EPFL 23 novembre 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 10
L'exercice 2 est à rendre le 30 novembre au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. Eectuer tous les produits de deux matrices qu'il est possible de faire avec
A=
1 3 0 0 −2 0
, B=
2 3 0 1
−1 0
, C= 5
−4
et D=
2 3 0 7
.
Exercice 2. Soit T :R3 →R3 donnée par T(x, y, z) = (−x+y+z,−6x+ 4y+ 2z,3x−y+z) pour tout(x, y, z)∈R3.
1. Calculer la matrice de T par rapport à la base canoniqueB de R3.
2. Montrer (le plus simplement possible !) que T ◦T = 2T. En déduire que si v ∈ im(T), alors T(v) = 2v.
3. Montrer queker(T)⊕im(T) =R3.
4. Trouver une équation linéaire qui décrit tous les vecteurs de im(T).
5. Trouver une base B0 de R3 formée d'une réunion d'une base de ker(T) avec une base de im(T). Quelle est la matrice deT dans la baseB0?
Exercice 3. Soit L : P2(C) → P3(C) une application linéaire. Déterminer l'image de p = a2X2 + a1X+a0 ∈P2(C) parL si
[L]B3,B2 =
i 0 −i
0 2i 4−i 0 1 +i 0
−1 1 0
dans les cas suivants.
1. B3 et B2 sont les bases canoniques de P3(C) et P2(C), respectivement, c'est à dire B3 = (1, X, X2, X3) etB2 = (1, X, X2).
2. B3 = (X3, X2, X,1)etB2= (X2, X,1).
3. B3 = (1,1 +X,1 +X2,1 +X3) etB2 = (1,(1 +X),(1 +X)2).
Exercice 4. SoientA, B ∈Mat(l, m;F) etC, D∈Mat(m, n;F). Montrer les égalités A·(C+D) =A·C+A·D et (A+B)·C=A·C+B·C.
