Faculté des Sciences
Didactique des sciences mathématiques
Étude du rapport à la notion de définition comme obstacle à l'acquisition du caractère lakatosien de la notion de limite par la méthodologie des situations fondamentales/adidactiques
Dissertation présentée par Pierre Job
en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences
Sous la direction du professeur Maggy Schneider
Le 7 juin 2011
Membres du Jury :
Prof. F. Bastin, Université de Liège, Présidente Prof. Y. Chevallard, Université de Provence
Prof. T. Lavendhomme, Facultés universitaires Saint Louis (Bruxelles) Prof. P. Lecomte Pierre, Université de Liège
Prof. M. Schneider, Université de Liège, Directrice
Prof. J. Winkin, Facultés universitaires Notre-Dame de la Paix (Namur)
Année académique 2010-2011
Faculté des Sciences
Didactique des sciences mathématiques
Étude du rapport à la notion de définition comme obstacle à l'acquisition du caractère lakatosien de la notion de limite par la méthodologie des situations fondamentales/adidactiques
Dissertation présentée par Pierre Job
en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences
Sous la direction du professeur Maggy Schneider
Le 7 juin 2011
Membres du Jury :
Prof. F. Bastin, Université de Liège, Présidente Prof. Y. Chevallard, Université de Provence
Prof. T. Lavendhomme, Facultés universitaires Saint Louis (Bruxelles) Prof. P. Lecomte Pierre, Université de Liège
Prof. M. Schneider, Université de Liège, Directrice
Prof. J. Winkin, Facultés universitaires Notre-Dame de la Paix (Namur)
Année académique 2010-2011
Daniel pour ses critiques constructives et ses nombreuses lectures.
Régine pour ses recherches sur une alimentation que mon corps accepte.
Christian dont les lumières spirituelles m'ont permis de garder les pieds sur terre Thierry et Micheline pour leur soutien par-delà les institutions.
Et enfin Maggy qui, par sa finesse, a su diriger quelqu'un
qui n'en fait qu'à sa tête.
This work intends to shed some light on the difficulties pupils have to go through when going from a secondary school to a university. To fulfill our goal, we will focus on the standard definition of the limit concept, given the central role it plays in enforcing the deductive structure of analysis and the misunderstandings surrounding it, met as much in the learners as in the teachers.
Imre Lakatos' epistemology allows us to formalize and ascertain the central role played by the standard definition of the limit concept, its very existence resuming to its ability to cast the calculus into a deductive mold, resulting in the birth of analysis. Plainly this means, first; that all of analysis' other concepts are defined by way of limits (derivative, integral, convergent series, ..) and, second; the standard definition is designed to proof the theorems where those other concepts arise (existence of the definite integral, intermediate value theorem, Cauchy's mean theorem, ...)
Given this lakatosian filter we are able to contrast the secondary school's views about the standard definition of the limit concept and the ones held by professional mathematicians, those giving birth to analysis courses taught at university level. Such an approach, explaining didactical phenomena in terms of institutional relationships is characteristic of Yves Chevallard's anthropological theory of the didactic (A.T.D.) whose theory makes up the first half of our theoretical framework. Our thesis sums up to the following statement. Reacting upon paradoxes it has to deal with, and as far as the limit concept is concerned, secondary school forges, into pupils, an understanding of the definition concept that really stands against a lakatosian view of the limit concept.
Our institutional analysis is supported by experimental results showing the resistance of future students to adopt a lakatosian understanding of the limit concept. This encounter with the fundamental character, that is its lakatosian feature, of the standard definition of limit is organized by means of an adidactic situation, a problem that needs to entertain a lakatosian understanding of definitions in order to be solved. Those two concepts (fundamental situation and adidactic situation) constitute the core of Guy Brousseau's theory of didactic situations (T.D.S.), the remaining part of our theoretical framework, which will, as well as the A.T.D., be exposed in chapter 3 of part II.
Finally, this work discusses other approaches pertaining to our our research interest, most
notably those reducing the acquisition of the limit concept to the understanding of formal
logic. Our lakatosian approach shows, indeed, that the word “formal”, often used to single out
the peculiarities of the mathematical field known as analysis, is understood in a very narrow
sense. This word's meaning is too easily reduced to the sole appearance of symbols, like the
quantifiers used in first order logic. Such an understanding tends to shadow the deeper reasons
underlying analysis, giving only an illusory grip on teaching the limit concept.
Ce travail tente d’éclairer les difficultés éprouvées par les élèves sortant du secondaire à effectuer la transition entre l’analyse telle qu’elle leur a été enseignée et celle qui leur est proposée à l’université. Pour ce faire, nous nous focalisons sur la définition usuelle du concept de limite, de par le rôle central qu’elle joue dans l’architecture déductive de l’analyse enseignée à l’université, mais également de par les déficiences constatées dans son enseignement, tant chez les enseignants que chez les apprenants.
L’épistémologie mathématique, développée par Imre Lakatos, nous permet de préciser cette centralité et de soutenir que la définition du concept de limite est fondamentalement construite afin de donner à l’analyse une architecture déductive. Cela signifie, d’une part, que tous les autres concepts de base de l’analyse sont définis à partir de cette dernière (dérivée, intégrale, convergence des séries, ...) et, d’autre part, que cette définition est construite pour permettre de démontrer les théorèmes où interviennent ces autres concepts (existence de l'intégrale définie, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de la moyenne, ...).
Cette analyse nous donne prise sur la problématique envisagée en nous permettant de contraster la notion de définition telle qu’elle est entendue dans l’enseignement secondaire et telle qu’elle est entendue dans un cours d’analyse enseigné à l’université. Cette approche consistant à contraster différentes institutions, ici le secondaire et l’université, est le propre de la théorie anthropologique du didactique (T.A.D.) d’Yves Chevallard constituant la première partie du cadre théorique dans lequel nous nous plaçons. Nous défendons la thèse que l’enseignement secondaire est confronté à un paradoxe (qui sera précisé lors du point IV.1) le conduisant à forger, dans le chef des élèves, un rapport à la notion de définition (au moins en ce qui concerne le concept de limite) qui s’érige véritablement en obstacle à l’adoption d’un rapport lakatosien à son égard.
Cette analyse institutionnelle est confortée par les résultats d’une expérience montrant la résistance qu’opposent de futurs étudiants à adopter un rapport lakatosien à la notion de définition. Cette confrontation avec le caractère fondamental, c’est à dire lakatosien, de la définition usuelle du concept de limite est organisée par le truchement d’une situation adidactique, une problématique qui nécessite de nouer un rapport lakatosien à la notion de définition afin d’être résolue. Ces deux concepts, celui de situation fondamentale et de situation adidactique, constituent le cœur de la théorie des situations didactiques (T.S.D.) de Guy Brousseau, l’autre partie de notre cadre théorique, est également exposée au chapitre 3 de la partie II.
Pour finir, ce travail met en perspective d’autres approches traitant la même problématique
dont celles qui la voient comme essentiellement réductible aux problèmes liés à l’acquisition
de la logique des prédicats. Nous montrons effectivement, à l’aide de notre analyse
lakatosienne, que l’adjectif « formalisé » qui vient souvent qualifier l’analyse au niveau
universitaire est entendu en un sens étriqué. Il est souvent réduit à la seule présence de
symboles, dont les quantificateurs de la logique des prédicats. Cette réduction voile les
véritables raisons d’être de l’analyse, ne fournissant ainsi qu’une prise illusoire sur la
problématique qui nous anime.
