Corrigé du DM1
Exercice 1 : L’énoncé se traduit par :
൜ ܽ = ܾݍ + ݎ
ܽ + 168 = ሺܾ + 4ሻݍ + ݎ
On en déduit : ܾݍ + ݎ + 168 = ܾݍ + 4ݍ + ݎ puis 4ݍ = 168 enfin ݍ = 42. Le quotient est donc 42.
Exercice 2 : La division euclidienne se traduit par : ݊ = 7ݍ + ݎ avec 0 ≤ ݎ < 7 De plus ݍ = ݎ donc ݊ = 7ݎ + ݎ = 8ݎ
Ainsi les entiers cherchés sont les multiples de 8 inférieurs ou égaux à 8 × 6 = 48 Conclusion : ݊ ∈ ሼ0; 8; 16; 24; 32; 40; 48ሽ
Exercice 3 : Pour tout entier naturel n, 4݊ + 8 = 2ሺ2݊ + 1ሻ + 6 6 est-il le reste dans cette division euclidienne quel que soit ݊ ? 2݊ + 1 > 6 ⇔ ݊ > 5
2 ⇔ ݊ ≥ 3 ∶ cᇱest donc bien le reste pour tout ݊ ≥ 3 Il reste à étudier les cas ݊ = 0, ݊ = 1 et ݊ = 2 :
Si ݊ = 0, 4݊ + 8 = 8 et 2݊ + 1 = 1 : Le reste de 8 par 1 est 0 Si ݊ = 1, 4݊ + 8 = 12 et 2݊ + 1 = 3 : Le reste de 12 par 3 est 0 Si ݊ = 2, 4݊ + 8 = 16 et 2݊ + 1 = 5 : Le reste de 16 par 5 est 1
Exercice 4 : Amorce : Pour ݊ = 1, 4ସ×ଵାଶ− 3ଵାଷ = 4 − 3ସ = 4015 = 11 × 365
Hérédité : Supposons que, pour un certain entier naturel non nul ݇, 4ସାଶ− 3ାଷ est divisible par 11, montrons que 4ସሺାଵሻାଶ− 3ሺାଵሻାଷ est divisible par 11.
On part de 4ସାଶ− 3ାଷ = 11ݍ où ݍ ∈ ℤ et on doit montrer qu’il existe un entier ݍ′ tel que 4ସା− 3ାସ= 11ݍ′.
4ସା− 3ାସ= 4ସ × 4ସାଶ− 3 × 3ାଷ= 4ସሺ3ାଷ+ 11ݍሻ − 3 × 3ାଷ= 3ାଷሺ4ସ− 3ሻ + 11ݍ × 4ସ
= 3ାଷ× 253 + 11ݍ × 4ସ = 11 ቆ23 × 3ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥାଷ+ 4ସݍ
∈ℤ
ቇ On vient donc de prouver l’hérédité de cette propriété.
Conclusion : Pour tout entier naturel ݊ supérieur ou égal à 1, 4ସାଶ− 3ାଷ est divisible par 11.
Exercice 5 :
1. On sait (ou on le démontre) que la somme et le produit des racines d’un trinôme du second degré
ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ sont respectivement égaux à − et .
Ici la somme des racines est égale à –ି௦ଵ = ݏ et leur produit à ଶଵହଵ = 2015
2. Les solutions de l’équation sont entières et leur produit est 2015 : les solutions sont donc des couples de diviseurs de 2015.
Or ࣞାሺ2015ሻ = ሼ1; 5; 13; 31; 65; 155; 403; 2015ሽ On peut regrouper les résultats dans un tableau :
ݔଵ ݔଶ ݏ
1 2015 2016
5 403 408
13 155 168
31 65 96
Les valeurs possibles de ݏ sont alors 96, 408, 168 et 2016.
