LOIS DE PROBABILITE A DENSITE.
On considère, dans ce chapitre, des expériences aléatoires dont l'issue est un réel. Ce réel sera la valeur prise par une grandeur numérique X qu'on appellera encore une variable aléatoire réelle.
Lorsqu'une variable aléatoire réelle prend, sous certaines conditions, des valeurs de tout un intervalle I de (et pas seulement des valeurs entières ou des valeurs réelles en nombre fini), on dit que la loi de probabilité de cette variable est continue.
On conçoit que pour déterminer la loi de probabilité d'une telle variable aléatoire X prenant un nombre infini de valeurs, il n'est pas possible d'énumérer les probabilités des événements (X xi) pour toutes les valeurs xi prises par X. On va donc s intéresser à la probabilités d'événements de la forme «(X J) » où J est un intervalle de .
I. Loi à densité.
Dans ce paragraphe, I désigne un intervalle (borné ou non de ).
Définition : On dit qu une fonction f définie sur I est une densité de probabilité sur I si :
f est continue et positive sur I
l aire sous la courbe de f est égale à 1.
f est une fonction de densité.
Exemple : f est définie sur [0 1] par f(x) 4x3. Montrer que f est une fonction de densité.
f est continue sur [0 1], positive sur [0 1] et
0
1f(x)dx
x4
0 1
14 04 1 donc f est une fonction de densité.
Exemple : g est définie sur [3 4] par g(x) 4k
(x 2)2, où k est un réel fixé. Déterminer le réel k tel que g soit une fonction de densité.
g est continue sur [3 4], positive sur [3 4] ssi k 0.
3
4g(x)dx
3
44k 1
(x 2)2dx
4k 1
x 2 3
4
2k. Ainsi,
3
4g(x)dx 1 ssi k 1 2. 1
2 est bien positif donc g est une fonction de densité ssi k 1
2.
Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans I et f une densité de probabilité sur I.
On dit que X suit la loi de densité f si pour tout intervalle J contenu dans I, on a : P(XϵJ ) = aire du domaine défini par
{
M(x y) xϵJ et 0 y f(x) .}
La probabilité P(XϵJ ) est l aire de la surface hachurée.
Conséquence : Si a et b sont des réels,
P(a X b) P(a X b ) P(a X b ) P(a X b )
a
bf (x)dx et P(X a) 0
30 p 394
II. Loi uniforme.
Dans ce paragraphe, a et b sont deux réels avec a b.
1. Définition
Définition : La loi uniforme sur [a b] est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a b] par f (x) 1
b a.
Propriété : Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a b]. Alors pour tous réels et de [a b] avec : P( X )
b a Démonstration :
P( X )
1 b adx
b a
Exemple 1 :
On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [3 ; 5]. Quelle est la probabilité qu'il soit compris entre 3,2 et 3,7 ?
Soit X la variable aléatoire représentant le réel choisi. X suit la loi uniforme sur [3 ; 5].
Alors P(3,2 X 3,7) = , ,
= 0,25.
2. Espérance mathématique.
Définition : L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie sur un intervalle [a b] est E(X)
a
bxf(x)dx.
Propriété : Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a b]. Alors E(X) a b 2 Démonstration :
E(X)
a
bx 1
b adx
x² 2(b a) a
b b²−a²
2(b−a)
b a
2
Exemple 2 : Dans un supermarché, le temps d attente T à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l intervalle [2 ; 20].
1. Quelle est la probabilité que le temps d attente soit inférieur à un quart d heure ? 2. Quel est le temps d attente moyen ?
P(T 15) 13
18
E(T ) 2 20
2 11. Le temps d attente moyen est 11 minutes.
2 p 384, 38
III. Loi exponentielle ou de durée de vie sans vieillissement.
Dans ce paragraphe, λ est un réel strictement positif.
1. Définition et propriété importante.
Définition : est un nombre réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre est la loi ayant pour densité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f(x) e x.
Conséquence : Soit X la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . Alors pour tous réels et de + avec : P( X ) e xdx
e x e e
Définition : Soit T une variable aléatoire continue mesurant la durée de vie d'un individu. On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement si la probabilité que l'individu soit en vie à l'instant t + h (h 0) sachant qu'il est en vie à l'instant t ne dépend pas de t.
Théorème : Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre , alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c est-à-dire : pour tous réels t et h strictement positifs, on a PX t(X t h) P(X h)
Démonstration (à connaître) :
Soit A un réel strictement positif.
P(X A) 1 P(0 X A) 1
0
A e xdx = 1
−e x
0
A 1−
(
e A 1)
e A Soit un réel strictement positif et X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre .
Soient t et h deux réels strictement positifs.
PX t(X t h ) P((X t h ) (X t )) P(X t )
P(X t h ) P(X t )
e ( t h)
e t e h P(X h)
2. Espérance mathématique.
Définition : L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie sur un intervalle [0 ; + [ est (lorsqu elle existe) E(X)
x
0
xtf(t)dt
Propriété : Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre , alors E(X) 1 Démonstration (à connaître) :
Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre 0.
Alors la loi de X a pour densité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f(x) e x.
Soit x un réel strictement positif. Calculons
0
xtf (t )dt
Soit g(t ) tf (t ). On dérive g et on obtient g t ) e t g(t ) et donc g(t ) e t 1 g (t )
Une primitive de g est donc x 1
e t 1 g(t ) Alors
0
xtf (t )dt 1
e x 1
x e x 1
0 = e x
xe x 1
Cherchons lim
x
0
xtf (t )dt :
x
e x
0 Posons X x.
xe x X
eX lim
x
X lim
x
0
xtf (t )dt = 0 0 1 = 1
. lim
X
XeX 0 Ainsi E(X) 1
.
Application 1 :
La durée de vie (en heures) d'un certain type d'ampoules électriques est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,002.
1. Calculer la probabilité pour qu'une ampoule du même type n'ait pas de défaillance avant 100 heures.
2. Une ampoule fonctionne encore au bout de 30 heures. Déterminer la probabilité qu elle n ait pas de défaillance avant "l âge" de 130 heures.
1. 1 P(T < 100) = 1 (1 e 1000,002) 0,819.
2. 0,819 aussi
Application 2 :
La variable aléatoire X égale à la durée de vie d'un atome d'iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle. On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à deux jours est, à 103 près, égale à 0,160.
1. Calculer, à 103 près, le paramètre de la loi.
2. Calculer les probabilités des événements (X = 7) et (6 < X < 10).
3. Calculer la probabilité que la durée de vie d un atome d iode 131 de 1 jours dépasse 3 jours.
4. La demi-vie d'un nucléide est le temps T au bout duquel la moitié des atomes initiaux sont désintégrés. Calculer, à 0,1 près, la demi-vie de l'iode 131.
5. Déterminer la durée de vie moyenne d un atome d iode 131.
1. P(X < 2) = 0,160 1 e2 = 0,160 0,087.
P(X = 7) = 0 et P(6 < X < 10) = P(X < 10) P(X < 6) 0,174.
C est 0,160 (P(X 2))
P(X < T) = 0,5 T 8. La demi-vie de l'iode 131 est environ 8 jours.
E(X) = 1/0,087 11,49. La durée de vie moyenne de l iode 131 est environ 11 jours et demi.
7, 5, 60
