, d’un cylindre posé sur un support plan. La liaison linéaire rectiligne supprime deux degrés de liberté, il reste au solide seulement deux degrés de liberté de translation et deux degrés de liberté de rotation.
Une liaison linéaire annulaire correspond au cas d’une sphère se promenant dans un cylindre de même diamètre. Le centre de la sphère coïncide alors en permanence avec l’axe du cylindre et il subsiste trois degrés de liberté de rotation et un seul de translation.
Liaison linéaire rectiligne Liaison linéaire annulaire
Liaison rotule Liaison appui plan
Liaison pivot glissière Liaison rotule à doigt
Exemple de liaison laissant cinq degrés de liberté au solide
Une liaison ponctuelle entre solide et un support est établie lorsque le seul contact est réduit à un point.
C’est la liaison la plus simple que l’on puisse imaginer. Par exemple, une sphère posée sur un plan ou un cylindre posé sur un autre cylindre croisé permettent un tel contact. Dans ce cas, un seul degré de liberté est supprimé : il s’agit de la translation perpendiculaire au plan tangent du contact
Fils de liaison
Deux solides peuvent être reliés par un fil. La première caractéristique d’un fil idéal est de ne présenter aucune inertie.
Nous envisagerons alors le cas idéal d’un fil souple inextensible qui, lorsqu’il est tendu, agit sur les solides par des forces de tension : ces efforts sont transmis d’un solide à l’autre, dans la direction du fil, sans aucune variation.
Nous envisagerons également le cas de fils élastiques : il apparaît alors des différences de tension entre les extrémités du fil. Nous utiliserons souvent le modèle de l’élasticité linéaire. Si est la longueur du fil et 0 sa longueur au repos, alors la force de rappel est proportionnelle à l’élongation du fil :
(
0)
F = −k −
Le coefficient de proportionnalité k s’appelle la raideur du fil élastique linéaire. Un ressort hélicoïdal sans masse est souvent assimilable à un fil élastique.
Nous envisagerons enfin le cas de fils de torsion transmettant un couple d’un solide à l’autre dont le moment est colinéaire au fil. Nous utiliserons souvent le modèle de l’élasticité linéaire. Si ϕ est la position angulaire du fil et ϕ0 sa position angulaire au repos, alors le couple de rappel a un moment proportionnel à l’angle de torsion du fil :
(
0)
M = − ϕ − ϕC
Le coefficient de proportionnalité C s’appelle la constante de torsion du fil de torsion linéaire. Un ressort spiral sans masse est souvent assimilable à un fil de torsion.
Torseur cinématique
{
Ω,v( )
P}
La vitesse d’un point P du solide est liée à la vitesse d’un point M du solide par la relation caractéristique :
( ) ( )
M P PMv =v + Ω ∧
Le vecteur Ω
est le vecteur rotation instantanée du solide. Conformément aux limitations du programme de mécanique de deuxième année, nous limiterons nos applications aux seuls cas où le vecteur Ω
est nul (solide en translation) ou ne change pas de direction (solide en rotation autour d’un axe de direction fixe).
Les vitesses des points d’un solide se comportent donc comme les moments d’un torseur que l’on qualifie de torseur cinématique. La résultante de ce torseur s’identifie à la vitesse instantanée de rotation.
Liaison ponctuelle
Équiprojectivité
En conséquence, le champ des vecteurs vitesses d’un solide est équiprojectif : A et B étant deux points différents d’un solide, AB⋅v
( )
A =AB⋅v( )
B .Dans le cas particulier d’un solide en translation pure, Ω = 0
et tous les points du solide ont la même vitesse.
Dans le cas particulier d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, O étant un point de cet axe, la vitesse en un point P quelconque s’écrit : v
( )
M = Ω ∧ OM.Contacts entre solides : glissement, roulement, pivotement
Les solides sont, par définition, impénétrables. Aussi, lorsque deux solides viennent au contact, des actions mécaniques réciproques apparaissent qui assurent cette liaison.
Les seuls mouvements possibles des solides compatibles avec le maintien du contact sont des mouvements de glissement, de roulement et de pivotement.
On dit qu’il y a glissement lorsque les deux points en contact I (appartenant au solide 1 S1) et I 2 (appartenant au solide S2) n’ont pas la même vitesse. On appelle vitesse de glissement du solide S2 par rapport au solide S1, la différence des vitesses de I et de 1 I : 2 vg2/1=v
( ) ( )
I2 −vI1. Cette vitesse appartient au plan tangent aux deux solides au point de contact.
