TS -Lycée Desfontaines
Exemple d’une étude complète d’un polynôme
Soitf la fonction définie parf(x) =−x3+ 12x2−21x−50. Etudierf cad déterminer :
– son domaine de définition
– ses limites aux bornes ouvertes de son domaine de définition – son domaine de dérivabilité
– sa dérivé ainsi que le signe de la dérivée – son sens de variation
– son tableau de variations
• f est un polynôme donc définie surR.
• Limites : A l’infini , la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré .
Donc
x→−∞lim f(x) = lim
x→−∞
−x3= +∞ et lim
x→+∞f(x) = lim
x→+∞
−x3=−∞.
• Dérivée, signe de la dérivée et variations def
f est un polynôme donc dérivable surRet∀x∈R, f′(x) =−3x2+ 24x−21.
f′ est un polynôme de degré2. Son discriminant est ∆ = 242−4×(−3)×(−21) = 324 = 182.
△>0doncf′ admet deux racinesx1=−24−18
−6 = 7etx2= −24 + 18
−6 = 1etf′est du signe dea=−3donc négatif à l’extérieur de ses racines .
Donc
f′(x)<0⇔x∈]− ∞; 1[∪]7 ; +∞[ f′(x)>0⇔x∈]1 ; 7[
f′(x) = 0⇔x= 1oux= 7
f est donc strictement décroissante sur]− ∞; 1], strictement croissante sur [1 ; 7], strictement décroissante sur [7 ; +∞[.
• D’où le tableau de variations suivant : x
f
f′(x) − 0 + 0 −
+∞
−∞ 1 7
−60
48
−∞
+∞
S’entraîner :
1. Soitf la fonction définie parf(x) = 2 3x3−3
2x2+ 7x−11. Etudier f.
2. Soitg la fonction définie parg(x) =x3−5
2x2+ 2x+ 7 . Etudier g.
3. Soithla fonction définie parh(x) =1
3x3−2x2+ 4x−1 . Etudier h.
4. Vous pouvez traiter l’exo 1 du DM1 corrigé et surtout l’exo 1 du DM1 à faire pour la rentrée.
C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/1 Méthodes
