Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM 360
Mardi 17 janvier 2006
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 3 heures – sans document I ( sur 25 points )
Soient U un ouvert born´e du plan euclidienR2 et f une fonction continue d´efinie sur U
`
a valeurs dans R. On suppose que f est de classe
C
2 sur U et que ∆f := ∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 = 0.
1) Montrer que la fronti`ere ∂U de U est compacte et que M := supz∈∂Uf(z)<+∞.
On veut montrer que, pour toutz = (x, y) de U, on af(z)≤M. On suppose, en raisonnant par l’absurde, qu’il existe un point a ∈ U tel que f(a) > M, et on note R le diam`etre de U (c’est-`a-dire supz,z0∈Ukz−z0k). On choisit ε > 0 tel que ε < f(a)−M
1 +R2 et on d´efinit la fonction g sur U par
g(z) =f(z) +ε(1 +kz−ak2)
2) Montrer que g est continue sur U, de classe
C
2 sur U et que, pour z ∈ U, on a∆g(z) = 4ε. (On pourra remarquer que sia= (x1, y1), on akz−ak2 = (x−x1)2+ (y−y1)2) 3) Montrer qu’il existe un point b = (x0, y0) ∈ U tel que g(b) = supz∈U¯g(z), puis que pour tout point w∈∂U on a :
g(w)≤M +ε(1 +R2)< f(a)≤g(a)≤g(b)
En d´eduire que b ∈ U et qu’il existe ρ > 0 tel que U contienne le disque de centre b et de rayon ρ.
4) Montrer que, pourh r´eel tel que |h|< ρ, on peut d´efinir ϕ(h) = 1
4
³g(x0+h, y0) +g(x0−h, y0) +g(x0, y0+h) +g(x0, y0−h)´ et que ϕ(h)≤g(b).
5) Montrer queϕest de classe
C
2 sur ]−ρ, ρ[ `a valeurs dansR, queϕ(0) =g(b),ϕ0(0) = 0 et ϕ00(0) = 12∆g(b) = 2ε. En d´eduire que ϕ(h) = g(b) +εh2 +o(h2) lorsque h tend vers 0, puis qu’il existe un h ∈]0, ρ[ tel que ϕ(h) > g(b). Conclure de cette contradiction que f(z)≤M pour tout z ∈U.
II ( sur 40 points )
On rappelle qu’une fonction f : Rn → R est dite convexe si pour tout x et tout y de Rn et tout r´eel t∈[0,1], on a :
f¡
tx+ (1−t)y¢
≤tf(x) + (1−t)f(y)
Soit ϕ : R → R une fonction convexe de classe
C
1 v´erifiant ϕ(0) = 0, ϕ(1) 6= 0 etϕ(−t) =ϕ(t) pour tout t∈R.
1) Montrer que ϕ0(0) = 0 et que 0 = ϕ(0) ≤ 1 2
¡ϕ(t) +ϕ(−t)¢
= ϕ(t). Montrer que si t≥1, on a ϕ(1)≤(1− 1
t)ϕ(0) + 1
tϕ(t), et en d´eduire que ϕ(t)≥tϕ(1).
2) Montrer que, pourt > 0 eth >0, on aϕ(t)≤ h
t+hϕ(0) + t
t+hϕ(t+h), et en d´eduire
que t
h
¡ϕ(t+h)−ϕ(t)¢
≥ϕ(t)−ϕ(0)
puis que tϕ0(t)≥ϕ(t). Montrer que cette relation est vraie pour tout r´eel t.
3) Soitn un entier. On d´efinit la fonction Φ sur Rn par : Φ(x1, x2, . . . , xn) =
n
X
i=1
ϕ(xi)
Montrer que la fonction Φ est convexe, positive et de classe
C
1 sur Rn, que Φ(0) = 0 et que Φ(−x) = Φ(x) pour tout x ∈ Rn. D´eduire de 1) que si sup|xi| ≥ 1, alors Φ(x1, x2, . . . , xn)≥ϕ(1).sup|xi|.4) Soitx= (x1, x2, . . . , xn) un ´el´ement non nul deRn. On consid`ere la fonctiong:R+ →R d´efinie par g(λ) = Φ(λx). Montrer que g(0) = 0, que limλ→∞g(λ) = +∞ et que g est convexe. En d´eduire qu’il existe un uniqueλ0 >0 tel que g(λ0) = 1.
5) Soit Ψ la fonction d´efinie sur Rn×]0,+∞[ par Ψ(x, t) = Φ(x
t)−1. Montrer que Ψ est de classe
C
1 et que, pour tout x∈Rn\ {0}, il existe un uniquet > 0, qu’on noterap(x), tel que Ψ(x, t) = 0. Calculer les d´eriv´ees partielles de Ψ et montrer, en utilisant 2), que, pour t =p(x), on a ∂Ψ∂t (x, t)≤ −1 tΦ(x
t) = −1
t. En d´eduire que p est de classe
C
1 sur Rn\ {0}et que p(x)≤t ⇐⇒ Ψ(x, t)≤0. On posera p(0) = 0.
6) Montrer que p(−x) = p(x) et que, pour λ >0, on a p(λx) =λp(x). Montrer que pour x et y∈Rn, on a :
Φ
µ x+y p(x) +p(y)
¶
= Φ
µ p(x) p(x) +p(y)
x
p(x) + p(y) p(x) +p(y)
y p(y)
¶
≤ p(x) p(x) +p(y)Φ
µ x p(x)
¶
+ p(y)
p(x) +p(y)Φ µ y
p(y)
¶
= 1
En d´eduire que Ψ(x+y, p(x) +p(y)) ≤ 0 puis que p(x+y) ≤ p(x) +p(y), que p est une norme sur Rn et que la boule unit´e de p est l’ensemble B:={x ∈Rn : Φ(x)≤1}. Calculer la fonction p lorsque ϕ est la fonction t 7→t4.
7) Soit (u1, u2, . . . , un) un ´el´ement non nul de Rn. On consid`ere la forme lin´eaire sur Rn f : (x1, x2, . . . , xn) 7→ Pn
i=1uixi. Montrer que f n’a pas de point critique sur l’ensemble ouvert {x ∈ Rn : Φ(x) < 1} et en d´eduire que le maximum de f sur B est atteint en un point (a1, a2, . . . , an) tel que Φ(a1, a2, . . . , an) = 1 et ϕ0(a1)
u1
= ϕ0(a2) u2
=. . .= ϕ0(an) un
.
