Contrôle de Mathématiques n 4 du Samedi 25 Janvier 2020 durée 4 heures. Partie COMMUNE - durée 3 heures

(1)

1

Contrôle de Mathématiques n°4 du Samedi 25 Janvier 2020 – durée 4 heures – NOM : ………

Partie COMMUNE - durée 3 heures

Exercice I : sur 4 points

Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A, une filière B et une filière C.

Chaque étudiant de l’université est inscrit dans une des trois filière et une seule.

Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B.

Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C.

On sait de plus que :

- 20 % des étudiants de la filière A sont des filles ; - 30 % des étudiants de la filière B sont des filles ; - 40 % des étudiants de la filière C sont des filles.

On choisit un étudiant au hasard.

1) Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit une fille.

2) Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit dans la filière A sachant c’est un garçon.

3) Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit dans la filière A ou dans la filière B sachant que c’est une fille.

4) On choisit un échantillon aléatoire avec remise de 48 étudiants de la filière B. Quelle est la probabilité qu’au moins la moitié soit des filles ? On donnera la valeur arrondie au millième.

classe de TS 3

(2)

2 Exercice II : sur 7 points

Partie A :

1) Résoudre dans  l’équation e^x−e⁻^x− =4 0. On pourra utiliser le changement d’inconnue X =e^x. 2) Étudier le signe de l’expression e^x−e⁻^x−4 suivant les valeurs de x.

Partie B :

On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe

C

d’équation ¹

(

^- ²

)

2

x x

y= e +e − dans le plan muni d’un repère orthonormé

(

^{O, ,}^{i j}

)

. Cette courbe est appelée une « chaînette ». On s’intéresse ici aux

« arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein. On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe

C

du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

On considère la fonction

f x : e

^x

+ e

⁻^x

− − 4 x 2

sur l’intervalle ^I ⁼



^{0 ;}^{+ }



^.

1) Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation

( ) ( )

^E ^: ^{f x} ⁼⁰^.

2) Calculer ^{f x}^'

( )

^.

3) A l’aide des résultats de la partie A, étudier le signe de ^{f x}^'

( )

puis faire le tableau de variations de f sur I. On attend les valeurs exactes des extremums.

4) Démontrer que l’équation

( ) ( )

^E ^: ^{f x} ⁼⁰ admet une unique solution



dans l’intervalle

 

^{2 ; 3}

puis donner la valeur arrondie au millième de



. O

M' M

C

hauteur

largeur

− x x

j ⁱ

(3)

3 Exercice III : sur 4 points

On considère la suite

( )

un définie sur  par son premier terme ₀ ³

u = 2 et la relation de récurrence

2 1

n n

n

u u

+ =u

+ pour tout entier naturel n.

On admettra que tous les termes de la suite sont strictement supérieurs à 1.

1) Sur le graphique ci-dessous, la courbe C a pour équation 2 2

1 y x

=x

+ . Effectuer la construction des 4 premiers termes de la suite sur le graphique.

D’après ce graphique, que peut-on conjecturer pour le sens de variation de la suite et pour sa convergence ?

2) Vérifier que

( )

1

1 1

n n

n

u u u u

+ u

− = −

En déduire le sens de variation de

( )

un .

3) On considère l’algorithme ci-dessous où la variable A saisie en entrée est un réel strictement supérieur à ³

2 . On précise que les autres variables qui interviennent sont u qui est un réel et n qui est un entier naturel.

2 3 4 5 6

-1

2 3 4 5

-1

0 1

1

x y

Entrée : Saisir A

Initialisation : u prend la valeur ³

2 n prend la valeur 0 Traitement :

Tantque uA Faire u prend la valeur

2 2

1 u +u n prend la valeur n+1 FinTantque

Sortie : Afficher n

Quelle valeur de n obtient-on en sortie pour A=100 en entrée ?

Interpréter pour la suite

( )

un la valeur de n affichée en sortie pour une valeur de A strictement supérieur à ³

2 .

(4)

4 Exercice IV : sur 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

(

^{O, ,}^{u v}

)

^.

À tout point M d’affixe z, on associe le point M ' d’affixe

z ' = − + z

²

2 z

. Le point M ' est appelé image du point M.

On note A le point d’affixe 1.

1) Déterminer les affixes des points M dont l’image est le point d’affixe 2.

2) Soit M un point d’affixe z et M ' son image d’affixe z'. On note N le point d’affixe z_N = z². Démontrer que M est le milieu du segment



^{NM '}



^.

3) Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

a) Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et

z

_N. En déduire que N appartient à C.

b) Soit A le point d’affixe 1. Démontrer sans utiliser la forme algébrique de z que AM=MN. c) Justifier la construction suivante à la règle et au compas de l’image d’un point M quelconque

de C distinct de A.

On trace le cercle



de centre M passant par A. Ce cercle recoupe le cercle C au point N.

Tracer ensuite la droite

(

^MN

)

^.M 'est le 2^ème point d’intersection de

(

^MN

)

^{et de}



.

Effectuer cette construction sur le graphique donnée ci-dessous.

(5)

5

Exercices pour les élèves qui ne sont pas en spécialité mathématiques.

A rédiger sur une copie séparée Durée 1 heure

Exercice I : sur 7 points Résoudre les équations et inéquations suivantes :

( )

E1 : lnx+ln

(

x− =2

)

ln

(

x+10

) ( )

E2 : ln x +ln x− =2 ln x+10

( )

3 1

2

3ln 2 ln 5 :

x y

E x

y e

−

− =



 =

 On montrera d’abord que ce système est équivalent à

( )

3

3 2 5

2 1

: ln

ln

X Y

E X x

Y y

− =

 − = −

 =

 =



( ) (

E4 : lnx

)

²−lnx− 6 0 Exercice II : sur 6 points

Dans le plan complexe, on considère le polynôme P défini par ^{P z}

( )

^{= +}^z⁴ ⁸^z³⁺²⁹^z²⁺³²^z⁺¹⁰⁰

1) Calculer ^{P i}

( )

²

2) Déterminer les coefficients réels a b, et ctels que ^{P z}

( )

⁼

(

^z²⁺⁴

)(

^az²⁺^bz⁺^c

)

3) En déduire les solutions de l’équation ^{P z}

( )

⁼⁰

4) Montrer que les solutions de l’équation ^{P z}

( )

⁼⁰ sont toutes les affixes de points (que l’on pourra noter A, B, C, D) situés sur un cercle de centre L d’affixe ²¹

− 8 dont on déterminera le rayon.

Exercice III : sur 7 points

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé

(

^{O i j k}^{, ; ;}

)

, on considère les points A , B et C de coordonnées : ^A

(

^{2; 1;3}⁻

)

^B

(

⁻^{3;0; 4}

)

^et^C

(

^{0; 4;14}⁻

)

1) Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

2) Démontrer que les points O, A, B et C ne sont pas coplanaires.

3) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite

( )

^AB

4) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite

( )

^d parallèle à

( )

^AB et passant par C.

5)

Démontrer qu’il existe un point L de

( )

^AB et un point P de la droite

( )

^OC tel que le point

5 9

4; ;2 2

R− −  soit le milieu de

 

^PL ^.

(6)

6

Partie de Spécialité – A rédiger sur une copie séparée Exercices pour les élèves qui sont en spécialité mathématiques.

Durée 1 heure

NOM : ………..

Exercice I : sur 3,5 points

Soit n un entier relatif. On pose a=2n+3 et b= +n 3. 1) Soit d un entier naturel qui divise a et b.

En considérant l’expression 2b a− , déterminer les valeurs possibles de d.

2) Compléter le tableau de congruences ci-dessous.

n  (mod. 3) 0 1 2 a  (mod. 3)

b (mod. 3)

3) On considère les phrases A : « a et b sont premiers entre eux » et

B : « n n’est pas un multiple de 3 ». Quel lien y a-t-il entre A et B ? Justifier.

Exercice II : sur 7 points

Certains nombres entiers naturels non nuls peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d’entiers naturels.

Par exemple :

3 3 3 3 3

3 3 3 3

13 4 7 7 9 2

13 1 1 1 2 2

13 1 7 10 11

= + + − −

= − − − + +

= + + −

Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « sommes » de cubes à la place de « sommes ou différence de cubes d’entiers naturels ».

Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en « somme » de 5 cubes.

Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en « somme » de 4 cubes.

1) a) En utilisant l’égalité 13=1³+7³+10³−11³, donner une décomposition de 40 en « somme » de 5 cubes.

b) On admet que pour tout entier naturel n on a : ⁶ⁿ⁼

(

ⁿ⁺¹

) (

³⁺ ⁿ⁻¹

)

³⁻ⁿ³⁻ⁿ³

En déduire une décomposition de 48 en « somme » de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en

« somme » de 5 cubes, différente de celle donnée en 1) a)

(7)

7 2) Le nombre 40 est une « somme » de 4 cubes : 40=4³−2³−2³−2³.

