Série 10

EPFL 24 novembre 2008 Algèbre linéaire

1ère année 2008-2009

Série 10

L’exercice 5 est à rendre le 1 décembre au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Rappelons que M at(m, n,F) est un espace vectoriel avec les opérations usuelles vues au cours

1. Soient V et W deux F-espaces vectoriels tels que dim(V) = n et dim(W) = m, B une base de V et B⁰ une base de W et M(−,B,B⁰) : L(V, W) → M at(m, n,F) l’application définie par M(−,B,B⁰)(T) = [T]B⁰,B. Montrer que cette application est un isomorphisme linéaire (Cf chapitre 5.2 du polycopié de Fabien Margairaz).

Exercice 2 Soit E = P_n(R) et f : E → E une application définie par f(P) = xⁿP(¹_x).

Montrer que f est une application linéaire inversible de E. Quelle est la matrice de f dans la base canonique de P_n(R)?

Exercice 3 Un groupe est un ensemble G muni d’une opération binaire ∗, tel que – (i) il existe e∈G tel que e∗g =g∗e=g ∀g ∈G,

– (ii) ∀g ∈G, il existe h∈G tel que h∗g =g∗h=e, – (iii) g ∗(h∗k) = (g∗h)∗k ∀g, h, k ∈G.

Pour V un espace vectoriel, montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles de V, muni de l’opération donnée par la composition des applications linéaires, forme un groupe.

Exercice 4 Soit θ ∈R. On note Tθ~v la rotation du vecteur ~v ∈R² par l’angle θ de mesure en radians dans le sens trigonométrique.

1. Trouver une formule pour T_θ(x, y) en termes de x, y et θ. (Indication : exprimer (x, y) en notation polaire : x=rcosα, y=rsinα.)

2. Montrer que Tθ :R² →R² est une application linéaire.

3. Trouver la matrice de T_θ par rapport à la base ordonnée canonique de R². On considère toujours les rotations du plan.

1. Montrer que R est un groupe par rapport à l’opération +. (Indication : R = R¹ est un espace vectoriel.)

2. Montrer que l’application ensembliste T :R→GL(R²) définie parθ 7→T_θ vérifie T_θ+φ= T_θ◦T_φ. On dit que T est un homomorphisme de groupes car elle traduit l’opération dans R (l’addition) en l’opération dans GL(R²) (la composition). Son image est appellée le groupe spécial orthogonal et notée SO(R²), SO(2) ou SO₂.

Exercice 5 Soit α∈R, β ∈R^∗, et E(α, β) l’ensemble des suites réelles (xn)n∈N telles que x_n+2 =αx_n+1+βx_n, x₀ =a₀ et x₁ =a₁ avec a₀, a₁ ∈R.

1. Munir E(α, β) d’une structure d’espace vectoriel et trouver une base.

2. Donner l’expression du terme général x_n d’une telle suite en fonction de n, α, et β.

Astuce : Considérer les suites géométriques

1