Partie I Résumé de la thèse...13
Abstract...15
Résumé...17
Partie II Problématique étudiée : ébauche, motivation et méthodologie retenue pour la traiter...27
Chapitre 1 Motivation et ébauche de la problématique considérée : autour de la définition usuelle de la notion de limite...31
1 La définition usuelle de la notion de limite, enjeu didactique de l’entrée dans l’analyse « formalisée ».32 2 Compte rendu d’un stage d’agrégation attestant de déficiences dans l’enseignement de la définition usuelle du concept de limite...33
3 Conclusions...40
Chapitre 2 D'autres approches envisagées pour traiter notre ébauche de problématique...43
1 Une approche basée sur la notion de « compétence langagière »...43
2 Une approche axiomatique du concept de limite...44
3 Une approche faisant appel à la logique des prédicats...44
4 Une approche qui fait appel à l’analyse non standard ...45
5 Une approche basée sur un principe de variabilité...47
6 Conclusions...48
Chapitre 3 Méthodologie retenue pour traiter la problématique considérée...49
1 Le concept de contrat didactique et les effets Topaze et Jourdain associés...50
2 Les concepts de milieu et de situation adidactique...54
3 Le concept d’obstacle et les hypothèses sous-jacentes à la T.S.D...57
4 Le concept de situation fondamentale...61
5 Méthodologie issue de la T.S.D.-T.A.D. employée dans ce travail...67
6 Conclusions...72
Partie III Modélisation du rapport entretenu par l’institution des mathématiciens au concept de limite...73
Chapitre 1 L'épistémologie mathématique d'Imre Lakatos...75
1 En quoi consiste l’épistémologie de Lakatos ?...77
2 Quelques exemples de proof-generated definitions...80
3 Résonance entre la théorie de Lakatos et notre cadre théorique...84
4 En guise de conclusion : controverses autour de la théorie de Lakatos et emploi au sein de notre travail ...85
Chapitre 2 Situation fondamentale du concept de limite ou étude de son caractère lakatosien...93
1 Cauchy père de l’analyse « formalisée »...93
2 Cadre dans lequel s’insère le cours d’analyse de Cauchy...94
3 La définition de limite proposée par Cauchy...95
4 Conclusions...102
1 Première institution : Les géomètres grecs...106 2 Seconde institution : Le calcul différentiel et intégral ou calculus, genèse et constitution...140 3 Troisième institution : L’analyse « formalisée »...159 4 Qu’est-ce que l’analyse « formalisée » ?...166 5 En guise de conclusion : deux types de praxéologies pour marquer la spécificité du concept de limite dans l’analyse « formalisée » par rapport au calculus...168
Chapitre 4 Rapport entretenu par l'actuelle institution des mathématiciens au concept de limite...171 1 Le « platonisme mathématique »...172 2 Étude de quelques définitions que les mathématiciens peuvent donner de la notion de limite en langue vernaculaire...174 3 Étude de quelques définitions que les mathématiciens peuvent donner de la notion de limite en logique des prédicats...180 4 Conclusions...193
Partie IV Modélisation du rapport personnel entretenu par les élèves, à la notion de limite, à leur sortie du secondaire et des difficultés qu’ils éprouvent à entrer dans
l’analyse « formalisée »...195
Chapitre 1 Modélisation du rapport entretenu par l’école à la notion de limite...197 1 Position praxéologique de la notion de limite dans l’institution scolaire...198 2 Écologie de la praxéologie scolaire...205 3 Stratégies que l’école ne peut pas mettre en œuvre pour concilier les contraintes I et II...208 4 Stratégies effectivement mises en œuvre par l’école pour concilier les contraintes I et II...210 5 Retour sur le double discours « paradoxal » tenu par Camille évoqué au chapitre 1 de la partie II...215 6 Confrontation de notre modélisation de l’écologie scolaire à celle proposée par Bosch et Gascon et al.
...216 7 Résumé de notre modélisation du rapport entretenu par l’école à la notion de limite...223
Chapitre 2 Modélisation du rapport entretenu par l’élève à la notion de limite...227 1 Modélisation du rapport personnel entretenu par les élèves à la notion de limite à leur sortie du
secondaire...227 2 Un modèle expliquant les difficultés que les élèves éprouvent à acquérir la notion de limite et à entrer dans l’analyse « formalisée »...230 3 Conclusions...232
Chapitre 3 Comparaison avec d'autres recherches...233 1 Relecture des approches exposées lors du chapitre 2 de la partie II...234 2 À propos d’une partie des travaux de Bernard Cornu relatifs à la notion de limite...248 3 Interaction entre la notion de limite et celles de nombre et de fonction...250 4 Des instances de l’obstacle générique empirique-sensualiste...259 5 Conclusions...262
Partie V Présentation d’une situation de mise à l’épreuve de notre modèle explicatif. .263
Chapitre 1 Structure et des caractéristiques générales de la situation de mise à l'épreuve...265 1 Objectif de la situation...265 2 Présentation des grandes lignes de la situation...266 3 Quelques caractéristiques ayant présidé à la conception de la situation...269
7 Dialectique entre suites particulières et suites génériques...276 8 Autre caractéristique de l'animateur de la situation et rôle des institutionnalisations...278 9 Rôle de l'erreur dans le fonctionnement de la situation...278 10 Commentaire final...279
Chapitre 2 Analyse a priori de la situation 1...281 1 Questions soumises aux élèves lors de la situation 1...281 2 Caractéristiques des objets du milieu qui indiquent que les objectifs assignés à la situation 1 seront rencontrés et déroulement attendu...282
Chapitre 3 Analyse a priori de la situation 2...297 1 Questions soumises aux élèves lors de la situation 2...297 2 Suites finies «concrètes» soumises aux élèves...298 3 Institutionnalisation proposée aux élèves à l’issue du déroulement de la situation 2...298 4 Caractéristiques des objets du milieu qui indiquent que les objectifs assignés à la situation 2 seront rencontrés et déroulement attendu...304
Chapitre 4 Analyse a priori de la situation 3...309 1 Déroulement macroscopique attendu...309 2 Structure de la situation 3...310 3 Structure de la grille de lecture adoptée pour analyser les questionnaires : niveaux de discours...311 4 Les suites infinies particulières soumises aux élèves...312 5 Le questionnaire 1 de la situation 3a...317 6 Le questionnaire 2 de la situation 3a...327 7 Le questionnaire 3 de la situation 3a...331 8 Questionnaire 1 de la situation 3b...347 9 Questionnaire 2 de la situation 3b...351 10 Questionnaire 3 de la situation 3b...357 11 Synthèse...360
Partie VI Déroulement de la situation de mise à l'épreuve...363
Chapitre 1 Cadre dans lequel se déroule la situation de mise à l’épreuve...365 1 Profil des élèves et prise de contact avec la situation...365 2 Répartition des élèves en groupes...366 3 Matériel à disposition pour garder une trace du déroulement de la situation...366 4 À propos des transcriptions des traces sonores, visuelles et écrites...367 5 Connaissances des étudiants à propos des notions de limite et de suite...367 6 À propos des institutionnalisations...368