On veut savoir si 40 peut être décomposé en « somme » de 3 cubes.

a) Compléter sans justifier : Reste de la division

euclidienne de n par 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Reste de la division

euclidienne de n³ par 9 1

b) On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel n, l’entier naturel n³ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à −1. Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en « somme » de 3 cubes.

Exercice III : sur 9,5 points

On considère les suites

( )

un et

( )

vn définies sur  par leurs premiers termes

u

₀

= 0

et

v

₀

= 1

ainsi que les relations de récurrence

u

_n₊₁

= 2 u

_n

+ v

_n et

v

_n₊₁

= 3 u

_n

+ 2 v

_n pour tout entier naturel n,

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels et on ne cherchera pas à déterminer les expressions de

u

_n et

v

_n en fonction de n.

1) On a calculé les premiers termes des deux suites.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

u

n 0 1 4 15 56 209 780 2911 10864 40545 151316 564719 2107560

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

v

n 1 2 7 26 97 362 1351 5042 18817 70226 262087 978122 3650401 Conjecturer le chiffre des unités de

u

_n suivant les valeurs de n.

2) Exprimer

u

_n₊₂ en fonction de

u

_n et de

v

_n puis

u

_n₊₃ en fonction de

u

_n et de

v

_n. On admettra que u_n₊₆ =1351u_n+780v_n pour tout entier naturel n.

3) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a u_n₊₆ u_n (mod. 10).

4) À l’aide du résultat de la question précédente, déterminer le chiffre des unités de

u

(8)

8 Corrigé du Contrôle de Mathématiques n°4 du Samedi 25 Janvier 2020

Exercice I :

Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B signifie que ^{p A}

( )

⁼²^{p B}

( )

Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C signifie que ^{p B}

( )

⁼³^{p C}

( )

De plus ^{p A}

( ) ( ) ( )

⁺^{p B} ⁺ ^{p C} ⁼¹^{, soit}⁶

( )

³

( ) ( )

¹

( )

¹

p C + p C +p C =  p C =10ce qui donne aussi

( )

³

p B =10 et

( )

⁶

p A =10 On sait de plus que :

- 20 % des étudiants de la filière A sont des filles ; - 30 % des étudiants de la filière B sont des filles ; - 40 % des étudiants de la filière C sont des filles.

On choisit un étudiant au hasard.

1) Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit une fille revient à chercher ^{p F}

( )

. Or F et G forment une partition de l’univers, donc d’après la loi des probabilités totales on peut écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

p F = p FA + p FB + p FC soit

( )

A

( ) ( )

B

( ) ( )

C

( ) ( )

p F = p F p A +p F p B +p F p C

( )

^{0, 2} ⁶ ^{0, 3} ³ ^{0, 4} ¹ ^{0, 25}

10 10 10

p F =  +  +  =

La probabilité que l’étudiant choisi soit une fille est égale à ¼

2) Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit dans la filière A sachant c’est un garçon revient à chercher pG

( )

A . Or

( ) ( )

( )

G

p A G p A

p G

= 

( ) ( ) ( ) ( )

1

A G

p G p A

p A

p F

= 

−

( )

^{0,8 0, 6} ^{0, 64}

0, 75

pG A =  = La probabilité que l’étudiant choisi soit dans la filière A sachant c’est un garçon est égale à 0,64.

3) Calculer la probabilité que l’étudiant soit dans la filière A ou dans la filière B sachant que c’est une fille revient à chercher pF

(

AB

)

or

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) ( ) )

( )

F

p A B F p A F B F

p A B

p F p F

    

 = = or

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

p A F B F p A F p B F p A F B F



   =  +  −    donc

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0,6 0, 2 0,3 0,3 0, 21

p AF  B F = p AF + p BF =  +  = donc

( ) ( ( ) ( ) )

( )

0, 25^{0, 21} ^0,84

F

p A F B F

p A B

p F

  

 = = =

La probabilité que l’étudiant soit dans la filière A ou dans la filière B sachant que c’est une fille est égale à 0,84.

4) On choisit un échantillon aléatoire avec remise de 48 étudiants de la filière B. Quelle est la probabilité qu’au moins la moitié soit des filles ?

On est dans le cadre d’une épreuve de Bernoulli n’ayant que deux issues « être dans la filière B » avec une probabilité de 0,3 et « ne pas être dans la filière B » avec une probabilité de 0,7

L’échantillon de 48 étudiants donne la répétition de cette épreuve de Bernoulli.

