Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360
Lundi 14 janvier 2008
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 3 heures – sans document
I Soit f la fonction r´eelle d´efinie sur (R+)3 par :
f(x, y, z) =
(0 si (x, y, z) = (0,0,0) xyz
(x+y+z)2 sinon
1) Montrer que f est continue et que f est de classe C1 sur ( ]0,+∞[ )3. 2) Soita > 0. Montrer que f atteint son maximum sur
K :={(x, y, z)∈R3 :x>0, y>0, z >0, x2+y2+z2 =a2},
et d´eterminer ce maximum.
3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que, pour tous r´eels x, y et z, on a
|xyz|6 1 9√
3
°|x|+|y|+|z|¢2°
x2+y2+z2¢1/2
.
II
On rappelle qu’une isom´etrie d’un espace m´etrique (X, d) est une applicationf :X →X qui satisfait pour tout couple (x, y)∈X×X :
d(f(x), f(y)) =d(x, y) .
On suppose que X est un espace m´etrique compact, et que f est une isom´etrie de X dans X.
1) On consid`ere la suite xn = f(xn−1) =f(n)(x) des it´er´es d’un point x∈ X par f. Si α d´esigne la distance dex `a f(X), montrer que pour tout n et tout p>1 on a
d(xn, xn+p) =d(x, xp)>α ,
puis que α= 0 et enfin que le point x est adh´erent `a l’imagef(X) de X par f. 2) En d´eduire qu’une isom´etrie f :X →X est bijective.
3) Donner un exemple d’isom´etrie non surjective dans le cas o`u l’espace X n’est pas compact.
4) D´emontrer que l’ensemble G des isom´etries d’un espace m´etrique compact forme un groupe pour la composition des applications.
5) On munit G de la distance de la convergence uniforme
δ(f, g) = max
x∈Xd(f(x), g(x)) .
V´erifier que les applications (f, g) 7→ f◦g et f 7→ f−1 sont continues, respectivement de G×G dans G et de G dans G.
6) SoitAune partie d´enombrable dense de (X, d). Soit (fn) une suite de (G, δ) qui converge simplement en tout point de A. Montrer que la suite (fn) converge uniform´ement vers un
´el´ement f ∈G.
7) En d´eduire que le groupe (G, δ) est compact (on pourra utiliser que XA est compact).
III
A tout ´el´ement` α= (a0, a1, . . . ak−1) de Rk, on associe le polynˆome
Pα(X) =Xk+
k−1X
j=0
ajXj .
1) Montrer que la fonctionp: (x, α)7→Pα(x) est de classe C1 sur R×Rk.
2) On suppose que x0 est racine simple de Pα, c’est-`a-dire que Pα(x0) = 0, et que la d´eriv´ee Pα0 de Pα ne s’annule pas en x0.
Montrer qu’il existe un voisinage V de α dans Rk et une fonction ϕ de classe C1 deV dans Rtels que ϕ(α) =x0 et que, pour β ∈V, ϕ(β) soit une racine du polynˆome Pβ. 3) On suppose ici k impair, α= (a0, a1, . . . ak−1) avec aj = (−1)j+1. Montrer que x0 = 1 est racine simple dePα, puis calculer les d´eriv´ees partielles ∂ϕ
∂aj(α) de ϕ en α.
4) Soitxn la racine r´eelle la plus proche de 1 de l’´equation
x5−(1 + 1
n)x4+ (1 + 2
n)x3 −(1 + 3
n)x2+x−1 = 0 . D´eterminer la limite quandn tend vers l’infini deun=n(xn−1).
2
