Examen d’Analyse Fonctionnelle

Examen d’Analyse Fonctionnelle

lundi 8 janvier 2007 durée 4 heures Université d’Artois

Faculté des Sciences Jean Perrin M1 Mathématiques 2006–2007

Exercice 1.

1) Soit H un espace de Hilbert réel muni du produit scalaire (.|.), et soit T un endo- morphisme continu deH. On note T^∗ l’adjoint de T. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

a)T^∗◦T =Id;

b)∀x, y∈H, (T(x)|T(y)) = (x|y); c)T est une isométrie ;

2) SoitS l’endomorphisme de`²défini par S(a) = (0, a₀, a₁, a₂,· · ·)oùa= (a_n)_n∈N. a) Montrer queS est une isométrie.

b) DéterminerS^∗.

3) SiT est une isométrie, a-t-onT◦T^∗=Id? Exercice 2.

1) Soitf:R→Cune fonction continûment dérivable telle quef et f⁰∈L¹(R). Montrer que F(f⁰)

(t) = 2πit(Ff)(t)pour toutt∈R.

2) Soitf ∈L¹(R); on poseg(x) =xf(x)pour toutx∈R, et l’on suppose queg∈L¹(R).

Montrer queFf est dérivable et que(Ff)⁰=−2πiFg.

Exercice 3.

Soit E un espace de Banach et F un espace normé. Montrer la version suivante du théorème de Banach-Steinhaus : pour toute famille d’opérateurs (Ti)i∈I ∈ L(E, F), on a l’alternative suivante :

a) soit il existeM >0tel que kTik ≤M pour touti∈I;

b) soit il existe une partie dense G de E (qui est une intersection dénombrable d’ouverts denses) dont tout élémentxvérifiesup_i∈IkTi(x)k= +∞.

T.S.V.P.−→

1

Exercice 4.

On considère l’espacecomplexe L²=L²([0,1],C), et l’on définit l’opérateurS:L²→L² parS(f)(t) =t f(t).

1) a) Vérifier que l’on a bienSf ∈L² pour toutef ∈L²et que S est borné.

b) Montrer queS n’a aucune valeur propre.

2) Soitλ∈[0,1 [, et soitε >0 tel que[λ, λ+ε]⊆[0,1]. Soitf_ε= ^√1_ε1I_[λ,λ+ε]. a) Montrer que lim

ε→0(S−λI)(f_ε) = 0.

b) En déduire queλest dans le spectreσ(S)deS.

3) Montrer que siλ∈C\[0,1], alorsλ /∈σ(S).

4) Déterminerσ(S).

Exercice 5.

Soitµune mesure complexe non nulle sur [0,1]telle que|µ|({0,1}) = 0. On pose, pour toutn∈Z:

ˆ µ(n) =

Z 1

0

e^−2πintdµ(t),

et l’on suppose quelim_n→+∞µ(n) = 0.ˆ

1) On suppose que l’ensemble P des polynômes trigonométriques n’est pas dense dans L¹(|µ|).

a) Montrer qu’il existe h0 ∈ L^∞(|µ|) non nul tel que pour tout P ∈ P, on ait R1

0 P h₀d|µ|= 0.

b) En déduire queR1

0 f h0d|µ|= 0pour toutef ∈C([0,1]).

c) Qu’en conclut-on ?

2) Montrer que pour toute f ∈ L¹(|µ|), on a : lim_n→+∞R1

0 f(t) e^−2πintdµ(t) = 0 (on raisonnera d’abord avec des polynômes trigonométriques).

3) En déduire quelim_n→+∞|µ|(n) = 0c (utiliser la décomposition polaire d’une mesure).

4) En déduire quelim_n→−∞µ(n) = 0.ˆ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗

2