(9)

9 La loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X qui compte le nombre de filles est une loi binomiale de paramètre n=48 et ^p⁼ ^{p F}

( )

⁼^0,3^.

On cherche ^{p X}

(

^²⁴

)

^or^{p X}

(

^²⁴

)

^{= −}¹ ^{p X}

(

^²³

)

(

²⁴

)

1 binomialeFrep 48;0,3; 23

( )

0, 00287

p X  = −  soit 0, 003arrondi au millième.

Exercice II : Partie A :

1) Résolvons dans  l’équation e^x−e⁻^x− =4 0. On pose X =e^x, on a donc

4 0 1

4 0

x

x x

X e e e

X X

−  =

− − =  

− − =



L’équation X ¹ 4 0 X² 4X 1 0

− X − =  − − = admet comme solutions X₁= +2 5 et X₂= −2 5

or

X

₂

 0

_donc ^{ln 2}

(

⁵

)

2 5

X ex

x X

 =  = +

 = +

 ^S ⁼



^{ln 2}

(

⁺ ⁵

) 

2) Étude du signe de l’expression e^x−e⁻^x−4 suivant les valeurs de x :

( )

( ) ( ( ) )

- 4 0 2 5 2 5 0

x x x x

e −e −   e − + e − −  donc ^e^x⁻^e^-^x^{−   }⁴ ⁰ ^x ^{ln 2}

(

⁺ ⁵

)

^car

( )

, ^x 2 5 0

x e

  − − 

et ^e^x⁻^e^-^x^{−   }⁴ ⁰ ^x ^{ln 2}

(

⁺ ⁵

)

Conclusion :

( )

-

4 0 ; ln 2 5

4 0 ln 2 5 ;

x x

e e x

 

− −    − + 

 

− −    + +

Partie B : On considère la fonction

f x : e

^x

+ e

⁻^x

− − 4 x 2

sur l’intervalle ^I⁼



^{0 ;}^{+ }



^.

1) On étudie les positions sur la courbe C du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur ce qui revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles on a y=2x car la largeur de l’arc de chainette vaut 2x et sa hauteur vaut

( )

1 2

2

x x

y= e +e⁻ − .

( )

2 1 2 2

2

2 4 2 0

2 0

x x

y x e e x

y x f x

−

=  + − =

=  + − − =

=  =

Déterminer x pour que la largeur de l’arc de chaînette est égale à sa hauteur revient donc à résoudre l’équation

( ) ( )

^E ^: ^{f x} ⁼⁰^avec^x^



^{0 ;}^{+ }



2) Calcul de ^{f x}^'

( )

. La fonction f est dérivable sur et donc sur ^I⁼



^{0 ;}^{+ }



comme somme de fonctions dérivables, et l’on a : ^{  +}^x



^0;



^,^{f x}

( )

^{= +}^e^x ^e⁻^x^{− −}⁴^x ²^soit



^0;



^{, '}

( )

^x ^x ⁴

x f x e e⁻

  + = − −

3) A la partie A, on a étudié le signe de e^x−e⁻^x−4 , ce qui permet de conclure que

( )

- 4 0 ln 2 5

x x

e −e −   x + et ^e^x⁻^e^-^x^{−   }⁴ ⁰ ^x ^{ln 2}

(

⁺ ⁵

)

( )

' 0 ln 2 5

f x   x + et ^f ^'( )^x ^{  }⁰ ^x ^{ln 2}

(

⁺ ⁵

)

(10)

10 Tableau de variations de f sur I.

x

0 ^{ln 2}

(

⁺ ⁵

) ^+

Signe de ^{f x}^'

( )

^- ⁰ ⁺

Variation de f 0 ^f

(

^{ln 2}

(

⁺ ⁵

) )

^+

( )

(

^{ln 2} ⁵

)

^{2 5} ^{2 4 ln 2}

⁽

⁵

⁾ ⁽

^{3, 3}

⁾

f + = − − + −

Etude de la limite en +

( ) ( )

lim lim ^x ^x 4 2

x f x x e e⁻ x

→+ = →+ + − − est une forme indéterminée du type  −

On lève l'indétermination en factorisant par e^x : ^lim

( )

^lim ^x ¹ ²^x ⁴ _x ²_x

x x

f x e e x

e e

−

→+ →+

 

