EPFL 3 décembre 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 10
L'exercice 2 est à rendre le 10 décembre au début de la séance d'exercices.
Le symbole Fdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. Notons par GLn(F)⊆Mat(n, n;F) l'ensemble des matrices inversibles.
(a) Montrer que GLn(F) n'est pas un sous-espace vectoriel deMat(n, n;F). (b) Trouver des conditions nécéssaires et susantes pour qu'une matrice A =
a b c d
soit contenue dans GL2(F).
(c) Est-ce que le système
( 6x−5y=a 18x−15y=b
)
est résoluble pour (a, b)∈F2 arbitraire ? Un groupe est un ensemble Gmuni d'une opération binaire ∗ telle que :
(i) il existe e ∈ G tel que e ∗g = g ∗e = g ∀g ∈ G; (ii) ∀g ∈ G il existe h ∈ G tel que h∗g =g∗h=e; (iii) g∗(h∗k) = (g∗h)∗k ∀g, h, k∈G.
(c) Démontrer que GLn(F)est un groupe par rapport à la multiplication de matrices.
Exercice 2. Soient B la base canonique
1 0 0 0
,
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
0 0 0 1
de Mat(2,2;F),
C =
1 0 0 1
,
1 0
0 −1
,
0 1 1 0
,
0 1
−1 0
, B0 la base canonique (1, x, x2) de P2(F) et C0 = (1 +x+x2, x+x2,1 +x2). Soit
T : Mat(2,2,F)→P2(F) l'application linéaire dénie par
T
a b c d
= (4a+ 2b) + (b−c)x+ (3c+d)x2.
(a) Vérier queC est une base de Mat(2,2,F) et que C0 est une base de P2(F). (b) Déterminer[id ]C,B, [id ]C0,B0, [T]B0,B et[T]C0,C.
(c) Déterminer[T]C0,B et vérier que [T]C0,B = [T]C0,C[id ]C,B = [id ]C0,B0[T]B0,B.
(d) Trouver le vecteur de coordonnées de 1−3x+x2 par rapport àC0 en utilisant [id ]C0,B0. Exercice 3. Résoudre les systèmes suivants :
(a)
x+ 2y−3z =−1 3x−y+ 2z = 7 8x+ 2y−2z = 9
(b)
2x+y−2z = 10 x+y+ 4z =−9 7x+ 5y+z = 14
(c)
x−3y+ 7z =−4 x+ 2y−3z = 6 7x+ 4y−z = 22
Exercice 4.
(a) Pour quelles valeurs de α les vecteurs~v1 = (1,−1,0,2), ~v2 = (1,0,1,2), ~v3 = (1,3,5,7),
~v4 = (0,2,3, α) forment-ils une base deF4?
(b) Dans le cas où la liste est liée, déterminer les relations linéaires qui lient ces vecteurs.
Quelle est la dimension de l'espace engendré ?
(c) Soit ~v = (−2, k,1,3). Pour quelles valeurs de k est-ce qu'on a ~v ∈ span(~v1, ~v2, ~v3, ~v4)? Déterminer, dans ce cas, les composantes de~v dans une base de span(~v1, ~v2, ~v3, ~v4).
