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L.S.Marsa Elriadh
Devoir de contrôle 1 M : Zribi
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èmeSc
Bon travailExercice 1 ( 8 points):
Soit f la fonction définie par
( ) 2 ² 0, ;
(0) 0
x x x
sur par f x x
f
.
1) a) Déterminer
lim ( )
x
f x
. b) Prouver que f est continue en 0.2) On donne ci-contre le tableau de variations de f a) Prouver que f(x)=0 admet dans
0,
une unique solution α et que0,1
.c) Justifier que
2
b) En déduire le signe de f(x) pour tout x de
0,
3) a) Montrer que , pour tout n IN* , l’équation
1 ( )
f x n
admet dans,1
une unique solution n .b) Prouver que la suite n n IN* est décroissante.
c) En déduire que la suite n n IN* ext convergente et calculer sa limite.
Exercice 2 ( 6 points):
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
O u v , ,
; dans la figure ci-contre, (C) le cercle de centre O et de rayon
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.On désigne par A et B les points d’affixes respectives
2 3 7
a i et b i
.1) a) Prouver que A est un point du cercle (C).
b) Placer les points A et B.
2) soit C le point d’affixe
c 2 i 7 3
.2 a) Placer le point C.
b) Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
3) Soit D le point d’affixe
d 7 21
.a) Prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
b) Placer alors le point D.
4) soit un argument de a ; E le point d’affixe
14 14
2 2
e i a
.a) Donner la forme exponentielle de e.
b) Placer le point E.
Exercice 3 (6 points) :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
O u v , ,
; soit A le point d’affixe
a 1 i 3
et B le point d’affixe
4i b a
.1) a) Déterminer la forme exponentielle de a et b ; en déduire que
b 3 i
. b) Placer les points A et B.c) Prouver que OAB est un triangle rectangle isocèle.
2) a) On désigne par C le point d’affixe c=a+b ; placer le point C.
b) Montrer que OACB est un carré.
c) Donner la forme exponentielle de c.
d) En déduire la valeur exacte de
5 cos 12
.3) La droite (OB) coupe la droite d’équation x=2 en D. donner la forme exponentielle de D.