=  + − − or

2 2

lim ^x lim _x lim _x 0

x x x

e x

e e

−

→+ = →+ = →+ = donc lim 1 ²^x 4 _x ²_x 1

x

e x

e e

−

→+

 + − − =

 

  et

( )

² ²

lim lim ^x 1 ^x 4 _x _x

x x

f x e e x

e e

−

→+ →+

 

=  + − − = +

4) Démontrons que l’équation

( ) ( )

^E ^: ^{f x} ⁼⁰ admet une unique solution



dans l’intervalle

 

^{2 ; 3} ^:

la fonction f est continue sur et croissante sur

 

^{2 ; 3} ^{, de plus} ^f

( )

² ^{= +}^e² ^e⁻²⁻¹⁰

(

⁻^{2, 47}

)

^et

( )

³ ³ ³ ¹⁴

(

^6,13

)

f = +e e⁻ − − , donc on a ^f

( )

² ^{ }⁰ ^f

( )

³ , on peut donc appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour conclure que l’équation

( ) ( )

^E ^: ^{f x} ⁼⁰ admet une unique solution dans l’intervalle

 

^{2 ; 3} . La valeur arrondie au millième de  est  =2, 466 Exercice III : On considère la suite

( )

un définie sur  par son premier terme ₀ ³

u = 2 et la relation de récurrence

2 1

n n

n

u u

+ =u

On admettra que tous les termes de la suite sont strictement supérieurs à 1.

1) La courbe C a pour équation 2 2

1 y x

= x

+ . On construit les 4 premiers termes de la suite

( )

un .

(11)

11 D’après ce graphique, on conjecture que la suite

( )

un est croissante et qu’elle semble diverger.

2) Vérifions que

( )

1

1 1

n n

n

u u u u

+ u

− = −

+ pour tout entier naturel n :

2 1

n

n n n

n

u u u u

+ − =u −

+ soit

2

1 1

n n

n

u u

+ u

− = −

+ , on a bien pour tout entier naturel n :

( )

1

1 1

n n

n

u u u u

+ u

− = − +

Comme il est admis que tous les termes de la suite sont strictement supérieurs à 1, on déduit aisément que

( )

1

1 0 0

1

n n

n

u u

u ⁺

−   − 

+ .

( )

1

0 ; 1 0 et 1 0 donc 1 0 0

1

n n

n n n n n

n

u u

u u u u u

u ⁺

 −  +  −   − 

+

Cela valide bien la conjecture faite sur le sens de variation de la suite

( )

un qui est croissante pour tout entier naturel n

3) Entrée : Saisir A

Initialisation : u prend la valeur ³

2 n prend la valeur 0 Traitement :

Tantque uA Faire u prend la valeur

2 2

1 u +u n prend la valeur n+1 FinTantque

Sortie : Afficher n

Lorsqu’on entre pour A la valeur A=100, la valeur de n qui s’affiche en sortie est n=9

La valeur de n qui s’affiche est la première valeur de n à partir de laquelle tous les termes de la suite seront supérieurs à 100.

Ici, cela signifie que, à partir de

u

₉, tous les termes de la suite seront supérieurs à 100.

Lorsqu’on entre la valeur A, la valeur de n qui s’affiche en sortie est la première valeur de n à partir de laquelle tous les termes de la suite seront supérieurs ou égaux à A.

(12)

12 Exercice IV

À tout point M d’affixe z, on associe le point M ' d’affixe

z ' = − + z

²

2 z

. Le point M ' est appelé image du point M. On note A le point d’affixe 1.

4) Déterminer les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2 revient à résoudre l’équation

2 2

2 2 2 2 0

z z z z

− + =  − + =

dont les solutions sont

z

₁

= + 1 i

et

z

₂

= − 1 i

Donc les points M₁ d'affixe 1+i et M₂ d'affixe 1−i ont comme image le point d’affixe 2.

5) Soit M un point d’affixe z et M ' son image d’affixe z'. On note N le point d’affixe z_N = z².

'

2

2 z = − + z z

Démontrons que M est le milieu du segment



^{NM '}



^.

2

2 '

' 2

2 z z

z = − +z z + = z or z est l’affixe de M, z’ est l’affixe de M’ et z²est l’affixe de N. M est donc bien le milieu du segment



^{NM '}



^.

6) Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

a) Déterminons le module de chacun des nombres complexes z et

z

_N :

Le point M d’affixe z, appartient au cercle C de centre O et de rayon 1, signifie que z =1. Le point N a pour affixe z_N =z², donc z_N = z² = z² or z =1 donc z_N =1ce qui permet de conclure que N appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

b) Soit A le point d’affixe 1. Démontrer sans utiliser la forme algébrique de z que AM=MN. AM= −z 1 et ^MN= zN − =z z²− =z z z

(

− =¹

)

z z−¹ or z =1 donc on a bien

AM=MN= −z 1

c) On trace le cercle



de centre M passant par A. Ce cercle recoupe le cercle C au point N.

Tracer ensuite la droite

(

^MN

)

^.M 'est le 2^ème point d’intersection de

(

^MN

)

^{et de}



.

O A

M

M' N

qq

C

(13)

13 Partie pour les non-spécialité

Exercice I : Résoudre les équations et inéquations suivantes :

( ) ( ) ( )  

( )

   

1 2

2; 2; 2;

: ln ln 2 ln 10

2 10 3 10 0 2 ou 5

x x x

E x x x

x x x x x x x

  +   +   +

  

+ − = +   

− = +  − − =  = − =

  

 seule la

solution x=5 convient. ^S⁼

 

⁵

( )  

( )

 

2 2

2

0; 2; 10

0; 2; 10 3 10 0 0; 2; 10

: ln ln 2 ln 10

2 10 2 ou 5

10 0 x

x x x x

E x x x

x x x ou x x

x x

 − −



 − −

 − − =   − −

  

+ − = +   

− = +  = − =

 

  − + =



^2;5



S= −

( )

³ ² ¹

( )

³ 2

( )

¹

^{( )}

³

3ln 2 ln 5 3ln 2 ln 5

3ln 2 ln 5

: : :

ln ln ln 2 ln 1

x y

E x E x E

e e x y

y y

− −

− =

− = 

  − =

     

 =   =  − = −

 

   

( )

3

( )

3

( )

3 ³2

3 2 5 3

2 1 2

: : :

ln ln

X Y X

X Y Y x e

E E E

X x X x y e

Y y Y y

− = =

 

 − = −  =  =

    

 =  =  =

 

 =  =

 

^S ⁼

 (

^{e e}³^; ²

) 

( ) ( )

⁴ ² ²

( )( )    

ln ln

: ln ln 6 0 ln

2 3 0 ; 2 3;

6 0

X x

E x x

X X X

X X

=

=  = 

  

− −   − −   + −    − −  +

2 3

0; ;

x eX

x e⁻ e

 =

    +

    



S=0;e⁻²   e³;+

Exercice II : Dans le plan complexe, on considère le polynôme P défini par

( )

⁴ ⁸ ³ ²⁹ ² ³² ¹⁰⁰

P z = +z z + z + z+

1) ^P

( ) ( )

²ⁱ ⁼ ²ⁱ ⁴⁺^{8 2}

( )

ⁱ ³⁺^{29 2}

( )

ⁱ ²⁺^{32 2}

( )

ⁱ ⁺¹⁰⁰⁼⁰

2) Déterminer les coefficients réels a b, et ctels que

(

^z²⁺⁴

)(

^az²⁺^bz^{+ =}^c

)

^az⁴⁺^z³

( )

^b ⁺^{z c}^²

(

⁺⁴^a

) ( )

⁺^z ⁴^b ⁺⁴^cpar identification des coefficients, on obtient :

1 1

8 8 1

4 29 29 4 8

4 32 8 25

4 100 25

a a

b b a

c a c b

b b c

c c

= =

 

 =  =  =

 

 + =  = −  =

  

 =  =  =

 

= =

 

 

^{P z}

( )

⁼

(

^z²⁺⁴

)(

^z²⁺⁸^z⁺²⁵

)

3) En déduire les solutions de l’équation ^{P z}

( )

^{=  −}⁰

(

^z ²^{i z}

)(

⁺²^{i z}

)(

^{+ +}^{4 3}^{i z}

)(

^{+ −}^{4 3}ⁱ

)

⁼⁰



2 ; 2 ; 4 3 ; 4 3



S = − i i − − − +i i

(14)

14 4) Montrer que les solutions de l’équation ^{P z}

( )

⁼⁰ sont toutes les affixes de points (que l’on pourra

noter A, B, C, D situés sur un cercle de centre L d’affixe ²¹

− 8 dont on déterminera le rayon.

