Énoncé Droites dans une quadrique 1

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Droites dans une quadrique

1. Déterminer les droites deR³ incluses dans la surface d'équation xy+yz+zx= 0

On pourra utiliser la caractérisation barycentrique d'une droite.

2. Même problème pour les surfaces d'équation xy+yz+zx=−1

xy+yz+zx= 1

1un des six exercices de E3A 1999 MP1

Corrigé

1. NotonsS₀la surface d'équationxy+yz+zx= 0. Comme cette équation est homogène de degré 2, toutes les droites passant par l'origine et un point de S0 sont sur S0. Montrons que ce sont les seules.

Soit A1(x1, y1, z1) et A2(x2, y2, z2) deux points de la surface. La droite (A1A2) est l'ensemble des barycentres deA1etA2avec des coecientsλ,1−λ(λréel quelconque).

Les coordonnées d'un tel barycentreMλ sont

(λx1+ (1−λ)x2, λy1+ (1−λ)y2, λy1+ (1−λ)y2)

Ecrivons que M_λ est sur S₀ en regroupant les termes suivant λet en tenant compte des équations vériées parA1 etA2. On obtient

λ²0 +λ(1−λ)(x1y2+y1z2+z1x2+y1x2+z1y2+x1z2) + (1−λ)²0 = 0 On en déduit qu'une droite dansS₀passant par A₁(x₁, y₁, z₁)est l'intersection deS₀ avec le plan d'équation

(y1+z1)x+ (z1+x1)y+ (x1+y1)z= 0

Comme l'origine est dans cette intersection, la droite passant par l'origine est la seule possible.

2. Pour la surface de niveau -1, le calcul barycentrique est analogue. Il conduit à

−λ²+λ(1−λ)(x1y2+y1z2+z1x2+y1x2+z1y2+x1z2)−(1−λ)²=−1 x1y2+y1z2+z1x2+y1x2+z1y2+x1z2=−2 Pour la surface de niveau +1, ontrouve de même

λ²+λ(1−λ)(x1y2+y1z2+z1x2+y1x2+z1y2+x1z2) + (1−λ)²= 1 x₁y₂+y₁z₂+z₁x₂+y₁x₂+z₁y₂+x₁z₂= 2

Les droites qui passent par un point donné de la surface sont donc l'intersection de la surface par un certain plan qui dépend du point. En fait ce plan est le plan tangent à la surface. Pour la surface de niveau -1 par un point passent deux droites, pour la surface de niveau 1 l'intersection est formée par lepoint tout seul. Il ne passe par de droite incluse dans la surface. Pour le prouver il faut faire un changement de variable.

Voir la feuille de calculs Maple quadrique.mws qui permet aussi d'obtenir les gures suivantes.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai Asregl