Examen d’Analyse Fonctionnelle Session 1

Examen d’Analyse Fonctionnelle Session 1

lundi 17 décembre 2007 durée 4 heures Université d’Artois

Faculté des Sciences Jean Perrin M1 Mathématiques 2007–2008

Exercice 1.(4,5 points : 0,5 + [0,5 + 0,5] + [0,5 + 1 + 1 + 0,5]).

SoitH un espace de Hilbert complexe et T: H → H une application linéaire continue.

On supposeT auto-adjointe, c’est-à-dire que T^∗=T. 1) Montrer que(T x|x)∈Rpour toutx∈H.

On noteS= sup_kxk=1(T x|x).

2) a) Montrer queS6kTk.

b) Montrer que|(T z|z)|6Skzk² pour toutz∈H. 3) a) Vérifier que pour tousu, z∈H et a∈C, on a :

T(az+u)|az+u

− T(az−u)|az−u

= 4Re T(az)|u . b) En déduire que|Re T(az)|u

|6^S2(kazk²+kuk²)(utiliser l’identité du parallélo- gramme).

c) En déduire que kT zk²6Skzk kT zk (choisira>0 et u∈H de sorte que kazk² = kuk²=kT zk kzk).

d) En déduire queS=kTk.

Exercice 2.(4,5 points : 1,5 + [1 + 0,5] + [0,5 + 1])

SoitX un sous-espace fermé deL²([0,1])dont chaque élément est aussi dansL^∞([0,1]).

1) Montrer qu’il existeC <+∞tel que kfk∞≤Ckfk2pour toute f ∈X. 2) On fixen∈N^∗ et une famille orthonormée(f1,· · ·, fn)dansX.

Pourx= (x1, . . . , xn)∈Cⁿ, on noteFx=Pn j=1xjfj.

a) On choisit une partie dénombrable dense D deCⁿ. Montrer qu’il existe N ⊆[0,1]

de mesure nulle telle que|Fx(t)|6Ckxk2 pour toutx∈D et toutt∈[0,1]\N.

b) En déduire que|Fx(t)| ≤Ckxk2 pour toutx∈Cⁿ et toutt∈[0,1]\N.

3) En choisissant x convenablement, montrer que Pn

j=1|f_j(t)|² ≤ C² pour tout t ∈ [0,1]\N.

4) Qu’en déduit-on quant à la dimension deX?

T.S.V.P.−→

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Exercice 3.(5 points : 1 + 1 + 1 + 2) On pose :

f(x) = 1I_[−1,1](x) et g(x) = sinx x · 1) Montrer queg∈L²(R)mais queg /∈L¹(R).

2) Calculerf ∗f.

3) Calculer la transformée de Fourierfˆ.

4) On pose h(x) = 2g(2πx). Déterminer Fh, où F est la transformée de Fourier- Plancherel deL²(R).

Exercice 4.(6 points : [0,5 + 0,5] + 0,5 + [0,5 + 1 + 1] + 2) SoitH un espace de Hilbert complexe.

1) SoitT ∈L(H).

a) Montrer quekTk²= sup_kxk=1(x|T^∗T x).

b) En déduire quekT^∗Tk=kTk².

2) Montrer queλest une valeur spectrale deT si et seulement si¯λest une valeur spectrale deT^∗.

3) On supposeT auto-adjoint, c’est-à-dire que T^∗=T. a) Montrer quekT²k=kTk².

b) CalculerkT^2kkpour tout entierk>0, puiskTⁿkpour tout entiern>1en fonction dekTk.

c) En déduire le rayon spectralr(T)deT.

4) En déduire que siT est auto-adjoint et compact (etT 6= 0), alorsT possède au moins une valeur propre non nulle.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗

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