Chapitre 2 Déroulement effectif de la situation 1...369 1 Rappel des enjeux de la situation 1...369 2 Rappel des questions soumises aux élèves lors de la situation 1...369 3 Déroulement effectif de la situation 1 dans le groupe 1...370 4 Déroulement effectif de la situation 1 dans les autres groupes...386 5 Synthèse...388 6 Commentaires sur le déroulement effectif de la situation 1...388 Chapitre 3 Déroulement effectif de la situation 2...391
3 Rappel des suites finies «concrètes» soumises aux élèves...392 4 Déroulement effectif de la situation 2 dans le groupe 1...392 5 Déroulement effectif de la situation 2 dans les autres groupes...407 6 Déroulement effectif de l'institutionnalisation...408 7 Commentaires sur le déroulement effectif de la situation 2...409
Chapitre 4 Déroulement effectif du questionnaire 1 de la situation 3a...411 1 Rappel des enjeux du questionnaire 1 de la situation 3a...411 2 Remarques préliminaires sur le déroulement du questionnaire...411 3 Rappel du questionnaire 1 de la situation 3a soumis aux élèves...411 4 Rappel des suites infinies particulières soumises aux élèves...412 5 Déroulement effectif du questionnaire 1 de la situation 3a dans le groupe 1...413 6 Déroulement effectif du questionnaire 1 de la situation 3a dans les autres groupes...427 7 Commentaires sur le déroulement du questionnaire 1 de la situation 3a...429
Chapitre 5 Déroulement effectif du questionnaire 2 de la situation 3a...433 1 Rappel des enjeux du questionnaire 1 de la situation 3a...433 2 Rappel du questionnaire 2 de la situation 3a soumis aux élèves...433 3 Déroulement effectif du questionnaire 1 de la situation 3a dans le groupe 1...433 4 Déroulement effectif du questionnaire 1 de la situation 3a dans les autres groupes...440 5 Déroulement effectif de l’institutionnalisation soumise aux élèves à l'issue du questionnaire 1 de la situation 3a...442 6 Commentaires sur le déroulement du questionnaire 2 de la situation 3a...443
Chapitre 6 Déroulement effectif du questionnaire 3 de la situation 3a...445 1 Remarques préliminaires sur le déroulement du questionnaire...445 2 Rappel du questionnaire 3 de la situation 3a soumis aux élèves...446 3 Déroulement effectif autour de la conjecture 1...446 4 Déroulement effectif autour de la conjecture 2...449 5 Déroulement effectif autour de la conjecture 3...449
Partie VII Synthèse, conclusions et perspectives...493
Chapitre 1 Synthèse, conclusions et perspectives...495 1 Notre modèle explicatif...496 2 Un point de vue sur l’enseignement de l’analyse...507 3 Notre situation envisagée comme projet d’enseignement...509 4 D'autres savoirs que notre situation pourrait questionner...516 5 Concevoir un manuel d'enseignement de l'analyse selon une perspective lakatosienne...528 6 Réflexions sur les ingénieries didactiques...529 7 Une perspective de recherche autour de la composante didactique d'un obstacle épistémologique...531 8 Pour conclure...532
Partie VIII Bibliographie...535 Partie IX Annexes...547
Annexe 1 : Équivalence entre les formulations D1 et D2 de limite d'une fonction...549 1 D1 D2...549
Annexe 2 : Transcriptions relatives à la situation 1...551 1 Transcription de la discussion relative à la situation 1 entre les élèves du groupe 1...551 2 Transcription des réponses écrites des élèves aux questions de la situation 1...558
Annexe 3 : Transcriptions relatives à la situation 2...571 1 Transcription de la discussion relative à la situation 2 entre les élèves du groupe 1...571 2 Transcription des réponses écrites des élèves aux questions de la situation 2 (à mettre dans les annexes de la thèse)...580
Annexe 4 : Transcriptions relatives au questionnaire 1 de la situation 3a...585 1 Transcription de la discussion relative au questionnaire 1 de la situation 3a dans le groupe 1...585 2 Transcription des réponses écrites des élèves au questionnaire 1 de la situation 3a...591
Annexe 5 : Transcriptions relatives au questionnaire 2 de la situation 3a...599 1 Transcription de la discussion relative au questionnaire 2 de la situation 3a dans le groupe 1...599 2 Transcription des réponses écrites des élèves au questionnaire 2 de la situation 3a...602
Annexe 6 : Transcriptions relatives à la conjecture 1 du questionnaire 3 de la situation 3a...607 1 Transcription des réponses écrites des élèves à la conjecture 1 du questionnaire 3 de la situation 3a...607
Annexe 7 : Transcriptions relatives à la conjecture 2 du questionnaire 3 de la situation 3a...613 1 Transcription des réponses écrites des élèves à la conjecture 2 du questionnaire 3 de la situation 3a...613
Annexe 8 : Transcriptions relatives à la conjecture 3 du questionnaire 3 de la situation 3a...617 1 Transcription des échanges entre A1 et les élèves...617 2 Transcription des réponses écrites des élèves à la conjecture 3 du questionnaire 3 de la situation 3a...632
ébauche, motivation et méthodologie
retenue pour la traiter
effectuer la transition entre l’analyse enseignée dans le secondaire et celle enseignée à l’université. Sous quels angles aborder cette problématique ? Quel en est l'intérêt ?
Le chapitre 2 expose, dans les grandes lignes, quelques approches envisagées par d'autres pour traiter notre problématique ou du moins des questions connexes. Cet exposé aura essentiellement pour objectif d'indiquer, par effet de contraste, les chemins de pensée que nous suivrons, de ceux que nous laisserons de côté, mais également d'extraire une série d'interrogations qui serviront à enrichir et à mieux cerner notre problématique. Les chemins empruntés seront précisés tout au long de la thèse, au fur et à mesure que nous disposerons d’outils appropriés pour les justifier.
Le chapitre 3 expose la méthodologie générale employée pour traiter notre problématique.
Elle est issue de la théorie des situations de Guy Brousseau et de la théorie anthropologique
du didactique d’Yves Chevallard et fait appel, pour l’essentiel, aux concepts de situation
fondamentale, situation adidactique et praxéologie. Cette méthodologie nous permettra de
préciser l'ébauche de problématique exposée au chapitre 1, d'en faire un objet de
questionnement mieux défini.
Chapitre 1 Motivation et ébauche de la problématique considérée : autour de la définition usuelle de la notion de limite
Ce chapitre motive et ébauche la problématique à laquelle ce travail est consacré. Une formulation précise, ainsi que la méthodologie envisagée pour la traiter, seront exposées lors du chapitre 3 de cette même partie, après avoir introduit, au chapitre 2, d'autres approches relatives à notre problématique. En bref, nous tentons d’éclairer les difficultés éprouvées par les élèves sortant du secondaire à effectuer la transition entre l’analyse telle qu’elle leur a été enseignée et celle qui leur est proposée à l’université, l’analyse dite « formalisée» (section 1).
À ce stade, le terme « formalisée » est à entendre comme qualificatif employé par plus d’un, pour marquer, de manière assez vague, la « distance » entre l’analyse enseignée dans le secondaire et celle enseignée à l’université. Cette dernière serait « formalisée » alors que l’autre pas. Nous préciserons ultérieurement, lors du chapitre 3 de la partie III, différentes acceptations que ce terme peut recouvrir et la manière dont nous l'entendrons à l'aune de ces analyses.
