Série 10

L.S.Marsa Elriadh

Série 10

M : Zribi

4

Sc

1

09/10

Exercice 1 :

1) l’équation z²=-16 admet dans l’ensemble exactement :

a) une solution b) deux solutions c) quatre solutions.

2) un argument du nombre complexe (1+i)²⁰⁰⁹ est

a) ^{) ) 3}

2 b 4 c 4

  

.

3) dans le plan muni d’un repère orthonormé ( , , )O u v , on considère les points A et B d’affixes respectives 1 et i. l’ensemble des points M d’affixe z tel que

1 z i z



 est réel est :

a) la droite (AB) privée de A b) le segment [AB] privé de A

c) le cercle de diamètre [AB] privé de A.

4) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O u v , on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives -1,1+2i, 3 et -3i ; alors on a :

a) les vecteurs AD et BD sont orthogonaux . b) le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

c) les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Exercice 2

On considère la suite (un)_nN* définie par :









 

 



 2( 1)

) 2 ( 3 ) 1 ( 2 1

1 1

n u n

n u n

u

n n

Partie A

1) Démontrer par récurrence que la suite (u_n) est majorée par 3.

2) Démontrer que la suite (u_n) est monotone.

Partie B

On considère la suite (v_n)_nN* définie, pour tout entier naturel n non nul, par : vn = n(3 – un)

1) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

2) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

3) Démontrer que les suites (v_n) et (u_n) sont convergentes et préciser leurs limites respectives.

L.S.Marsa Elriadh

Série 10

M : Zribi

4

Sc

2

09/10

4°) Soit la suite (Sn)_nN* définie, pour tout entier naturel n non nul, par : Sn = u1 + 2 u2 + … + n un =



 n

k

uk

k

1

Exprimer Sn en fonction de n puis étudier la convergence de la suite (Sn).

Exercice 3

 est un réel quelconque, on considère, dans C, l’équation : E_() : z² – 2(1 + 2 cos ) z + 5 + 4 cos  = 0.

1) Résoudre dans C, les équations



 



  2

E et



 



  6

E , en donnant à  respectivement les valeurs 2



et 6

.

2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ;u v

, ), on donne les points A, B, C, D d’affixes respectives : z_A = 1 + 2 ²

i

e , z_B = 1 + 2 ⁶

i

e , z_C = z_B, z_D = z_A .

a) Déterminer les formes algébriques des affixes des points puis placer les points dans le repère (O ;u v

, ).

b) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD et celle du triangle ABD.

c) En déduire que ces points appartiennent à un cercle  dont on donnera une équation.

3) a) Résoudre dans C, l’équation E().

b) Démontrer que les points qui ont pour affixes les solutions de E_() sont les points de .

Exercice 4:

1) soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par : ( ) ^{1 sin} 1 f x x

x

 



a) montrer que 0 f x( ) ² x

  .

b) en déduire ^{lim ( )}

x

f x

L.S.Marsa Elriadh

Série 10

M : Zribi

4

Sc

3

09/10

2) soit g la fonction définie par

1 sin

( ) 0

1

( ) 1 0

1

g x x si x

x

g x x si x

x

   

 



   

 



montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement.