Série 22

L.S Marsa.Elriadh

Série 22 ^{Mr Zribi}

3

Maths Exercices

09/10

Exercice 1:

on pose a=1-cosx et b= -sinx ; x]0, [.

1) montrer que

a sin x b 1 cos x

 



2) montrer que ab= -4cosx ³ x 2sin 2 ^. 3) Simplifier

a

b

a) vérifier que (a-1)²+b²=1.

b) Déterminer et construire l'ensemble  des points M . Exercice 2 :

Soit f(x)=cos(2x)+sin(2x).

1) calculer f(

6

 ) et f(-⁹ 8

 ).

2) Montrer que f(x)= 2 cos 2 x 4

  

 

 ; en déduire que

3) cos 2 6

12 4

 

  

 

  .

4) Résoudre dans IR puis dans [0,] l'équation f(x)=0 5) Montrer que f(x)=2 2 cos( ) cos( ) 1

x x 4

  . En déduire que

3 2

cos cos

8 8 4

 

    

   

    .

6) Résoudre dans IR l'inéquation g(x)≥ ⁶ 2 Exercice 2:

On considère la fonction f définie sur IR par f(x)=cos2x+ 3sin2x.

1) exprimer f(

2

 +x) en fonction de f(x).

2) calculer f( ) (⁵ ) 8 et f 8

 

. 3) Monter que f(x)=2cos(2x-

3

 ).

4) Calculer cos 12

 .

5) Résoudre dans IR puis dans ]0,2] l'équation f(x)= 2. 6) Résoudre dans IR l'inéquation ]0,2] l'inéquation f(x)< 2.

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Exercice 3:

Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=1-sin2x-cos2x.

1) calculer ( ) ( )

8 12

f  et f  . 2) Montrer que ( )

f x _2

+f(x) est une constante que l'on précisera.

3) Soit g la fonction définie par ( ) ^{( )} sin 2 g x f x

 x . a) déterminer le domaine de définition de g.

b) montrer que pour tout xIR; g(x)=tgx -1. en déduire

8 12

tg  et tg  . 4) Montrer que pour tout xIR; f(x)=1 2 cos 2

x 4

 

   . 5) Résoudre dans ]-,]:

a) f(x)=0.

b) f(x)>0.

Exercice 4 :

Soit f la fonction définie par ( ) ^{2 3 cos ² sin 2} 1 cos 2

x x

f x x

 

 .

1) a) déterminer le domaine de définition de f.

b) montrer que 2 3 cos ² sin 2 2 cos(2 ) 3 x _ x _ x _6 _

. 2)a) résoudre dan [0,] :

i) f(x)=0

ii) (1+cos2x)f(x)= 3+2sinx.

b) résoudre dans ]-,] l'inéquation 2cos(2x+ ) 3 0 6

 _{ } . Exercice 5 :

Dans le plan munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j direct on considère le point A(1, 3) ; soit B le point de coordonnées polaires [2,

6



 ].

1) déterminer les coordonnées polaires de A et les coordonnées cartésiennes de B, placer les points A et B.

2) en déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle.

3) a) construire le point c tel que OC OA OB . b) déterminer la nature du quadrilatère OACB.

c) déterminer les coordonnées cartésienne de C.

4) a) déterminer les coordonnées polaires du point C.

b) en déduire cos sin 12 et 12

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