21 697 697

2 8 64 8

A L

LA= z −z = i+ = = 2 ²¹ ⁶⁹⁷ ⁶⁹⁷

8 64 8

B L

LB= z −z = − +i = =

21 11 697 697

4 3 3

8 8 64 8

C L

LC= z −z = − − +i = − − i = =

21 11 697 697

4 3 3

8 8 64 8

D L

LD= z −z = − + +i = − + i = =

Les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre L d’affixe ²¹

− 8 et de rayon ⁶⁹⁷ 8

Exercice III : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé

(

^{O i j k}^{, ; ;}

)

, on considère les points A , B et C de coordonnées : ^A

(

^{2; 1;3}⁻

)

^B

(

⁻^{3;0; 4}

)

^et^C

(

^{0; 4;14}⁻

)

1) Montrons que les points A, B et C définissent un plan.

5 1 1 AB

 −

  

  

2 3 11 AC

− 

− 

 

 

Les vecteurs AB et

AC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan.

2) Pour montrer que les points O, A, B et C ne sont pas coplanaires, on va montrer que les vecteurs ; et

OA AB AC ne sont pas coplanaires, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de réels a et b tels que

( )

8 3 1 17

2 5 2

1 3 2 5 3 1 2 3

3 11 3 11 17

8 3 25

3 11

17 17 17

a

a b

OA a AB b AC a b b b b

a b a b

 =−

= − 

= − −  

  

= +  − = −  = − − −  =

 = +  = + 

    − +  = 

il n’existe pas de réels a et b, les vecteurs OA AB ; et AC ne sont pas coplanaires 3) Système d’équations paramétriques de la droite

( )

^: ^{2 5}¹ ^,

3

x t

AB y t t

z t

 = −

 = − + 

 = +



4) Système d’équations paramétriques de la droite

( )

^d parallèle à

( )

^AB et passant par C.

( )

^{' :} ^{5 '}⁴ ^{', '}

14 '

x t

d y t t

z t

 = −

 = − + 

 = +



(15)

15 5) Démontrer qu’il existe un point L de

( )

^AB et un point P de la droite

( )

^OC tel que le point

5 9

4; ;2 2

R− −  soit le milieu de

 

^PL ^.

La droite

( )

^OC a comme représentation paramétrique :

( )

^: ⁰4 ", "

14 "

x

OC y t t

z t

 =

 = − 

 =



( )

P OC donc P

(

0; 4 ";14 "− t t

)

et ^L^

( )

^AB ^donc^L

(

^{2 5 ; 1}^{− − +}^t ^t^;3⁺^t

)

 

milieu de

R PL signifie que

0 2 5

4 2

5 4 " 1 2

" 1

2 2

9 14 " 3

2 2

t t t t

t

t t

− = + −

 − − +  =

 = 

  = −

 + +

− =

^P

(

^{0;4; 14}⁻

)

^L

(

⁻^8;1;5

)

(16)

16 Partie de Spécialité

Exercice I Soit n un entier relatif. On pose a=2n+3 et b= +n 3.

1) Soit d un entier naturel qui divise a et b. En considérant l’expression 2b a− , déterminer les valeurs possibles de d. ²^{b a}^{− =}²

(

ⁿ^{+ −}³

) (

²ⁿ^{+ =}³

)

³

Si d divise a et si d divise b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b donc en particulier d divise 2b a− donc d divise 3. Or les diviseurs entiers naturels de 3 sont 1 et 3.

2) Compléter le tableau de congruences ci-dessous.

n  (mod. 3) 0 1 2

a  (mod. 3) 0 2 1 b (mod. 3) 0 1 2

3) On considère les phrases A : « a et b sont premiers entre eux » et B : « n n’est pas un multiple de 3 ».

B : « n n’est pas un multiple de 3 » signifie que ⁿ^{0 mod 3}

( )

autrement dit : ⁿ^^{1 3}

 

^ouⁿ^^{2 3}

 

A : « a et b sont premiers entre eux » signifie que d’après le tableau précédent, on a

   

2 3 et 1 3

a b= ou bien ^a^^{1 3 et}

 

^b⁼^{2 3}

 

dans les deux cas, a et b ne sont pas des multiples de 3 ce qui se produit lorsque n est un multiple de 3.

Les deux affirmations A : « a et b sont premiers entre eux » et B : « n n’est pas un multiple de 3 ».

sont donc équivalentes.

