Partie A :
D’après(2),∀n∈N, un≤vn . Or(vn)est décroissante doncvn ≤vn−1≤· · ·≤v0.
On a donc∀n∈N, un≤v0 qui prouve que la suite(un)est majorée parv0.Etant par ailleurs croissante, elle converge vers une limite (finie)U.
On montre de même que(vn)est une suite décroissante minorée par u0 donc convergente vers une limitefinieV.
(un)et(vn)étant convergente, d’après les théorèmes généraux sur les limites,(un−vn)converge versU−V.
Or d’après(1) lim
n→+∞(un−vn) = 0. On en déduit queU−V = 0qui prouve que les deux suites convergent vers la même limite.
Partie B :
(un)définie surNet à termes non nuls.vn= −2 un
1.Si(un)converge vers0,(vn)ne converge pas d’après les théorèmes généraux sur les limites .La première affirmation est donc Fausse.
2.(un)est minorée par 2si et seulement si :∀n∈N, un≤2⇒ 1 un ≥1
2 ⇒ −2 un ≤ −1 Ainsi(vn)est minorée par 1. La seconde affirmation est vraie.
3. D’après les théorèmes de monotonie : si(un)est décroissante, µ 1
un
¶
est croissante et µ−2
un
¶
est décroissante.
L’affirmation 3 est fausse. N’importe quel contrexemple aurait fait l’affaire : un = 1
n est décroissante et vn est alors vn=−2nqui est décroissante.
4. Faux:un= (−1)n est un contrexemple évident.
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