Examen final Complements d’analyse, janvier 2008

Examen final Complements d’analyse, janvier 2008

Exercice 1 :

On consid`ere la fonction

f(x) =e^x d´efinie sur ]0, π[ et prolong´ee par imparit´e.

Montrer qu’elle est de classe C¹ par morceaux.

Calculer sa s´erie de Fourier.

Calculer

∞

X

0

(2k+ 1)(−1)^k (1 + (2k+ 1)²) Calculer

∞

X

0

(2k+ 1) (1 + (2k+ 1)²

!2

Exercice 2 :

Calculer la transform´ee de Fourier de la fonction f(x) =e^−3|x|,

apr`es avoir montr´e qu’elle appartient `a l’espace L¹(IR). En d´eduire la transform´ee de Fourier de x7→xf(x).

D´eduire de la formule d’inversion de Fourier la transform´ee de Fourier de g d´efinie par g(x) = _9+4π¹2x²

Exercice 3 :

R´esoudre l’´equation diff´erentielle

y^”+ 7y⁰+ 12y= 0

1

Puis

y^”+ 7y⁰+ 12y=e^−3t+e^t Exercice 4 :

On consid`ere la fonction f(t) =

( t²+ 1 sur [0,∞[

0 sur ]− ∞,0[

Calculer l’abscisse de convergenceσ(f), donner le domaineI(f) de d´efinition de la transform´ee de Laplace.

Calculer la transform´ee de LaplaceF(x) pour x >0.

2

Exercice 1 :

b_n = 2 π

Z π 0

e^xsin(px)dx

= 2

2iπ[e^x(1+ip)

1 +ip − e^x(1−ip) 1−ip]^π₀

= 1−e^π(−1)^p π(1 +p² p En prenant le point π/2 on obtient

e^π2 = 1 +e^π π

∞

X

0

(2k+ 1)(−1)^k (1 + (2k+ 1)² En utilisant Bessel parseval

Exercice 2 :

F(f(λ) =

Z

I

Re^−3|x|e^2iπλx

= 6

4π²λ²+ 9 F(xf) = −1

2iπF(f)⁰(λ) = 48π²λ 9 + 4π²λ² Exercice 3 :

y =C₁e^−3t+C₂e^−4t

Une solution particuli`ere pour l’equation avec le second membre e^t est

1

20e^t Pour le sec ond membree^−3t on trouve ₁₃^te^−3t Finalement y=a^−3t+be^−4t+ t

13e^−3t+ 1 20e^t

3