Pour comprendre ces difficultés de transition, nous nous focaliserons sur la définition usuelle du concept de limite, du fait du rôle central qu’elle nous semble jouer dans la mise en place de l’architecture déductive, caractéristique de l’analyse « formalisée», mais également de par les déficiences (section 2) constatées dans son enseignement, tant chez les enseignants (du secondaire et de l’université) que chez les apprenants (élèves et étudiants). Ces déficiences (section 3) suggéreront quelques pistes de réflexion qui semblent a priori intéressantes à explorer pour traiter la problématique envisagée, dont les liens entre les concepts de limite, de nombre, d’infini et de fonction, ainsi que les liens entre discours mathématique et discours didactique employé pour rendre accessible le mathématique.
Par définition « usuelle » du concept de limite nous entendons, au moins dans un premier temps, les définitions ci-dessous en ce qui concerne, d’une part, les suites et, d’autre part, les fonctions.
• Soit (a
n) une suite de réels. On dit que (a
n) admet le réel a pour limite lorsque
∀ε>0∃ n
0>0 ∀ n>n
0:| a
n− a |<ε .
• Soit f : R R une fonction et a,b des réels tels que a est adhérent à dom(f). On dit que b est la limite de f en a lorsque
∀ 0 ∃0 ∀ x ∈Dom f :0| x−a | ⇒ | f x −b | .
Ce choix initial est motivé par le constat suivant. Même s’il existe une multitude de
définitions du concept de limite, celles envisagées ici se rencontrent très souvent dans les
ouvrages d’introduction à l’analyse de l’enseignement secondaire belge. Or, c'est à ce niveau
d'étude que nous nous intéressons. D'autre formulations du concept de limite seront analysées
en temps voulu, au chapitre 4 de la partie III.
Le rôle central joué par le concept de limite dans l'analyse « formalisée » sera précisé et étayé, lors de la partie III, à l’aide de l’épistémologie de Lakatos. Elle nous permettra de justifier l’accent (c’est à dire l’hypothèse) mis sur la définition usuelle de limite. Pour l’heure il faut l’entendre comme un choix a priori qui se fait l’écho d’un lieu commun, au moins en ce qui concerne les mathématiciens, la centralité de la définition usuelle de limite dans l’analyse « formalisée ».
1 La définition usuelle de la notion de limite, enjeu didactique de l’entrée dans l’analyse « formalisée »
Même en laissant de côté les nombreux articles de journaux qui font état de la difficulté à effectuer la transition entre l’enseignement secondaire et universitaire, et pointent du doigt les faibles taux de réussite, la littérature spécialisée consacrée à ce sujet n’en reste pas moins importante, comme en témoigne encore le thème des transitions entre l’enseignement secondaire et les filières post-Baccalauréat de la récente école d’été de didactique des mathématiques de 2004, organisée par l’association pour la recherche en didactiques des mathématiques (A.R.D.M.)
1.
Au sein de cette transition, nous choisissons de nous intéresser à l’entrée dans l’analyse telle qu’elle est enseignée à l’université et spécifiquement à la définition usuelle du concept de limite, du fait du rôle central qu’elle joue dans le développement de son architecture déductive et des déficiences dont elle nous semble faire l’objet. Ce point de vue est soutenu que ce soit par des mathématiciens professionnels comme Serge Lang qui pensent que les étudiants n’ont pas la maturité nécessaire pour intégrer le formalisme lié au concept de limite (voir [Lang]) ou par des didacticiens qui, à l’instar de Ghislaine Gueudet, voient un parallèle
2entre les difficultés, attestées par de nombreuses recherches, à entrer dans une géométrie déductive et celles constatées pour l’analyse ([Gueudet, 3]) :
« Tall caractérise ainsi la pensée mathématique avancée : « Le passage de la pensée mathématique élémentaire à la pensée mathématique avancée implique une transition significative : celle de décrire à définir, de convaincre à prouver. C’est la transition de la cohérence des mathématiques élémentaires à la conséquence des mathématiques avancées. » [...] On ne peut pas affirmer que la transition évoquée par Tall coïncide avec la transition institutionnelle secondaire-supérieur. L’évolution qu’il décrit pourrait correspondre à certains moments du collège en France, en particulier l’entrée dans la démonstration en géométrie.
Nous allons simplement admettre ici que l’on peut observer des phénomènes de ce type à l’entrée dans le supérieur, sans exclure la possibilité qu’ils existent ailleurs. »
Complétons ces quelques points de vue par des exemples concrets, tirés de notre pratique d’enseignant ou de celle de collègues, tout en notant que l’objectif n’est pas de conduire, dès à présent, une étude approfondie de ce sujet, mais simplement d’appuyer l’intérêt de la
problématique considérée et d’en tirer quelques pistes qui pourraient être intéressantes à explorer, à l’aune du cadre théorique que nous allons nous donner.
1 Cf. [Gueudet] et son imposante bibliographie consacrée au sujet.
2 Le chapitre 3 de cette partie explicite, au travers d’une ingénierie développée par Guy Brousseau, le parallèle qu’elle dresse entre géométrie et (entre autres) analyse.
2 Compte rendu d’un stage d’agrégation attestant de
déficiences dans l’enseignement de la définition usuelle du concept de limite
Cette section pointe des déficiences dans l’enseignement de la définition usuelle du concept de limite qui nous semblent ressortir du compte rendu d’un stage d’agrégation où elle intervient et envisage au conditionnel quelques interprétations possibles de ces déficiences. Si l’objectif premier est, comme annoncé, d’asseoir l’intérêt didactique que nous portons au concept de limite, nous souhaitons également montrer d’emblée la complexité des phénomènes didactiques qui gravitent autour de ce concept, tant dans la variété des déficiences potentielles pointées que dans les interprétations parfois contradictoires qu’on peut en donner. Un des objectifs de cette thèse sera, dans une certaine mesure, de hiérarchiser la pertinence des interprétations que nous allons envisager.
2.1 Premier partie du compte rendu : du côté des élèves/étudiants
Amélie
3, étudiante en agrégation, discute avec Bernadette, le professeur en charge du cours de didactique pour lequel elle doit préparer, dans le cadre de ses stages, un cours sur le concept de limite. Elle pense définir « b est la limite en a de la fonction f » par la condition
∀ 0, | f x −b | .
Bernadette la questionne sur cette définition, lui faisant remarquer que f(x)=b lorsque la condition ∀ 0, | f x −b | est satisfaite, et donc que la fonction f est constante. Amélie lui répond que cela aurait été le cas seulement si elle avait considéré 0 au lieu de > 0 dans la condition ∀ 0, | f x −b | .
