Sujet 1 : exo 1

I Sujet 1

EXERCICE 1 :

Étude de la série de terme général :an= sin 1

n

−ln

1 + 1 n

• • •

EXERCICE 2 :

Étude de la série de terme général :cn = (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ;.

• • •

EXERCICE 3 :

Convergence et somme deX

un avecun = (−1)ⁿn²+n+ 1 2ⁿ .

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II Sujet 2

EXERCICE 1 :

Étude de la série de terme général :wn= n

2

a²ⁿ

• • •

EXERCICE 2 :

Étude de la série de terme général :an= (−1)ⁿn!

nⁿ .

• • •

EXERCICE 3 :

Dans cet exercice, il s’agit de déterminer les polynômesP ∈R[X] tels que la série de terme général un=√³

n³+ 1−p⁴ P(n) soit convergente.

1. En utilisant une condition nécessaire de convergence d’une série numérique, déterminer le degré deP. 2. Déterminer les polynômesP.

III Sujet 3

EXERCICE 1 :

Étude de la série de terme général :dn= e^−√n+1.

• • •

EXERCICE 2 :

Étude de la série de terme général :dn= (−1)ⁿ n+ 1 n²+n+ 3.

• • •

EXERCICE 3 :

ϕ:R−→R x 7−→xe^−x Étudier la convergence des séries de terme généralϕ(n),ϕ(−n) etϕ

1 n

; si elles convergent, calculer leur somme.

Corrections

Sujet 1 : exo 1

On utilisant les développements généralisés : n>1, an= 1 n − 1

6n³ +o 1

n³

− 1

n− 1 2n² +o

1 n²

an= 1 2n²+o

1 n²

doncan ∼

n→+∞

1

2n², qui est le terme général d’une série convergente (α= 2)

• • •

Sujet 1 : exo 2

cn existe pourn>2 car√ n >1.

Pourn>2, cn−(−1)ⁿ

√n = −1

√n[√

n+ (−1)ⁿ] ₊∼

∞−1 n. (−1)ⁿ

√n est le terme général d’une série convergente (critère spécial des séries alternées).

On a donc cn =

cn−(−1)ⁿ

√n

+ (−1)ⁿ

√n , terme général somme de deux termes généraux dont le premier est celui d’une série divergente et le second celui d’une série convergente d’où la divergence deX

n>2

cn.

• • •

Sujet 1 : exo 3

Xun avecun = (−1)ⁿn²+n+ 1 2ⁿ .

|un|= n²+n+ 1

2ⁿ et n²+n+ 1

2ⁿ ∼

n→+∞

n²

2ⁿ et lim

n→+∞

n² 2ⁿ = 0.

|un+1|

|un| =1

2 ×n²+ 3n+ 3

n²+n+ 1 et |un+1|

|un| −1 = −n²+n+ 1 2(n²+n+ 1). Or−n²+n+ 1 =5

4 −

n−1 2

²

, ce qui permet de dire que sin>2,−n²+n+ 1<0 et donc |un+1|<|un|, ce qui implique que (|un|)n>2 est décroissante.

X

n>2

un satisfait au critère spécial des séries alternées donc elle est convergente.

Remarque 1 lim

n→+∞

|un+1|

|un| = 1

2 <1 donc on obtient la convergence absolue deX

un par le critère de d’Alembert.

Calcul de la sommeS : on remarque quen²+n+ 1 =n(n−1) + 2n+ 1 S=

+∞

X

0

(−1)ⁿn²+ 2n+ 1

2ⁿ =

+∞

X

0

n(n−1)

−1 2

ⁿ + 2

+∞

X

0

n

−1 2

ⁿ +

+∞

X

0

−1 2

ⁿ

Si l’on considère connues les sommes suivantes :

+ + +

Remarque 2 Sommes précédentes : Le point de départ est

+∞

X

n=0

xⁿ = 1

1−x,avecx∈]−1; +1[

(1−x)

p

X

n=1

nxⁿ⁻¹=

p

X

n=1

nxⁿ⁻¹−

p

X

n=1

nxⁿ=

p−1

X

n=0

(n+ 1)xⁿ−

p

X

n=1

nxⁿ=

p−1

X

n=0

xⁿ−px^p , on fait tendrepvers +∞, donc px^p_n−→

→+∞0 puisque|x|<1 et l’on obtient :

+∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹= 1 (1−x)². Même démarche à partir de (1−x)

p

X

n=2

n(n−1)xⁿ⁻² =

p

X

n=2

n(n−1)xⁿ⁻²−

p

X

n=2

n(n−1)xⁿ⁻¹ =

p−1

X

n=1

(n+ 1)nxⁿ⁻²−

p

X

n=2

n(n−1)xⁿ⁻¹= 2−p(p−1)x^p−1+ 2

p−1

X

n=2

nxⁿ⁻¹ On fait tendre pvers +∞et l’on divise par 1−x,

+∞

X

n=2

n(n−1)xⁿ⁻²= 2 1−x

1 + 1

(1−x)²−1x⁰

= 2

(1−x)³

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Sujet 2 : exo 1

wn>0 etwn = n!

