EPFL 8 janvier 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 10
L’exercice 5 est à rendre le 15 janvier au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 (Cours)
1. Montrer que M at(m, n,F) est un espace vectoriel.
2. Soient V et W deux F-espaces vectoriels tels que dim(V) = n et dim(W) = m, B une base de V et B0 une base de W et M(−,B,B0) : L(V, W) → M at(m, n,F) l’application définie par M(−,B,B0)(T) = [T]B,B0. Montrer que cette application est un isomorphisme linéaire.
Exercice 2 Soit E = Pn(R) et f(P) = XnP(X1). Montrer que f est un opérateur inversible de E. Quelle est la matrice de f dans la base canonique ?
Exercice 3 Un groupe est un ensemble G muni d’une opération binaire∗, tel que (i) il existe e∈G tel que e∗g =g∗e=g ∀g ∈G, (ii) ∀g ∈G, il existe h ∈G tel que h∗g =g∗h=e, et (iii) g∗(h∗k) = (g∗h)∗k ∀g, h, k ∈G.
Pour V un espace vectoriel, montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles de V, muni de l’opération donnée par la composition des applications linéaires, forme un groupe.
Exercice 4 Soit f et g les applications de M at(2,2,R) dans lui-même définies par
f a b
c d
=
a−d c b a−d
et g
a b c d
=
a −c
−b d
1. Montrer que f et g sont linéaires.
2. Déterminer les matrices de f et g dans la base canonique de M at(2,2,R).
3. Déterminer le noyau et l’image de f.
4. Montrer que g est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 5 Soit E un espace vectoriel de dimension n, F un espace vectoriel de dimension m et h:E →F une application linéaire de rang r.
1. Préciser comment obtenir une base (ei)ni=1 de E, et une base (fj)mj=1 de F, telles que h(ek) =fk pour k= 1, . . . , r et h(ek) = 0 pour k > r. Quelle est la matrice de h dans un tel couple de bases ?
2. Déterminer un tel couple de bases pour l’homomorphisme de R4 dans R3 défini dans les bases canoniques par :
h(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) avec
y1 = 2x1−x2+x3−x4 y2 = x2+x3−2x4
y3 = x1+ 2x2+x3+x4
1