2.1.1 Commentaires sur la première partie
2.1.1.1 Obstruction de déficiences dans l’acquisition de la logique des prédicats ?
La définition proposée par Amélie soulève d’emblée des interrogations concernant sa cohérence logique. Où intervient a dans la définition ? Quel est le statut de x ? S’agit-il d’une constante, d’une variable ? Dans ce dernier cas, x est-elle quantifiée existentiellement, universellement ? Comment se positionne alors cette quantification par rapport à la quantification universelle portant sur ? Pareille définition ne témoigne-t-elle pas d’une incompréhension manifeste de la logique des prédicats ? Cette incompréhension est-elle à l’origine de la définition proposée par Amélie ? Le manque de cohérence, à ce point patent dans cette définition, suggère que l'emploi fait par Amélie de la logique des prédicats est peut- être déviant. Les quantificateurs ne font plus l'objet d'un enseignement explicite dans le secondaire. On les rencontre sur le tas. Ils sont souvent présentés comme des raccourcis d'écriture et sans doute employés comme tels la plupart du temps. Ils n'ont pas de visée fondationnelle, ne servent pas à assurer la justesse d'une démonstration. Ils subsistent à titre
3 Les prénoms employés dans cette section (Amélie, Bernadette, Camille) sont fictifs, ce afin de préserver l'anonymat des personnes impliquées.
d'emblème, marque d'un « authentique » travail mathématique mais dont l'emploi perçu relève plus de la commodité notationnelle. On peut s'interroger sur la perception qu'en a Amélie. Y voit-elle autre chose que des raccourcis commodes d'écriture ? Dans cette optique la signification qu'elle met derrière sa définition de limite, ∀ 0, | f x −b | , n'est peut- être pas celle qu'une lecture « stricte », selon la sémantique de la logique des prédicats, en ferait ? Voyons avec le point suivant la crédibilité qu'on pourrait attribuer à cette interprétation.
2.1.1.2 Obstruction des représentations
4du concept de fonction ?
Le développement historique du concept de fonction permet de jeter un autre éclairage sur l’ambiguïté du statut de la variable x dans la définition d'Amélie. Une vision « dynamique » de la notion de variable, entendue comme une succession de valeurs, qu’elle soit discrète ou continue, rythmée par l’écoulement d’un temps, implicite ou non, a longtemps précédé la vision « statique » actuelle. C’est la formulation du concept de fonction, en termes ensemblistes, suite à la « crise des fondements »
5secouant l’analyse au tournant du XX°
siècle, qui élimine progressivement l'entendement « dynamique » de la notion de variable, car dans le paradigme « statique », une variable « dynamique » est logiquement assimilable à une fonction définie en termes ensemblistes.
Cette élimination est théorique car épistémologiquement une variable « dynamique » ne se réduit pas à une variable « statique ». Du moins le constate-t-on, non seulement en physique, économie, ..., mais également dans des cours de mathématiques plus ou moins élémentaires
6. C’est de cette manière qu’on introduit, en certains endroits, le concept de fonction au secondaire, à l'aide de variables « dynamiques », de la manière dont il était défini avant d'être exprimé dans le cadre ensembliste. Ce type de définition se reflète dans la notation, y=f(x), employée pour désigner une fonction, marquant symboliquement l'opposition à la notation f, souvent employée dans une vision plus « statique ». Bien entendu, la notation y=f(x) n'est pas l'apanage exclusif du point de vue « dynamique », mais le symbolise avec force. En effet, avec cette notation, y=f(x), ne met-on pas symboliquement en avant qu'une fonction f établit un lien entre deux variables « dynamiques » x et y, le point de mire n’étant pas la fonction en
4 À ce stade de l’exposé, la notion de représentation est à entendre à la manière de Tall et son concept-image ([Tall, 3]) :
« [...] the concept image is regarded as the cognitive structure consisting of the mental picture and the properties and processes associated with the concept. Thus the concept image consists of all the mental structure, conscious or unconscious, that shapes the individual’s notion of that concept. This concept image need not be totally coherent. Depending on the context, different parts of the concept image may be activated. At any given time the portion of the concept image that is activated is called the evoked concept image. At different times different concept images may be evoked and if these are communicated to an observer then the latter may note that there are conflicts in what the individual says or does. However, the individual may not be at all disturbed by the conflicts. Such potential conflicts only become cognitive conflicts when they are evoked simultaneously. »
Le chapitre 3 de cette partie donnera une définition de cette notion dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique de Chevallard.
5 Voir la partie III et les prises de position d’un Bolzano ou d’un Weierstrass pour éliminer toute connotation
« dynamique » de l’analyse.
6 Il ne nous appartient pas ici de prendre position sur le bien fondé de cette subsistance. Nous renvoyons le lecteur à la thèse de Marysa Krysinska ([Krysinska]) pour un point de vue sur cette dualité.
tant que relation, la primauté allant aux variables x et y existant indépendamment l’une de l’autre ? Dans cette vision la fonction f ne fait que rendre compte d’un lien qui unit deux variables. La définition de fonction travaillant sur des variables « dynamiques » a d'ailleurs longtemps demandé que la fonction « décrive explicitement » le lien entre les deux variables, par exemple, analytiquement. Par opposition la seule notation f met en évidence que l'objet central est la fonction elle-même, les variables étant reléguées à l'arrière-plan.
Pour en revenir au domaine qui nous concerne directement, on trouve, dans un ouvrage comme celui de N.J. Schons, une définition de la limite d’une fonction, basée sur une définition préalable de la limite d’une variable « dynamique ». Schons commence par préciser ce qu’il entend par variable, dont il ressort indubitablement qu’il fait référence à une variable de type « dynamique » ([Schons, 156]) :
« Considérons une variable x qui passe successivement par une infinité de valeurs. Une variable passe successivement par diverses valeurs lorsque, considérant deux de ces valeurs, on peut dire que l’une d’elles précède l’autre ; et encore quelle est celle qui précède l’autre.
Elle passe successivement par une infinité de valeurs lorsque aucune de ces valeurs n’est la dernière. Ces valeurs peuvent se suivre d’une manière discontinue et être, par exemple, les termes successifs d’une suite illimitée de nombres. Elles peuvent également se suivre d’une façon continue de manière que x ne passe d’aucune valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires ; c’est ce qui a lieu, par exemple, lorsque x représente l’abscisse d’un point qui se déplace sur une droite orientée. »
Il définit ensuite la limite d’une variable ([Schons, 156]) :
« On dit que la variable x tend vers la constante a ou qu’elle a pour limite a, si la différence x – a devient et reste, en valeur absolue, inférieure à tout nombre positif donné arbitrairement si petit qu’il soit. On écrit alors x a ou lim x = a. »
Il s'en sert alors pour définir la limite d’une fonction ([Schons, 161]) :
« Considérons une fonction f(x) définie dans le voisinage de x = a. Faisons tendre x vers a.
Cela revient à attribuer à x une infinité de valeurs successives telles que la différence x – a tende vers zéro. Nous convenons de ne pas considérer la valeur a de x, lors même que la variable passerait par a en tendant vers sa limite. Considérons ensuite les valeurs que prend la fonction lorsque x tend vers a. Trois cas peuvent se présenter. [...] Il existe une constante A telle que la différence entre la valeur de la fonction et cette constante A tende vers zéro. On dit alors que la limite de la fonction est A quand x tend vers a.[...] »7
7 Le fait que la définition donnée par Schons corresponde à un point de vue sur la notion de fonction différent du point de vue ensembliste, basé sur la notion de variable « dynamique », apparaît bien dans la reformulation qu’il donne de la limite d’une fonction un peu plus loin, laquelle ne fait plus intervenir la notion de limite d’une variable ([Schons, 161]) :
« On dit que la fonction f(x) a pour limite A quand x tend vers a lorsque, étant donné un nombre positif arbitraire si petit qu’il soit, il existe un nombre positif tel que, pour toutes les valeurs de h
inférieures en valeur absolue à , on ait |f(a+h)-A|<. »
En effet, pourquoi procéder à pareil détour si ce n’est parce que la notion de variable est centrale dans la pensée qu’il développe ?
