Cours 15
ÉTUDE COMPLÈTE 1
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Concavité et le lien avec la dérivée seconde
✓ Points d’inflexions
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Asymptote
✓ Analyse complète
Asymptotes
On vient de voir que la limite nous a permis de définir rigoureusement un concept, soit la dérivée.
Et bien, la limite nous permet aussi de définir correctement le concept d’asymptote.
Définition On dit que la fonction f(x) possède une asymptote verticale en x = a si
Définition On dit que la fonction f(x) possède une asymptote horizontale en y = k si
ou
ou avec
Asymptote verticale
Asymptote horizontale
Exemple Donc
Du dernier exemple, on peut tirer que si
Forme Limite
et
Exemple
Ça NE veut PAS dire que si on a une fonction telle que ,
Exemple
Regardons ce qui ce passe si on divise par l’infini.
Remarque: n’a pas de sens.
Exemple
Forme Limite et
Si
Ceci nous amène à chercher à évaluer des limites de la forme
Pour ce genre de limite il y a, pour le moment, essentiellement qu’une façon de procéder.
Mais prendre des limites à l’infini fait apparaitre de nouvelles formes d’indétermination, soient
C’est de mettre la plus grande puissance de x en évidence.
Exemple
Exemple
Bien qu’algébriquement on voit que ça fonctionne bien, on aurait pu raisonner ces problèmes plus simplement.
Lorsqu’on a un polynôme, le monôme du plus grand degré est le terme dominant vers plus ou moins l’infini.
Termes négligeables Termes dominants
Exemple
On peut donc «voir» directement la réponse.
Exemple Déterminer les asymptotes horizontales et verticales de la fonction
Donc on a des asymptotes verticales en et
Donc on a une asymptote horizontale en
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
Faire une analyse complète d’une fonction revient à aller chercher toute l’information qu’on peut sur cette fonction.
1. Son domaine.
2. Ses asymptotes
3. Ses intervalles de croissance et de décroissance 4. Ses extrémums
5. Ses intervalles de concavité 6. Ses points d’inflexions
7. Une esquisse du graphe
Exemple
Ses zéros sont
Exemple
Aucun point critique.
Point critique:
min
Exemple
min
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Analyse complète
Faites les exercices suivants
p.198 Ex. 6.7 a) et b)
