Deuxième Année de Licence SV-SVN 2015/2016
Examen de mathématiques, 8 janvier 2015
deux heures, calculatrice collège autorisée et documents interdits.
Exercice 1 : On considère la suite(un)n∈Ndéfinie par la donnée deu0 ∈Ret la relation de récurrence suivante :
∀n∈N, un+1=−un 2 + 3 1. Conjecture sur le comportement de la suite.
(a) Sur un même graphique, tracer les droites d’équationy=x ety=−x 2 + 3.
(b) En ajoutant sur ce graphique des tracés permettant de visualiser l’évolution de la suite, conjecturer sur le comportement (monotonie, convergence) de la suite en fonction deu0. 2. On définit la suite (vn)n∈N par :
∀n∈N, vn=un−2
Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique et précisez sa raison.
3. Montrer alors que(un)n∈N est convergente.
4. Quels sont les points fixes de la suite(un)n∈N? Etudier leur stabilité.
Exercice 2 : On considère l’équation différentielle
x0(t) = 10x(t)−2(x(t))2 où xest une fonction dérivable dépendant du temps t.
1. Soitf la fonction définie surR parf(x) = 10x−2x2. Calculer f0(x).
2. Donner les solutions stationnaires de l’équation différentielle.
3. Représenter le comportement des solutions à l’aide d’un graphe.
4. Donner la stabilité des solutions stationnaires.
5. Soitx une solution de l’équation différentielle telle quex(0)>0.
Peut-on prévoir l’évolution de la fonction x? Justifier.
Exercice 3 : Soit A=
8 −10
5 −7
,V =
2
1
,W =
1
1
etP =
2 1
1 1
. 1. CalculerAV etAW. En déduireAP.
2. Rappeler les formules donnant l’inverse d’une matrice 2×2. Montrer que P est inversible et calculer P−1.
3. Vérifier que ∆ =P−1AP est une matrice diagonale. Donner sa valeur.
4. On considère deux suites définies par récurrence par :
∀n∈N,
un+1 = 8un−10wn
wn+1 = 5un−7wn avec u0 = 1 etw0 = 0.
(a) Exprimerun etwn en fonction den∈N. (b) En déduire lim
n→+∞un et lim
n→+∞wn
Exercice 4 : Soit f:R2 →Rdéfinie parf(x, y) = (y−x)(y−x2) pour tout(x, y)∈R2. 1. Tracer la courbe de niveau d’équationf(x, y) = 0
2. Développerf(x, y)et calculer les dérivées partielles de f.