Étant donné cet éclairage, il n’est pas impensable que la représentation que se fait Amélie du concept de fonction soit basée sur une notion de variable « dynamique ». On pourrait alors, dans ce contexte, comprendre l’écriture, > 0, |f(x)-b| < , comme l’affirmation que
« Quelle que soit la distance considérée , avec le temps (qui s’écoule), la variable f(x) finira par se rapprocher plus près de b que la constante ».
Évidemment, Amélie n'a sans doute pas compris la logique des prédicats, l’intérêt qu'elle peut recouvrir, notamment dans la résolution des difficultés épistémologiques que soulèvent une notion de variable « dynamique », mais son intention n’était peut-être pas de faire appel à la logique des prédicats en tant que théorie (méta)mathématique. Donc, même si le rôle de a n’est pas explicité (on est loin de la précision de la définition proposée par Schons), la définition d'Amélie serait plus la résultante d’un cadre conceptuel (hérité du secondaire et ayant survécu au parcours universitaire) particulier concernant les fonctions que d’une incompréhension fondamentale de la logique des prédicats qui ne serait alors plus employée, même si c’est indu, que comme une sténographie commode pour la circonstance. Cette première interprétation donne un exemple de la complexité potentielle des interactions didactiques masquées derrière une faute mathématique grossière.
2.1.1.3 Obstruction des représentations du concept de nombre ?
Même si l’interprétation précédente, concernant l'obstruction des représentations du concept de fonction, s'avère pertinente, la proposition de définition d'Amélie et ses commentaires face aux réactions de Bernadette suggèrent, par ailleurs, une certaine incompréhension des propriétés élémentaires des nombres. En l’occurrence, le caractère archimédien des réels (et même des rationnels) proscrit l’existence de deux nombres distincts
« infiniment proches » l’un de l’autre, ce qu’Amélie soutient précisément en avançant que f x ≠b alors que
∀ 0, | f x −b | .
Le malaise est, semble-t-il, profond ; il n'est pas localisé à la seule personne d'Amélie, comme en témoigne une discussion sur le même sujet entre Bernadette et d’autres étudiants d’agrégation. Bernadette demande s’il est possible de formaliser « x tend vers a ». Un groupe d’étudiants répond par l’affirmative et propose comme formalisation « >0, très petit,
| x−a | ». Un étudiant fait alors remarquer que la condition « très petit » n’est pas nécessaire. Les étudiants rectifient et proposent «
∀ 0, |x−a|» comme nouvelle définition. Bernadette fait alors remarquer, comme elle l'avait fait pour Amélie, que x doit être égal à a si la condition
∀ 0, |x−a|est satisfaite. La réaction des étudiants est alors de proposer comme nouvelle définition «
∀ 0, 0|x−a|» en argumentant que
« [...] comme ça, on interdit à x d’être égal à a ». Au fond, n'était-ce pas la stratégie employée par Amélie, mais concrétisée différemment, en annonçant que sa définition était correcte parce qu'elle prenait >0 et non 0 ?
Ce malaise concernant les nombres est également apparent dans la réponse qu’Amélie
propose, dans un registre connexe, à une question qui lui a été soumise (ainsi qu’à d’autres),
toujours dans le cadre de l’agrégation. L’énoncé était le suivant :
« Soit une fonction y=f(x) dont la limite est un réel b lorsque x tend vers l’infini positif. Un professeur montre à ses élèves la situation correspondante : un graphique et son asymptote horizontale et leur demande de préciser cette situation par écrit pour qu’elle puisse être perçue par quelqu’un qui n’a pas le dessin sous les yeux. Voici trois réponses obtenues. Les acceptez-vous telles quelles ou avec des corrections et pourquoi ?
• C’est lorsque x tend vers et que le graphe de f(x) se rapproche de plus en plus de l’asymptote.
• La fonction f(x) a tendance à coller à la droite y=b pour des x tendant vers l’infini.
• Plus x est proche de l’infini, plus f(x) se rapproche de b. »
En substance, Amélie reproche à la première proposition de ne pas préciser si on parle de l’infini positif ou négatif et d’avoir oublié le terme « horizontale » :
« [...] manque de précision lorsque l’élève parle de l’infini (positif ou négatif ?). Sinon, mis à part l’oubli du mot « horizontale » cette définition permettrait sans doute une bonne vue d’ensemble de la Situation8. »
Par contre, contrairement à l’insistance rencontrée dans certains ouvrages de mathématiques comme celui de de Freycinet, cette étudiante ne pointe absolument pas que « le graphe f peut se rapprocher de plus en plus » d’une autre droite que l’asymptote et donc que la description donnée ne caractérise pas l’asymptote ([de Freycinet, 18-19]) :
« Pour être assuré qu’une quantité fixe est la limite d’une variable, il ne suffit pas de constater que la différence diminue de plus en plus : il faut encore prouver que cette différence peut devenir moindre que toute quantité donnée. Par exemple, toute parallèle à la direction de l’asymptote satisferait à la condition que les tangentes en approchent de plus en plus : cependant ce ne serait pas là une limite, parce que la différence entre ces tangentes et la parallèle en question ne pourrait pas être rendue moindre que la distance qui sépare la parallèle de l’asymptote. »9
Dans la même direction, nous avons pu constater à plusieurs reprises, au travers de notre expérience d’enseignant, une certaine persistance, malgré les nombreuses explications proposées concernant leur inadéquation, de l’emploi d’expressions du genre « f(x) se rapproche de plus en plus de b au fur et à mesure que x se rapproche de a », pour définir que b est la limite de f en a, comme si nos étudiants étaient incapables de faire le lien entre densité (pour l'ordre) des nombres et définition du concept de limite, de réaliser qu’avec pareille définition, f peut tendre vers d’autres valeurs que b et donc ne caractérise pas la convergence de f vers b.
2.1.1.4 Obstruction des représentations du concept de limite ?
On peut également suspecter des déficiences dans l'acquisition du concept même de limite chez Amélie car, implicitement, son choix de prendre > 0 au lieu de 0 dans sa définition de limite ( ∀ 0, | f x −b | ) pour s’assurer que f(x)b, suggère qu’elle rejette l’idée
8 Le « s » de situation est bien en majuscule dans l’original.
9 C'est nous qui soulignons.
qu’une fonction puisse atteindre sa limite, et témoigne d’une représentation en porte-à-faux vis-à-vis des cas de figures englobés par la définition usuelle, telles les fonctions constantes.
Nous avons effectivement également pu constater à de nombreuses reprises, dans notre pratique d’enseignant, que certains étudiants insistaient sur le fait qu’« une limite n’est jamais atteinte », malgré les exemples de suites ou de fonctions (constantes par exemple) venant contredire pareilles assertions. Parmi les réflexions que nous avons pu recueillir à brûle- pourpoint, certains arguent que considérer des limites de fonctions constantes ne sert à rien, la nécessité théorique de les inclure dans une définition de limite leur échappant.
Spécifiquement, ils ne semblent pas soupçonner que l’algèbre des limites repose sur pareille incorporation. À leurs yeux, cette dernière va de soi, et ne nécessite pas d’être soutenue par des preuves.
