Terminale S1 DM1 à rendre le 14/09/05
Question de cours (sans calculatrice)
(4 points)Démontrer que pour une suite arithmétique de premier termeu0 , de raison r, on a pour tout entiern, un=u0+nr Soit(un)une suite arithmétique de raison -1 et de premier terme u0= 3, évaluerS =u2+u3+u4+· · ·+u25 On donneSn= 1 + 1
2+ µ1
2
¶2
+ µ1
2
¶3
+· · ·+ µ1
2
¶n
, calculerSn en fonction den. En déduire lim
n→+∞Sn
Exercice 1
(4 points) Soit la suite(un)définie par½ u0=−8 un+1=√
un+ 12 et soitf la fonction définie sur[−12; +∞[parf(x) =√ x+ 12.
1. A partir de la représentation graphique def , tracer la représentation graphique en chemin de la suite (un). 2. Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite.
3. Etudier la position relative de la courbe def et de la droite d’équationy=x.
Exercice 2
(6 points)Soit la suite(un)définie parun= 1
n(n+ 1) pour nentier naturel non nul.
1. Déterminer le sens de variation de(un) 2. Déterminer les nombresaetbtels queun= a
n+ b
n+ 1 (réponse : a= 1etb=−1) 3. On pose pourn≥1, Sn=u1+u2+u3+· · ·+un.
ExprimerSn en fonction den. Quel est le sens de variation de la suite(Sn)? 4. Montrer que la suite(Sn)est bornée.
5. Etudier la convergence de(Sn).
6. Déterminer un rang à partir duquel tous les termes de la suite(Sn)appartiennent à]0.99; 1.01[
Exercice 3
(7 points) 1. Soit la suite(un)définie par( u0= 12
un+1= 2un+ 5 1.1. Calculer, sous forme fractionnaire,u31, u2, u3.
1.2. Démontrer que la suite(un)n’est ni arithmétique, ni géométrique.
2. On définit, pour tout entier nla suite(vn)parvn=un−5 2.1. Calculer, sous forme fractionnaire,v0, v1, v2, v3. 2.2. Calculervn+1 en fonction de un.
2.3. En déduire que(vn)est une suite géométrique dont on indiquera la raison.
2.4. Donner une expression devn puis deun en fonction den.
2.5. Quelle est la limite de la suite(vn)?En déduire la limite de la suite(un). 3. On appelleSn =v0+v1+v2+· · ·+vn etTn =u0+u1+u2+· · ·+un.
3.1. Déterminer la valeur deSn et en déduire celle deTn . 3.2. Déterminer lim
n→+∞Sn et lim
n→+∞Tn.