(n−2)!2!a²ⁿ= n(n−1)a²ⁿ

2 puis wn+1

wn

= (n+ 1)n n(n−1)a². On a donc lim

n→+∞

wn+1

wn

=a² Avec le critère de d’Alembert, on obtient

• Si a <1,X

wn converge ;

• Si a >1,X

wn diverge ;

• Si a= 1,wn= n(n−1)

2 −→

n→+∞+∞doncX

wn diverge grossièrement.

• • •

I Sujet 2 : exo 2

an+1

an

= (n+ 1)!

n! × nⁿ (n+ 1)ⁿ⁺¹ =

n n+ 1

n

= e^{−nln(1+1/n)}.

−nln

1 + 1 n

+∼∞−1 donc

an+1

an

_n−→

→+∞e⁻¹ et e⁻¹<1. La règle de d’Alembert assure la convergence absolue de la série de terme général (an).

• • •

Sujet 2 : exo 3

un=√³

n³+ 1−p⁴ P(n) 1. SiX

un est convergente alorsun −→

n→+∞0. Comme p⁴

P(n) =√³

n³+ 1−un, on a : p4

P(n) =n

1 + 1 n³

¹₃

−un=n

1 + 1 3n³ + o

1 n³

−un

n

Or un

n _n−→

→+∞0 donc p⁴

P(n)₊∼

∞net P(n)₊∼

∞n⁴. AinsiP est de degré 4 et il existe (a, b, c, d)∈R⁴ tel que P(X) =aX⁴+aX³+bX²+cX+d

2. p⁴

P(n) =n

1 + a n+ b

n² + c n³ + d

n^{4 1}₄

DL.ordre3= n

1 + a 4n+ b

4n² + c 4n³ − 3

32 a² n² − 3

16 a³ n³ + 7

128 a³ n³ + o

1 n³

il est rappelé que : (1 +x)^α=

0 1 +αx+α(α−1)x²

2 +α(α−1)(α−2)x³

6 + o(x³).

Ainsi, par addition des DL : un =√³

n³+ 1−p⁴

P(n) =−a

4 −8b−3a²

32n +

1 3− c

4 +3a 16−7a³

128 1

n² + o 1

n²

Xun est convergente si, et seulement si,a= 0 = 8b−3a²si, et seulement si, a= 0 =b.

Les polynômes cherchés sont de la forme :P(X) =X⁴+cX+d

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Sujet 3 : exo 1

dn > 0 etn²dn ₊∼

∞(n+ 1)²e^−√n+1; or (n+ 1)²e^−√n+1 −→₊

∞ 0 etdn =o 1

n²

, ce qui assure la convergence de Xdn.

• • •

Sujet 3 : exo 2

dn = (−1)ⁿ n+ 1

n²+n+ 3, on peut encore prouver que dn− (−1)ⁿ n ₊∼

∞

(−1)ⁿ−3

n³ et (−1)ⁿ−3

n³ terme général d’une série absolument convergente.X

n>0

dn converge.

On pouvait également utiliser le critère spécial des séries alternées :un= n+ 1

n²+n+ 3, et (un)n>1décroissante, tendant vers 0.

• • •

Sujet 3 : exo 3

• an=ϕ(n) =ne⁻ⁿ etan>0. De plusn²an= n

eⁿ doncn²an _n−→

→+∞0, d’oùan= o 1

n²

et X

an converge.

An

1−1

e

=− n eⁿ⁺¹ +1

e

1− ¹_en

1−¹_e et An

1−1

e

n−→→+∞

1 e−1 On a donc

+∞

X

n=0

ϕ(n) = e (e−1)²;

• bn=ϕ(−n) =−neⁿ et−neⁿ_n−→

→+∞−∞doncX

bn est divergente ;

• cn=ϕ 1

n

= 1

ne⁻¹ⁿ et 1

ne⁻ⁿ¹ ₊∼

∞

1

n doncX

cn est divergente.