Le rejet de pareils contre-exemples semble également pouvoir être à nouveau relié aux représentations du concept de fonction développées par les élèves/étudiants. Les contre- exemples de fonctions et/ou de suites qui atteignent leur limite sont rejetés par certains au motif qu’ils ne constituent pas des exemples de suites : « une vraie suite possède une infinité de valeurs différentes » et donc une « suite à une seule valeur » n’est pas une suite. Les représentations que se font ces étudiants du concept de fonction et particulièrement de celui de suite ne leur permet pas de recevoir les contre-exemples comme tels. Il n'est d'ailleurs pas certain qu'une suite soit perçue comme un cas particulier de fonction. Peut-être parce que les exemples donnés sont le plus souvent de nature continue (fonction de R dans R) en
« opposition » à la discrétion des suites ?
2.1.1.5 Obstruction des représentations de la notion d’infini ?
D’autre part, le refus qu'une suite atteigne sa limite renvoie également à l’opposition classique entre infini potentiel et infini actuel : peut-on, d'une manière ou d'une autre, considérer un processus infini comme achevé ? Dans quelle mesure une expression comme
« une limite n’est jamais atteinte » est-elle l’affirmation d’une difficulté à considérer la convergence d’une suite ou d’une fonction comme un processus achevé, impossibilité due au constat qu'une suite, par exemple monotone, « continue indéfiniment toujours plus proche de sa limite » ? Il est alors remarquable de noter de « se rapprocher de plus en plus » suffit à certains étudiants pour qualifier la convergence alors qu’ils ont une conscience aigüe du caractère infini du processus, comme si l’une et l’autre composante de leurs représentations étaient cloisonnées dans des endroits différents
10.
2.2 Deuxième partie du compte rendu : du côté des enseignants
Revenons au stage d’agrégation évoqué au point précédent et poursuivons avec la réaction de Camille, maître de stage d’Amélie. Bernadette relate à Camille l’épisode qu’elle a vécu avec Amélie et lui demande ce qu’elle en pense. Camille lui réplique qu’elle procède de même. Il s’agit, pour elle, d’une « stratégie didactique » visant à éclater la complexité de la définition usuelle de limite. Au lieu d’une définition où des conditions, portant sur a et x, d’une part, et sur b et f(x), d’autre part, se retrouvent imbriquées les unes dans les autres, ce qui lui semble « complexe », elle propose, par le truchement de deux « définitions », f(x) tend
10 Cf. la définition de représentation adoptée ci-dessus inspirée de Tall.
vers b si ∀ 0, | f x −b | , et x tend vers a si ∀ 0, | x− a | , une présentation où les deux conditions sont en quelque sorte « séparées ». Il est alors plus facile d'étudier séparément les deux définitions, pour ensuite former la « définition » de limite qui devient alors « triviale » : b est la limite de f en a si f(x) tend vers b lorsque x tend a.
2.2.1 Commentaires sur la seconde partie
2.2.1.1 Une stratégie didactique répandue : diviser pour mieux expliquer
Cette « stratégie didactique », ne serait qu’un cas isolé si on ne la retrouvait dans des ouvrages de référence de l’enseignement secondaire, tel Espace Math, qui proposent de définir x tend a de manière similaire ([Adam&Lousberg, 65]) :
« Dans l’approche intuitive, on a rencontré des expressions comme : « en prenant des valeurs de x de plus ne plus proches du réel a ». Le mathématicien a formalisé cette intuition par la définition suivante : Une variable p se rapproche de plus en plus du réel constant k ou p tend vers k si et seulement si la valeur absolue de la différence entre p et k peut être rendue plus petite que n’importe quel réel strictement positif ou encore |p-k| < où est un réel strictement positif arbitrairement choisi. »11
Cette stratégie appelle quelques commentaires car la présentation proposée dans Espace Math est plus subtile que celle exposée par Camille. D’un point de vue mathématique et épistémologique, cette présentation met en jeu un glissement, subtil car implicite, d’interprétation concernant la notion de variable. Elle est tantôt « dynamique », comme dans la définition que nous venons de citer, tantôt « statique » dans le cadre de la définition de limite d'une fonction qu’on retrouve également dans ce manuel ([Adam, 66]) :
« Soit f : R R : x f(x). lim
xaf(x) = b si et seulement si pour tout réel strictement positif
, il est possible de déterminer un réel strictement positif (pouvant dépendre de ) tel que : 0
< |x – a | < |f(x) – b | < . »
Ce glissement subtil est pourtant crucial à expliciter, puisque dans le cadre des réels, de par l’axiome d’Archimède, une formulation qui tablerait sur des propriétés comme
∀ 0, | x −a | ne permettrait pas d’exprimer la convergence lorsqu’on l'écrit en logique des prédicats, avec x entendu comme variable « statique ». En effet, avec un entendement « statique », la condition ,
∀ 0, |x−a|implique nécessairement x=a et de même pour la condition analogue portant sur f(x) et b. On ne dit donc rien d'autre que x=a et f(x)=b. Comment un élève est-il censé discriminer entre les définitions tablant sur un entendement « statique » de celles tablant sur un entendement « dynamique » ?
2.2.1.2 Pertinence d'une telle stratégie ?
Les enseignants et auteurs de manuels sont-ils pleinement conscients de pareils glissements et des contradictions qui en résultent ? Rien ne permet de trancher. Peut-être faut-il voir dans ce type de présentation un certaine prédominance des considérations didactiques par rapport aux considérations mathématiques ? C'est du moins l'impression qui ressort lorsqu'on regarde le passage de Schons à Espace Math et d'Espace Math à Amélie. Un discours
11 Emphase dans l’original faisant également appel à des jeux de couleurs que nous n’avons pas reproduit.
mathématiquement tenable est progressivement vidé de sa substance au profit d'une supposée simplification de l'exposé, jusqu'à l'obtention d'un texte mathématiquement et épistémologiquement intenable. L'analyse d'une telle dialectique devrait certainement faire l'objet d'un questionnement didactique, tant dans l'explicitation de ses manifestations que dans l'étude de sa pertinence. À quelles conditions le didactique est-il autorisé à prendre le pas sur le mathématique ?
3 Conclusions
Le compte rendu du stage d'agrégation que nous venons d'analyser pointe des déficiences dans l’enseignement de la définition usuelle de limite à différents niveaux. Pas seulement au niveau des apprenants, mais également au niveau des enseignants. Pas seulement à l’école, mais également à l’université. Ce constat nous semble suffisant pour motiver une étude didactique approfondie concernant l’enseignement de l’analyse « formalisée » et spécifiquement du concept de limite.
Ce compte rendu suggère également quelques pistes à explorer pour démêler les tenants et aboutissants relatifs au concept de limite, que nous présenterons sous forme d’interrogations
12.
Quelle est la place de la logique dans l’enseignement du concept de limite ? Spécifiquement, dans quelle mesure peut-on envisager les déficiences pointées à l’aune de cette grille de lecture ?
Quelles sont les représentations que les élèves/étudiants se font du concept de limite ?
Leurs éventuelles divergences avec sa définition usuelle sont-elles à même d’expliquer les difficultés pointées ?
Plus profondément, peut-on expliquer comment ces représentations naissent et pourquoi elles sont en porte-à-faux avec la définition usuelle ? En particulier, sont-elles liées à leurs représentations concernant l’infini, les fonctions, les nombres ?
o Dans quelle mesure peut-on les attribuer à la vision qui est proposée de la définition de limite entremêlant discours mathématique et didactique ?
o Pourquoi cet entrecroisement ? Comment une définition censée servir de base au développement de l’architecture logique de l’analyse peut- elle se retrouver à ce point dévoyée ?