Notons Ω = Ω − Ω2 /1 2 1
le vecteur rotation instantanée du solide S2 par rapport au solide S1. On dit qu’il y a pivotement lorsque le vecteur Ω2 /1
a une projection non nulle sur la direction orthogonale au plan tangent aux solides au point de contact et l’on nomme vitesse instantanée de pivotement la composante normale du vecteur Ω2 /1
(nous n’étudierons pas, dans le cadre de ce cours, les actions mécaniques intervenant dans un pivotement).
On dit qu’il y a roulement lorsque le vecteur Ω2 /1
a une projection non nulle parallèlement au plan tangent aux solides au point de contact et l’on nomme vitesse instantanée de roulement la composante tangentielle du vecteur Ω2 /1
. Le roulement sans glissement est un cas particulier important : nous traduirons cette circonstance en écrivant que la vitesse de glissement est nulle.
3.2. Éléments cinétiques d’un solide
Moment cinétique du solide Moment cinétique par rapport à un axe ∆
, moment d’inertie On considère un solide en rotation autour d’une axe
∆
. Rappelons que le moment cinétique L∆ d’un système matériel par rapport à un axe orienté ∆
est défini comme la projection LO⋅e∆ sur cet axe du moment cinétique LO
en un point O de l’axe.
Chaque point P du solide décrit une trajectoire circulaire de centre H autour de l’axe, où H est le projeté orthogonal du point P sur l’axe ∆
.
∆
( )
P P vH
O
Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe ∆
, chaque élément de matière de masse dm= ρ
( )
P dτsitué autour du point P dans le volume dτ, apporte une contribution d LO
au moment cinétique en O :
( ) ( )
O OP P P
d L=∧vρ dτ
Ce moment cinétique s’écrit encore :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2( )
O OH P P HP P P OH P P r HP P
d L=∧vρ dτ +∧vρ dτ = − v ρ d eτ + Ω ρ d eτ ∆ Le moment cinétique se projette sur l’axe ∆
selon dL∆ =d LO⋅ = Ωe∆ HP2ρ
( )
P dτ et nous obtenons L∆ en intégrant cette expression sur le volume du solide :( )
2 P
HP P
L∆ d J∆
= Ω
∫∫∫
∈τ ρ τ = Ω
Le moment cinétique d’un solide par rapport à un axe est proportionnel à la vitesse angulaire algébrique de rotation autour de l’axe orienté. La grandeur J∆, fondamentalement positive et indépendante de l’orientation de l’axe ∆
, est appelée Moment d’inertie du solide selon l’axe ∆ :
( )
2 P
HP P
J∆ d
=
∫∫∫
∈τ ρ τ Attention ! Le moment d’inertie en un point O de l’axe ∆a également, dans le cas général, une composante radiale. Lorsque cette composante radiale est nulle, on dit que ∆
est une axe d’inertie principal du solide. C’est le cas lorsque l’on considère une rotation autour d’un axe de symétrie d’un solide.
Exemple : considérons une barre homogène AB, de longueur et de masse m, en rotation autour d’un axe fixe ∆
qui fait avec la barre un angle θ et passant par l’une de ses extrémités A.
Calculons, dans ce cas précis, l’expression du moment cinétique en A :
( )
A 0
AP m P L =
∫
∧ vd
avec v
( )
P = Ω ∧ AP= Ω×AP sinθ eϕsoit : LA = Ω θm sin
∫
0(
AH+HP)
∧ ×eϕ APdAP =13m2Ω θ −sin(
ercosθ +ezsinθ)
Nous en déduisons le moment cinétique L∆ par rapport à l’axe ∆
de la barre en rotation :
( )
2A
1 sin
z 3
L∆ =L ⋅ =e m θ Ω
Nous voyons bien sur cet exemple que le moment cinétique présente une composante radiale non nulle.
Cela ne sera pas sans conséquence du point de vue mécanique.
Dans ce mouvement de rotation, il apparaîtra des efforts sur l’axe dus à un « effet de ballant » consécutif au fait que l’axe de rotation n’est pas un axe principal d’inertie.
∆
A
θ B
Ω H P LA
Exemples de moments d’inertie
Le programme des classes préparatoires prévoit explicitement que l’on n’exige pas de la part des élèves de calcul intégral de moments d’inertie. Dans tous les cas, les expressions des moments d’inertie utiles seront données dans les énoncés de concours.
Cela n’empêche pas que la définition des moments d’inertie doit être connue, associée à une compréhension qualitative de l’importance de l’écart des masses par rapport à l’axe de rotation : ainsi, chacun doit être capable d’argumenter pour justifier qu’un cylindre creux a un moment d’inertie autour de son axe de symétrie supérieur à celui d’un cylindre plein de même rayon et de même masse.
