LYCEE .H.T.BIZERTE Prof : M

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^R

DHAOUADI -Ali DEVOIR DE Contrôle: N°(1 )

Le 05/11/2018

4Math

2

2h

Exercice (1) : (7.5pts) Soit dans C l

’

équation :

0 )

( : )

(E z²  aia zia² 

où

_a

est un nombre complexe tel que

are^i

,

r0

et





,

 . A- 1) a/ Résoudre dans C l

’

équation

(E)

dans le cas où

a1i

.

b/ On suppose dans cette question que

aia

,montrer que l

’

équation

(E)est équivalente à 0

) 2

( ²

2  a za 

z

.En déduire que

(E)admet une unique solution que l’on déterminera.

c/ Montrer que le nombre complexe

z₀ ai

n

’

est pas une solution de

(E)

On suppose dans la suite de l

’

exercice que

aia

2)

a/ Montrer que le discriminant de l

’

équation

(E)est (aia)²

b/ Résoudre dans C l

’

équation

(E)en donnant les solution sous la forme exponentielle 3) Soit dans C l’équation (E'):z³ ia.z² a²ziaa² 0

a/ Montrer que

(a)

est une solution de

(E').

b/ Montrer que

l

’

équation

(E')est équivalente à^(za)



^{z2 (aia)zia2}



^0

c/ Résoudre

dans C l’équation⁽E^')

B- On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct R

_(o,u,v)

_les points

A(a)

,

B(ia)

et

C(aia)

.

1) a/ Montrer que

OAOB

et que

 

 

² 2 2

) ,

(OB OA  

b/ Déterminer les valeurs de



pour les quelles les points O,A et B sont alignés.

2) On suppose que les points O,A et B ne sont pas alignés.

a/ Montrer que le quadrilatère

OACB

est un losange et que son aire est

S a² cos(2)

b/ Déterminer les valeurs de



pour les quelles que le quadrilatère

OACB

est un carrée.

c/ Construire le quadrilatère

OACB

dans le cas où

2 ³

i

e a

Exercice (2) : (6 pts)

On considère la fonction

f

définie par :



















0 ..

...

1 ) sin(

0 . ...

2

² )

(

 x x si

x x

x si x x x x

f 

1) a/ Déterminer l

’

ensemble de définition de

f

. b/ Montrer que pour tout

^x



^0,



^/



¹

^{on a :}

) 1

(  

x x x

f

.En déduire

lim ( )

0

x f

x ^

et

lim f(x)

x

c/ Montrer que f est continue en 0.

d/ Calculer

lim (x x).f(x)

x

,

lim f(x)

x

et

x x f

x

) lim (





.En déduire la nature de la branche infinie à

C_f

au voisinage de



2) Pour tout

^x



^0,



^/



¹

^{on pose}

^{( ) ( 1)}

x x x

u   et

x x x

v sin

)

( 

a/ Montrer que pour tout

^x



^0,



^/



¹

^{on a :}

^{( ) vou(x)}

x x

f   

b/ En déduire que

f

est prolongeable par continuité en 1

3) Calculer

_



 





 ( )

2 lim 1

2 f f x

x

,

lim fof(x)

x

et

) (

) lim (

x f

x fof

x

.

4) On désigne par g le prolongement par continuité de

f

en 1.En utilisant la fonction g ,montrer que

l

’

équation :

1 )

( 3 ) sin(

x x  x 



admet au moins une solution

^

 

^1,2

Exercice (3) : (6.5 pts)

On considère la suite

(u_n)

définie sur IN par :

















 u u n IN

u u u

n n

n ..;.

1

1 2

1

0

1) a/ Calculer

u₂

et

u₃

b/ Montrer par récurrence que pour tout

nIN^

on a

u_n n

.En déduire

_n

n u



lim

c/ Montrer que pour tout

nIN

on a

u_n1 u_n

d/ Montrer que pour tout

nIN

:

u_nu_n2 (1)ⁿ (u_n1)²

2) Soit les suites

(_n)

et

(_n)

définies sur

IN^

par

n n

n u

u

2 1 2 

 

et

1 2

2





n n

n u

 u

a/ Montrer que pour tout

nIN^

:

1 2 2

1







n n n

n  u u



b/ En déduire que pour tout

nIN^

:

_n _n

et

₂ 4 0 1

n n

n  





3) a/ Montrer que pour tout

nIN^

:

2 2 2 1

1



  

n n n

n  u u



( utiliser 1) d )

b /Montrer que pour tout

nIN^

:

1 1





n

n 



c/ En déduire la variation de chacune des suites

(_n)

et

(_n)

d/ Montrer que les suites

(_n)

et

(_n)

sont adjacentes et calculer leur limite commune.