Quelle est la légitimité de cette « stratégie didactique » ? L’intrication de la définition usuelle est-elle la source de toutes les difficultés ? Peut-on lui donner un cadre légitime tant du point de vue mathématique que didactique ? Par
12 « The intellectual is one who turns answers into questions » Hofstadter cité dans [Chevallard].
exemple, l’analyse non standard, dont nous parlons au chapitre suivant, est-elle à même de répondre à pareille attente ?
Notre travail nous amènera à explorer, au moins partiellement, ces pistes. Ce sera l’objectif du
chapitre 3 de cette partie de délimiter le cadre dans lequel nous les traiterons. Nous y
introduirons la théorie des situations didactiques (T.S.D.) et la théorie anthropologique du
didactique (T.A.D.), ainsi que les hypothèses sur lesquelles elles reposent, qui sont à la base
de la méthodologie des situations fondamentales/adidactiques qui sera la nôtre. Mais avant
d’aborder ces aspects, nous proposons, au chapitre suivant (chapitre 2), de passer en revue
quelques approches envisagées pour traiter la problématique nous préoccupant, dont certaines
reprennent à leur compte les pistes évoquées ici, afin de mieux marquer la spécificité de
l’approche que nous allons développer.
Chapitre 2 D'autres approches envisagées pour traiter notre ébauche de problématique
Ce chapitre présente quelques approches envisagées par d’autres pour traiter la problématique de l’entrée dans l’analyse « formalisée » et le concept de limite et, même pour certaines, de l'entrée dans les mathématiques en général. Parmi ces approches, nous distinguerons
une basée sur la notion de « compétence langagière » (section 1),
une tablant sur un développement axiomatique du concept de limite (section 2),
une faisant appel à la logique des prédicats (section 3),
une qui fait appel à l’analyse non standard (section 4),
une basée sur le principe de variété (section 5).
Nous ne visons donc pas l'exhaustivité. Les exposer, avant même d’avoir précisé le cadre de travail au sein duquel nous nous plaçons, et la forme précise que prend la question étudiée, nous servira à situer, par effet de contraste, l’approche que nous envisageons d’adopter, mais aussi de collecter, à la suite de celles relevées au chapitre précédent, un certain nombre d'interrogations relatives à notre problématique qui nous serviront à l'enrichir et à mieux la cerner.
1 Une approche basée sur la notion de « compétence langagière »
La notion de « compétence langagière » est assez floue. On pourrait cependant se risquer à la caractériser indirectement en relevant que les approches qui tablent dessus prennent pour acquis qu’un certain travail de la langue vernaculaire est de nature à aider les élèves/étudiants à surmonter les difficultés qu’ils éprouvent à acquérir un savoir qu’il soit mathématique ou autre. Ce principe semble, à première vue, relever du bon sens le plus élémentaire. Comment acquérir un savoir alors même qu'on éprouve des difficultés avec le langage employé pour véhiculer ce savoir ? Relever un tel lieu commun n'est cependant pas sans intérêt. Cela nous permet de mettre en relief une caractéristique unique de la méthodologie adoptée au chapitre suivant. Le cadre didactique que nous allons employer utilise les mathématiques (en un sens à préciser) comme une grille de lecture des difficultés rencontrées par les élèves/étudiants. On ne va pas chercher à l'extérieur des mathématiques les raisons de ces difficultés. Ce parti pris ne signifie pas que des raisons extérieures aux mathématiques n'ont aucune pertinence mais qu'une analyse mathématique est incontournable car l'enseignement mathématique n'est pas réductible à des généralités applicables à toutes les disciplines. Il comporte une spécificité irréductible qu'il convient d'analyser.
Regardons de plus près comment l'approche par les « compétences langagières » se spécialise avec le projet Euclide. Ce dernier postule que les difficultés à entrer dans les mathématiques telles qu’elles sont enseignées dans le premier cycle universitaire, relèvent de déficiences au niveau des « compétences langagières » qui empêchent un « transcodage »
« correct » du français aux symboles mathématiques et inversement ([Euclide]) :
« Maîtriser sa langue se révèle essentiel [...] et est décisif lors du transcodage (en l’occurrence ici le passage de symboles mathématiques au français ou vice-versa). »
Le projet Euclide véhicule un modèle didactique implicite de l'activité mathématique.
Mathématiser c'est transcoder de la langue vernaculaire vers les symboles mathématiques.
Quelle est la portée de pareil modèle concernant le concept de limite ? Quel fragment de la langue vernaculaire la définition usuelle de limite symbolise-t-elle ?
2 Une approche axiomatique du concept de limite
Selon Serge Lang, déjà introduit au chapitre 1 de cette partie, les étudiants entrant à l’université n’ont pas les bases psychologiques nécessaires pour assimiler le formalisme de l’analyse ([Lang]). Fort de ce constat, il préconise et met en œuvre une approche axiomatique du concept de limite, évacuant ainsi la « complexité » de sa définition. En bref, il prend pour axiomes définissant la limite, l’algèbre des limites et le théorème du sandwich. Que penser de cette stratégie d'évitement ? Vaut-il mieux affronter les difficultés liées à la définition de limite ou les contourner lorsqu'on en a la possibilité ? Quels seraient les avantages d'enseigner la définition de limite, à supposer qu'une approche axiomatique se passe sans heurts ?
L'approche envisagée par Lang est intéressante à un autre égard. Il évacue la définition de limite par le biais d'une approche axiomatique. Or ce type d'approche n'est pas le fait d'une personne isolée. Bourbaki en son temps ne préconisait-il pas l'enseignement des réels selon une voie axiomatique ? Ce faisant, ce type d'approche fait l'hypothèse didactique d'une présentation axiomatique qui serait simplificatrice. Il serait dès lors intéressant de mettre en perspective les vertus didactiques supposées de pareille approche. Quelle est la pertinence de transposer une certaine philosophie mathématique voyant dans l'axiomatisation des théories leur stade ultime en une philosophie didactique ? Quel serait l'intérêt d'une présentation axiomatique à destination de débutants ?
3 Une approche faisant appel à la logique des prédicats
D'un côté, nous l'avions également noté au chapitre précédent, la définition du concept de limite, ∀ 0, | f x −b | , proposée par l’étudiante en agrégation, Amélie, suggère que la logique pourrait occuper une place importante dans la problématique transitionnelle qui nous intéresse. D'un autre côté, nous avions également relevé que pareille définition peut être attribuée à autre chose qu'à une mauvaise compréhension de la logique des prédicats, qu'elle pourrait aussi bien être la résultante d’un usage sténographique de cette logique, couplé à une vision « dynamique » de la notion de variable. Mais étant donné la vocation, entre autres, fondationnelle de la logique des prédicats, et l’effort de rigueur dans laquelle elle s’inscrit, n’est-elle pas, d’une manière ou d’une autre, à même de faciliter l’entrée dans l’analyse qui semble en faire un usage abondant ? C’est la piste apparemment envisagée par Faïza Chellougui lorsqu’elle reprend à son compte, mais dans une perspective didactique, la thèse énoncée par le logicien W.O. Quine ([Chellougui3, 1]) :
« Notre travail illustre la thèse de Quine selon laquelle l’enrégimentement des énoncés dans le calcul des prédicats est la pierre de touche de la clarté conceptuelle »
