2015-2016

(1)

ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2015-2016

CONTR ˆOLE CONTINU

Coniques, quadriques, formes quadratiques

Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé R = (O ; −→i ,−→j ), on note C la conique d’équation

5x2+ 8y2+ 4xy + 16x − 8y + 16 = 0

1. Isoler la partie quadratique q(x, y) de l’´equation (E) et donner sa matrice Aq.

2. Montrer que les valeurs propres de Aq sont λ1 = 4 et λ2 = 9.

3. Donner la nature de C (justifier).

4. D´eterminer les sous espaces propres de Aq et les placer dans le rep`ere ci-joint.

5. Déterminer un repère R0 = (O ; −→e1, −→e2) orthonormé du plan fait de vecteurs propres de Aq

et donner la matrice de passage de R à R0. 6. Déterminer l’équation de C dans le repère R0. 7. Montrer que le point Ω = −2

1

R

est le centre de C et déterminer l’équation de C dans le repère R00 = (Ω ; −→e1, −→e2)

8. Tracer une esquisse de C dans le rep`ere ci-joint. On placera ´egalement le centre, les axes principaux et les sommets de C,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 Soient R0 = (O ;

− →

i ,−→j ) un rep`ere orthonorm´_{e du plan et α > 0. On note C}α la

conique du plan dont l’´equation dans R0 est

x2+ 2αxy + y2 = 1

1. À l’aide de la méthode de Gauss, déterminer, en fonction de α, la nature de la conique Cα.

2. On suppose ici que α 6∈ {0, 1}.

Pour θ ∈ [0,π₂], on note Rθ = (O ; −→e1, −→e2)

le rep`ere du plan obtenu par une rotation d’angle θ du rep`ere R0 (c.f. dessin ci-contre).

~i

~j

O

~e

1

~e

2

θ

(2)

(a) Montrer que la matrice de passage de R0 `a Rθ est

Pθ =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

(b) Déterminer l’équation de Cα dans Rθ (on pourra noter (X, Y ) les coordonnées

dans Rθ).

(c) D´eterminer l’angle θ0 ∈ [0,π₂] tel que l’´equation de Cα dans Rθ0 ne contienne plus

de terme rectangle et donner cette ´_{equation (on rappelle que pour tout θ ∈ R, on a} cos2_{θ − sin}2_{θ = cos(2θ)).}

(d) Donner, en fonction de α, les coordonn´ees dans Rθ0 puis dans R0 des sommets

principaux de Cα. On pourra distinguer les cas α > 1 et 0 < α < 1.

3. D´ecrire la courbe C0.

4. Montrer que la courbe C1 est la réunion de deux droites parallèles dont on précisera les

´equations dans R0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 Soit A =   2 0 0 0 1 −1 0 −1 1  

1. D´eterminer l’unique forme quadratique q(x, y, z) dont A est la matrice.

2. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé R, on note Q la quadrique dont l’équation dans R est q(x, y, z) = 1.

(a) Montrer que l’intersection de Q avec le plan horizontal d’équation z = 0 est une ellipse E0 dont on précisera les coordonnées du centre dans le repère R ainsi que les

grandeurs caract´eristiques a et b.

(b) Montrer que pour tout h ∈ R, l’intersection de Q avec le plan d’équation z = h une ellipse Eh ayant les mêmes dimensions que E0. On précisera là encore les coordonnées

du centre de Eh dans le rep`ere R.

(c) D´ecrire la surface Q.

? ? ?

(3)

ISA BTP 2◦année ANN ÉE UNIVERSITAIRE 2015-2016 NOM : ... Prénom : ...

-4

-3

-2

-1

1

2 -1

1

2

3

O

(4)

CORRECTION

Exercice 1 : 1. q(x, y) = 5x2 + 8y2+ 4xy et Aq= 5 2 2 8 2. det(Aq− λI2) = 5 − λ 2 2 8 − λ = (5 − λ)(8 − λ) − 4 = λ2− 13λ + 36

Le discriminant de ce polynˆome est ∆ = 132_{− 4 × 36 = 25 et les valeurs propres de A} q sont bien λ1 = 13 −√25 2 = 4 et λ1 = 13 +√25 2 = 9

3. Les deux valeurs propres de Aq ´etant positives, on a σ(q) = (2, 0). La conique C est donc

une ellipse. 4. • E4 : AX = 4X ⇔ 5x + 2y = 4x 2x + 8y = 4y ⇔ y = − 1 2x • E9 : AX = 9X ⇔ 5x + 2y = 9x 2x + 8y = 9y ⇔ y = 2x

5. On construit les vecteurs −→e1 et −→e2 en normant deux vecteurs −→ε1 et −→ε2 tir´es des deux droites

déterminées à la question précédente. Ainsi, on a (par exemple) : − →_ε 1 = 2 −1 R et −→e1 = − →_ε 1 ||−→ε1|| = √ 5 5 2 −1 R − →_ε 2 = 1 2 R et −→e2 = − →_ε 2 ||−→ε2|| = √ 5 5 1 2 R

La matrice de passage de R `a R0 est alors P = √ 5 5 2 1 −1 2 6. En notant M = x y R = X Y R0 , on a x y = P × X Y ⇐⇒          x = √ 5 5 (2X + Y ) y = √ 5 5 (−X + 2Y ) Ainsi, p(x, y) =5x2+ 8y2+ 4xy + 16x − 8y + 16 =(2X + Y )2+ 8 5(−X + 2Y ) 2 ₊4 5(2X + Y )(−X + 2Y ) + 16 √ 5 5 (2X + Y ) − 8√5 5 (−X + 2Y ) + 16 =4X2+ 9Y2+ 8√5X + 16 = P (X, Y )

(5)

et l’´equation de C dans R0 est alors P (X, Y ) = 0.