Voici, à titre d’exemples, quelques moments d’inertie de solides usuels par rapport à un axe de symétrie de ces solides.
Théorème de Huyggens
Par application du théorème de König relatif au moment cinétique, nous pouvons écrire par projection sur l’axe de rotation ∆ du moment cinétique en un point A immobile de l’axe :
( ( ) )
*
A AI I
L∆ =L ⋅ =e∆ L e⋅ +∆ ∧m v ⋅ =e∆ J∆Ω
∆
Barre homogène de longueur 2 ou plaque homogène de largeur 2 par rapport à l’axe de symétrie
Cerceau ou surface cylindrique homogène de rayon par rapport à l’axe de symétrie
R
Disque ou cylindre plein homogène de rayon par rapport à l’axe de symétrie
R
J∆ =mR2 1 2
J∆ = 2mR
∆
∆
Surface sphérique homogène de rayon par rapport à un axe de symétrie
R
Sphère pleine homogène de rayon par rapport à un axe de symétrie
R 2 2
J∆ = 5mR 2 2
J∆ = 3mR 1 2
J∆ =3m
L*
représente le moment cinétique barycentrique et L∆* =L e*⋅ ∆ représente la projection du moment cinétique barycentrique sur l’axe ∆
. La vitesse v
( )
I du centre d’inertie a pour expression( )
I AI AHv= Ω ∧e∆ = Ω ∧e∆
, le point H étant le projeté orthogonal de A sur l’axe ∆I
parallèle à l’axe
∆
et passant par le centre d’inertie I.
( )
( ) ( ( ) )
* * * 2
AI AH AH AH AH
L∆ =L e⋅ +∆ ∧m Ω ∧e∆ ⋅ =e∆ L e⋅ +∆ ∧m Ω ∧e∆ ⋅ =e∆ L e⋅ + Ω∆ m Soit, en posant
I
* *
L∆ =L e⋅ =∆ J∆ Ω, moment cinétique du solide par rapport à l’axe ∆I
parallèle à ∆ passant par le centre d’inertie I du solide. Nous en déduisons la relation
I
AH2
J∆ =J∆ +m qui correspond au théorème d’Huyggens :
Théorème d’Huyggens
Le moment d’inertie J∆∆∆∆ d’un solide par rapport à un axe quelconque ∆∆∆∆ est égal au moment d’inertie
J∆∆∆∆I par rapport à un axe ∆∆∆∆I parallèle à ∆∆∆∆ passant par le centre d’inertie I du solide plus le produit de la masse m du solide par le carré de la distance entre les deux axes ∆∆∆∆ et ∆∆∆∆I.
Énergie cinétique d’un solide Solide en translation
Tous les éléments de matière du solide étant alors animés de la même vitesse v
, l’intégrale des énergies cinétiques élémentaire se ramène à l’intégrale définissant la masse du solide. L’énergie cinétique d’un solide en translation est identique à l’énergie cinétique d’un point matériel de même masse qui se déplacerait à la vitesse du solide.
( ) ( )
2 2( )
2k P P
1 1 1
P P P
2v d 2v d 2m v
∈τ ∈τ
=
∫∫∫
ρ τ =∫∫∫
ρ τ =E
Solide en rotation autour d’un axe fixe
Considérons un solide autour d’un axe fixe quelconque. L’énergie cinétique du solide en rotation s’exprime comme la somme intégrale des énergies cinétiques élémentaires, chaque point P situé à une distance HP de l’axe de rotation étant animé d’une vitesse de module HP×Ω :
( ) ( )
2 2 2( )
2k
P P
1 1 1
P P HP P
2v d 2 d 2J∆
∈τ ∈τ
=
∫∫∫
ρ τ =∫∫∫
Ω ρ τ = ΩE
Remarque : cette expression est valable quel que soit l’axe ∆
, celui-ci n’est pas nécessairement un axe de symétrie, ni même un axe principal d’inertie. N’oublions pas cependant que le moment cinétique LA
en un point A quelconque de l’axe de rotation n’est pas nécessairement colinéaire à l’axe. L’expression suivante de l’énergie cinétique convient tout aussi bien : k 1 A 1
2L 2L∆
= ⋅Ω = ⋅Ω
E .
Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
Par application des théorèmes de König, nous pouvons toujours exprimer les éléments cinétiques d’un solide en rotation autour d’un axe en mouvement de translation, la direction restant fixe. Nous décomposons le mouvement en un mouvement de rotation autour de l’axe ∆*
parallèle à ∆
passant par le centre d’inertie I du solide et en un mouvement de translation d’ensemble du solide à la vitesse v
( )
I .Le deuxième théorème de König s’écrit alors :
( )
2 *( )
2* 2
k k
1 1 1
I I
2mv 2J∆ 2mv
= + = Ω +
E E
Exemple : considérons un cylindre de rayon R, de masse m et de moment d’inertie J0 par rapport à son axe, roulant sans glisser sur un plan et dont la vitesse de translation a pour module V.
Quelle est son énergie cinétique dans le référentiel où l’on observe ce roulement ? Le théorème de König s’écrit k 1 0 2 1 2
2J 2mV
= Ω +
E et la condition de non glissement V = ΩR. Nous en déduisons : k 1 02 2
2
m J V R
= +
E soit 2
k
3 4mV
=
E dans le cas d’un cylindre plein homogène et
2 k =mV
E dans le cas d’un cylindre creux dont la masse est répartie de façon homogène en surface. Nous constatons que dans tous les cas, l’énergie cinétique est supérieure à l’énergie cinétique 1 2
2mV du cylindre en translation, y compris lorsque le rayon du cylindre devient très petit !
3.3. Dynamique du solide
Nous nous limitons, dans cette section, à l’étude d’un solide unique animé d’un mouvement de translation pure, de rotation pure autour d’un axe fixe ou de rotation autour d’un axe dont la direction reste fixe au cours du mouvement. Dans le dernier cas, nous décomposerons systématiquement le mouvement en un mouvement de translation d’ensemble du solide et un mouvement de rotation autour d’un axe ∆I passant par son centre d’inertie.
Les théorèmes généraux de la dynamique des systèmes matériels s’applique au solide et prennent alors une forme particulièrement simple.
Actions mécaniques
Le plus délicat est de faire correctement le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées au solide en rendant compte particulièrement des actions de liaison. Nous étudierons plus particulièrement les actions de liaison entre solides en contact dans la section suivante.
Nous avons démontré que, de la façon la plus générale, la puissance des actions intérieures à un système matériel est indépendante du référentiel dans lequel on l’exprime. Des forces intérieures existent bien sûr et sont même à l’origine de la cohésion du solide.
Pour un solide, dans le référentiel lié au solide, la puissance des actions intérieures est clairement nulle puisque aucun point matériel n’est animé de la moindre vitesse. Nous en déduisons cette propriété importante : seules travaillent les actions extérieures appliquées à un solide.
Dans l’étude dynamique du mouvement d’un solide, nous pouvons faire totalement abstraction des forces intérieures.
Théorèmes généraux de la mécanique du solide Théorème de la résultante cinétique
Le théorème de la résultante cinétique s’applique à un solide à l’identique de son expression générale pour un système matériel. Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par l’accélération de son centre d’inertie :
( )
ext I
F =m a
Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe
Le théorème du moment cinétique prend une forme simplifiée dans le cas particulier d’un solide en rotation autour d’un axe fixe puisque l’on peut se limiter à la projection des moments sur l’axe de rotation.
Dans un référentiel galiléen, la résultante des moments par rapport à un axe de rotation fixe des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de son moment d’inertie J∆ par rapport à cet axe par l’accélération angulaire autour de cet axe. Soit, en notant ϕ l’angle de rotation du solide autour de l’axe fixe ∆
:
2 2
dL d d
M J J
dt dt dt
∆ ∆ ∆
∆
Ω ϕ
= = =
Théorème du moment cinétique par rapport à un axe de direction fixe
Enfin, dans le cas d’un solide en rotation par rapport à un axe de direction fixe, il convient d’appliquer le théorème de la résultante cinétique par rapport à un axe ∆I parallèle à cette direction et passant par le centre d’inertie I du solide.
Dans le référentiel barycentrique d’un solide1, la résultante des moments des forces extérieures appliquées par rapport à un axe de rotation de direction fixe passant par le centre d’inertie I est égale au produit de son moment d’inertie
J∆I par rapport à cet axe par l’accélération angulaire autour de cet axe. Soit, en notant ϕ* l’angle de rotation du solide autour de l’axe de direction fixe ∆I
:
I
I I
I
2 * 2
dL d d
M J J
dt dt dt
∆ ∆ ∆
∆
Ω ϕ
= = =
Théorème de l’énergie cinétique
Comme nous l’avons déjà vu, seules sont à considérer les actions mécaniques extérieures appliquées au solide. Chaque force appliquée développe une puissance ………..
3.4. Dynamique des systèmes de solides
Contact entre deux solides. Frottement solide. Loi de Coulomb
Mouvement d’un solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
1 Ce référentiel n’est pas, en général, galiléen
