2/ Déterminer la convergence de la série de TG vn = 1 nlnn, défini pourn ≥2

LM 257 Examen II 27-06-2012

Exercice n^o1 10−10

1/ Déterminer la convergence de la série de TG u_n= 1

nln²n, défini pour n ≥2.

2/ Déterminer la convergence de la série de TG v_n = 1

nlnn, défini pourn ≥2.

Exercice n^o2 5−15 Pour toutα >0 on noteI_α =

Z +∞

0

sint t^α dt.

1/ Déterminer selon α ∈ R∗

+ les singularités de I_α. 2/ Déterminer selon α ∈ R∗

+ la convergence de I_α. Exercice n^o3 5−5−15

Pourn ∈ N∗ on définit sur R+ la fonction u_n en posant u_n(x) = ln

1 + x² n²

. 1/ Vérifier que la série de fonctions de TGu_n converge simplement sur R+.

2/ Montrer que la série de fonctions de TGu⁰_n ne converge pas normalement surR+. On note S la somme définie sur R⁺ par S(x) =

+∞

X

n=1

un(x)

3/ Montrer que S est dérivable surR⁺. Exercice n^o4 5−5−5−5−15

Pour toutn on notev_n la fonction définie sur [0,1]par u_n(x) =xⁿ.

1/ Soit0< a <1. Montrer que la série de fonctions de TG u_n converge normalement sur[0, a].

2/ En notant queln(1−a) =− Z a

0

dt

1−t, montrer que pour0< a < 1, ln(1−a) = −

+∞

X

n=1

aⁿ n . 3/ Vérifier que

Z 1

0

tⁿlnt dt= −1 (n+ 1)².

Pour toutn ≥1on définit v_n sur [0,1] en posant v_n(x) = xⁿlnx

n pour x >0 et v_n(0) = 0.

4/ Montrer que la série de fonctions de terme généralv_n converge normalement sur [0,1].

5/ Montrer que

Z 1

0

(lnt) ln(1−t) dt=

+∞

X

n=1

1 n(n+ 1)².