7. On peut déterminer le centre Ω de C en éliminant la partie linéaire de l’équation de C dans R0 : P (X, Y ) = 4X2+ 9Y2+ 8√5X + 16 = 4(X2+ 2√5X) + 9Y2+ 16 = 4h(X −√5)2− 5i+ 9Y2+ 16 = 4(X −√5)2+ Y2− 4 = 4˜x2+ 9˜y2 − 4 avec ˜ x = X −√5 ˜

y = Y . Or ce changement de variable correspond `a la translation du rep`ere R0au point √5

0

R0

dont les coordonn´ees dans R sont P × √5 0 = −2 1 R . On reconnaˆıt le point Ω.

D’autre part, l’´equation de C dans le rep`ere R00 est alors 4˜x2+ 9˜y2− 4 = 0 ⇐⇒ ˜x2+9

4y˜

2 _{= 1}

Cette équation n’ayant plus de terme linéaire, le centre du repère associé est bien le centre de symétrie de C. 8. -4 -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3

Ω

E

₄

E

9

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. La mise sous forme canonique de la forme quadratique q(x, y) = x2_{+ 2αxy + y}2 _{donne :}

q(x, y) = (x − αy)2+ (1 − α)2y2 Ainsi

(6)

• si α < 1, σ(q) = (2, 0) et Cα est une ellipse,

• si α = 1, σ(q) = (1, 0) et Cα est une parabole,

• si α > 1, σ(q) = (2, 0) et Cα est une hyperbole.

2. (a) En projetant les vecteurs −→e1 et −→e2 sur les axes du rep`ere R0, on obtient :

− →_e 1 = cos θ − → i + sin θ−→j = cos θ sin θ R0 − →_e 2 = − sin θ − → i + cos θ−→j = − sin θ cos θ R0

On retrouve ici les colonnes de la matrice Pθ.

(b) Si M = x y R0 = X Y Rθ , on a x y = Pθ× X Y

⇐⇒ x = cos θX − sin θY

y = sin θX + cos θY D’o`u

x2+ 2αxy + y2 = 1 ⇐⇒(cos θX − sin θY )2

+ 2α(cos θX − sin θY )(sin θX + cos θY ) + (sin θX + cos θY )2 = 1

⇐⇒ cos2θX2

((((

(((( (

−2 cos θ sin θXY + sin θY2

+ 2α(cos θ sin θX2+ (cos2θ − sin2θ)XY − sin θ cos θY2) + sin2θX2

((((

(((( (

+2 sin θ cos θXY + cos2θY2 = 1

⇐⇒ (1 + α sin(2θ))X2_{+ (1 − α sin(2θ))Y}2_{+ α cos(2θ)XY = 1}

(c) Puisque α 6= 0, pour que l’équation ci-dessus n’admette plus de terme rectangle, on doit choisir θ0 tel que cos(2θ0) = 0, soit θ0 = π₄. L’équation de Cα dans le repère Rπ

4

associ´e est alors

(1 + α)X2+ (1 − α)Y2 = 1

(d) • Si α > 1, alors 1 − α < 0. L’axe focal de Cα est alors l’axe (OX). Les sommets

de Cα sont alors S = _√1 1+α 0 Rπ 4 et S0 = − 1 √ 1+α 0 Rπ 4

On obtient les coordonn´ees de ces points dans R0 en multipliant ces coordonn´ees

par la matrice Pπ 4 = √ 2 2 1 −1 1 1 : S = 1 p2(1 + α) 1 1 R0 et S0 = − 1 p2(1 + α) 1 1 R0

(7)

• Si 0 < α < 1, alors 0 < 1 − α < 1 + α. L’axe focal de Cα est alors l’axe (OY ).

Les sommets de Cα sont alors

S = 0 −_√1 1−α Rπ 4 = − 1 p2(1 − α) −1 1 R0 et S0 = 0 1 √ 1−α Rπ 4 = 1 p2(1 − α) −1 1 R0

3. C0 est la courbe d’´equation x2+ y2 = 1. On reconnaˆıt le cercle trigonom´etrique.

4. L’´equation de la courbe C1 dans R0 est

x2+ 2xy + y2 = 1 ⇐⇒ (x + y)2 = 1 ⇐⇒ x + y = 1 ou x + y = −1 On reconnaˆıt deux droites de mˆeme pente (= −1) donc parall`eles.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. D’apr`es les coefficients de la matrice A, on a

q(x, y, z) = 2x2+ y2+ z2− 2yz 2. (a) En posant z = 0 dans l’´equation q(x, y, z) = 1, on obtient

2x2+ y2 = 1

On reconnaˆıt l’équation réduite d’une ellipse centrée au centre (0, 0, 0) du repère R et dont les grandeurs caractéristiques sont

a = 1 et b =

√ 2 2 (b) Soit h ∈ R. En posant z = h dans l’´equation de Q, on a

2x2+ y2+ h2− 2yh = 1 ⇐⇒ 2x2 _{+ (y − h)}2 _{= 1}

On reconnaˆıt ici l’´equation d’une ellipse ayant les mˆemes dimensions que E0, mais

centr´ee au point (0, h, h).

(c) Au vue de l’étude précédente, la surface Q semble être un cylindre de section ellip-tique et dont l’axe l’est pas vertical.

? ? ?