Chapitre III : Limites

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Chapitre III : Limites

I- Définitions:

Soient  un réel ou −∞ ou ∞, a et b deux réels.

Soit f une fonction définie au voisinage de  c'est à dire sur un intervalle du type : ]b ;∞[ si =∞

]−∞;a[ si =−∞

];h[ ou ]−h ; [ ou ]−h ;h[−{ }, h0 si ∈ℝ. et soit C_f la représentation graphique de f dans un repère O ;i ,j.

Définition 1 : La limite de f en  est ∞ si tout intervalle de la forme ]M ;∞[ contient tous les réels f x dès que x est suffisamment proche de . On note dans ce cas :

lim

x

fx=∞ ou lim



f=∞. Interprétation graphique:

=∞

Pour tout M il existe b tel que Si x>b alors f(x)>M

=−∞

Pour tout M il existe a tel que Si x<a alors f(x)>M

∈ℝ

Pour tout M il existe h tel que si −hxh ; x≠ alors f(x)>M On dit que C_f admet une asymptote verticale d'équation x=.

Définition 2 : La limite de f en  est −∞ si tout intervalle de la forme ]−∞; M[ contient tous les réels f x dès que x est suffisamment proche de . On note dans ce cas :

lim

x 

fx=−∞ ou lim



f=−∞. a y=f(x)

M

b

y=f(x)

a

M

MM

α - h α α+h

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Interprétation graphique :

=∞

Pour tout M il existe b tel que Si x>b alors f(x)<M

=−∞

Pour tout M il existe a tel que Si x<a alors f(x)<M

∈ℝ

Pour tout M il existe h tel que si −hxh ; x≠ alors f(x)<M.

On dit que que C_f admet une asymptote verticale d'équation x=. Exemples : lim_x_∞ x²=.... ; lim

x0

1

x²=.... ; lim

x0^-

1 x=....

Définition 3 : La limite de f en  est un réel l si tout intervalle de la forme ]l−r ;lr[ contient tous les réels f x dès que x est suffisamment proche de . On note dans ce cas :

lim

x 

f x=l ou lim



f=l. Interprétation graphique :

=∞

Pour tout r il existe b tel que Si x>b alors l-r<f(x)<l+r

=−∞

Pour tout r il existe a tel que Si x<a alors l-r<f(x)<l+r On dit que queC_fadmet une asymptote horizontale d'équation y=l.

∈ℝ

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II-Limites et opérations :

Soit  un réel ou −∞ ou ∞, l et l ' deux réels.

f et g deux fonctions définies au voisinage de. 1. Limite de la somme de deux fonctions :

lim



f lim



g lim



fg

l l'

l −∞

l ∞

∞ ∞

−∞ −∞

∞ −∞

Exemples : Calculer les limites suivantes : lim

x∞

x1 x ; lim

x0 x− 1

x² ; lim

x∞

2x3− 4

x−1² ; lim

x−∞

2x3− 4

x−1²=... . Dans le cas de la dernière fonction, la courbe possède une asymptote oblique d'équation

y=2x3 en −∞ et en ∞. 2. Limite du produit de deux fonctions :

lim



f lim



g lim



f×g

l l'

l≠0 ∞

∞ ∞

0 ∞

x∞

1

x²x²−1 ; lim

x0

1

x²x²−1

3. Limite du quotient de deux fonctions : lim



f lim



g lim



f g

l l '≠0

l≠0 0

l ∞

∞ l'

∞ ∞

0 0

x∞

1

x²−4x−1 ; lim

x1 2

4x−1

2x−1² ;

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III- Limite d'une fonction composée:

Définition 4: Soit f une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J, et soit g une fonction définie sur J.

La composée de f suivie de g, notéeg° f, est la fonction définie sur I par : g°f x=g[f x]

Attention : En général g°f≠f°g

Exemple : Soient f et g définies surℝpar : f x=x−4 etgx=



^x

Déterminer l'ensemble de définition et l' expression de g°fet de f °g.

Théorème 1 : ,l , l ' désignent des réels ou −∞ ou ∞. Soient f et g deux fonctions.

Si lim

x

f x=l et lim

xl gx=l ' alors lim

x 

g°f x=l '. Exemples : Calculer les limites suivantes : lim

x−∞



³^x²⁻⁴^x^_{2 ; lim}

x∞

sin



¹x



^.

IV- Limites et comparaison :

Soit  un réel ou −∞ ou ∞ et l un réel.

Théorème 2 : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I voisinage de . 1. Si pour tout x∈I , fxgx et lim

x

fx=∞ alors lim

x

gx=∞. 2. Si pour tout x∈I , fxgx et lim

x

gx=−∞ alors lim

x 

fx=−∞. Interprétation graphique :

Exemples : Déterminer lim

x∞

xsinxet lim

x−∞

xsinx.

Théorème 3 :Soient f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I voisinage de  et l un réel.

Si pour tout x∈I , fxgxhx et si lim

x

fx=lim

x 

hx=l, alors lim

x 

gx=l Interprétation graphique :

y=g(x)

y=f(x)

y=g(x)

y=f(x) y=h(x) y=g(x)

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Théorème 4 : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I voisinage de . Si pour tout x∈I , fxgx, lim

x 

fx=l et lim

x 

gx=l '. alors ll '.

Remarque : On ne peut pas en déduire ll '. Contre exemple : f x=11

x ; gx=12 x .