Exercice II

1) a) En utilisant l’égalité 13=1³+7³+10³−11³, donner une décomposition de 40 en « somme » de 5 cubes. 40 13 27= + or 13=1³+7³+10³−11³ et 27=3³donc 40=1³+7³+10³−11³+3³

b) On admet que pour tout entier naturel n on a : ⁶ⁿ⁼

(

ⁿ⁺¹

) (

³⁺ ⁿ⁻¹

)

³⁻ⁿ³⁻ⁿ³

En déduire une décomposition de 48 en « somme » de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en

« somme » de 5 cubes, différente de celle donnée en 1) a) 48= 6 8 donc pour n=8, on a

( ) (

³

)

³ ³ ³

6n= n+1 + n−1 −n −n donc ^{6 8}^{ = +}

(

^{8 1}

) (

³^{+ −}^{8 1}

)

³^{− −}⁸³ ⁸³

3 3 3 3

48=9 +7 −8 −8

2) Le nombre 40 est une « somme » de 4 cubes : 40=4³−2³−2³−2³. On veut savoir si 40 peut être décomposé en « somme » de 3 cubes.

a) Compléter sans justifier : Reste de la division

euclidienne de n par 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Reste de la division

euclidienne de n³ par 9 0 1 8 0 1 8 0 1 8

b) On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel n, l’entier naturel n³ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à −1.

Prouvons que 40 ne peut pas être décomposé en « somme » de 3 cubes.

Supposons que 40 peut être décomposé en « somme » de 3 cubes. Donc, supposons qu’il existe trois entiers relatifs a, b et c tels que 40=a³+b³+c³

On sait que chacun de ces cubes est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à −1.

Alors ^a³^{+ + }^b³ ^c³ ^d

 

⁹ ^avecd − − −



3; 2; 1;0;1; 2;3



(17)

17 Or on sait que ⁴⁰^^{4 9}

 

ce qui rend absurde la supposition.

Finalement, 40 ne peut pas être décomposé en « somme » de 3 cubes.

Exercice III

On considère les suites

( )

un et

( )

vn définies sur  par leurs premiers termes

u

₀

= 0

et

v

₀

= 1

ainsi que les relations de récurrence

u

_n₊₁

= 2 u

_n

+ v

_n_et

v

_n₊₁

= 3 u

_n

+ 2 v

_n pour tout entier naturel n,

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels et on ne cherchera pas à déterminer les expressions de

u

_n et

v

_n en fonction de n.

1) On a calculé les premiers termes des deux suites.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

u

n 0 1 4 15 56 209 780 2911 10864 40545 151316 564719 2107560 On conjecture que :

• le chiffre des unités de

u

_n est égal à 0 lorsque ⁿ^^{0 6}

 

u

 

u

 

u

 

u

 

u

 

2) Exprimons

u

_n₊₂ en fonction de

u

_n et de

v

_n :  n , u_n₊₂ =2u_n₊₁+v_n₊₁ or  n , u_n₊₁=2u_n+v_n et  n , v_n₊₁=3u_n+2v_n donc

( ) ( )

2

2 2 3 2 7 4

3 2 2 3 2 12 7

n n n n n n n

u u v u v u v

v u v u v u v

+ +

 = + + + = +



= + + + = +



On a donc  n , u_n₊₂ =7u_n +4v_n

Puis exprimons

u

_n₊₃ en fonction de

u

_n_{et de}

v

_n_:_{ }_n _,_u_n₊₃ ₌₂_u_n₊₂₊_v_n₊₂_or ²

2

7 4

12 7

n n n

u u v

v u v

+ +

= +

 = +

 donc  ⁿ ^,^u_n+₃ =^{2 7}

(

^u_n+⁴^v_n

) (

+ ¹²^u_n+⁷^v_n

)

soit  n , u_n₊₃ =26u_n+15v_n On admet que  n , u_n₊₆ =1351u_n+780v_n.

3) Démontrons que pour tout entier naturel n, on a u_n₊6 u_n

 

10 .

On a ^{1351 1 10}^

 

^et^{780 0 10}^

 

^donc¹³⁵¹un+⁷⁸⁰vn ¹un+⁰vn

 

¹⁰ soit , _n 6 1351 _n 780 _n

n u ₊ u v

  = +  n , u_n₊6 u_n

 

10

À l’aide du résultat de la question précédente, déterminer le chiffre des unités de

u

On a montré que pour tout entier naturel n,

u

_n est congru à 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 modulo 10.

Donc u_n =10p ou u_n =10p+1 ou u_n =10p+4 ou u_n =10p+5 ou u_n =10p+6 ou u_n =10p+9