Par cœur : à quoi sert une dérivée?

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1 Automath - Applications de la dérivation – (d’après Indice 2011)

Par cœur : à quoi sert une dérivée ?

Trouver le coefficient directeur d’une tangente (par cœur)

Soit 𝑓 une fonction dérivable en un réel 𝑎. La tangente 𝑇 à 𝐶_𝑓 au point A d’abscisse 𝑎 est la droite :

 de coefficient directeur 𝑓′(𝑎)

 passant par 𝐴(𝑎 ; 𝑓(𝑎))

Une équation de 𝑇 est donnée par la formule : 𝑦 = 𝑓^′(𝑎) × (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

Etudier les variations d’une fonction (par cœur) Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.

 Si pour tout 𝑥 dans 𝐼, 𝑓^′(𝑥) ≥ 0, alors 𝑓 est croissante sur 𝐼

 Si pour tout 𝑥 dans 𝐼, 𝑓^′(𝑥) ≤ 0, alors 𝑓 est décroissante sur 𝐼

 Si pour tout 𝑥 dans 𝐼, 𝑓^′(𝑥) = 0, alors 𝑓 est constante sur 𝐼

Trouver un extremum local (par cœur)

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 ouvert et 𝑐 un réel de 𝐼 (donc distinct des bornes de l’intervalle) Si 𝑓′ s’annule en changeant de signe en 𝑐 alors 𝑓 admet un extremum local en 𝑐.

Exo 1 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴− 𝑥³. 1) Etudier les variations de 𝑓

2) Calculer 𝑓′(0). Peut-on en déduire que 𝑓(0) est un extremum local ?

Exo 2 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 𝑥²− 𝑥.

1) Etudier les variations de 𝑓 2) Sachant que −1 ≤ 𝑥 ≤³

2, encadrer 𝑓(𝑥)

3) Représenter graphiquement la fonction sur [−2 ; 2]

Exo 3 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥³+ 𝑥²− 1.

On note 𝐶_𝑓 la représentation graphique de 𝑓 dans un repère orthogonal 1) Etudier le sens de variation de 𝑓

2) Trouver les coordonnées des points en lesquels 𝐶_𝑓 admet une tangente horizontale. Donner une équation de ces tangentes.

3) Déterminer une équation de 𝑇 la tangente à 𝐶_𝑓 au point d’abscisse −¹

2. 4) Construire 𝐶_𝑓 et 𝑇 pour 𝑥 ∈ [−0,7 ; 0,7 ]

5) Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) − (¹

2𝑥 −³

4) =¹

4(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)² 6) En déduire les positions relatives de 𝐶_𝑓 et de 𝑇

Exo 4 Soit 𝑓 la fonction définie sur [ 0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) =¹

3𝑝³− 20𝑝²+ 76𝑝 + 7500.

On note 𝐶_𝑓 la représentation graphique de 𝑓 dans un repère orthogonal.

1) Etudier le sens de variation de 𝑓

2) Déterminer une équation de 𝑇 la tangente à 𝐶_𝑓 au point d’abscisse -1.

3) Etudier les positions relatives de 𝐶_𝑓 et de 𝑇

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1 Automath - Applications dérivation.docx Page 2 sur 9

Exo 5 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 −¹

𝑥. Etudier le sens de variation de 𝑓

Exo 6 Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥³+ 3𝑥 − 4. Donner un encadrement de 𝑓 sur [-2 ; 2]

Pour se corriger

Exercice 1

Question 1

Calcul de la dérivée 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴− 𝑥³= 1 × 𝑥⁴− 1 × 𝑥³

𝑓 est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur ℝ.

𝑓’(𝑥) = 1 × 4𝑥³− 3 × 𝑥²= 4𝑥³− 3𝑥²= 𝑥²(4𝑥 − 3)

Etude du signe de la dérivée

𝑥² est toujours positif (résultat d’un carré) et s’annule pour 𝑥 = 0 4𝑥 − 3 est de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 = 4 et 𝑏 = −3.

4𝑥 − 3 s’annule pour 𝑥 =³

4 et est du signe de 𝑎 (positif) à droite de la racine (à « droite » du 0) Et du signe contraire sinon.

Valeurs de 𝑥 −∞

0

³

4 +∞

Signe de 𝑥²

+ 0 + +

Signe de 4𝑥 − 3

− − 0 +

Signe de 𝑓′(𝑥)

− 0 − 0 +

Variation de la fonction

Sur ]−∞ ;³₄ ] 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 donc 𝑓 est décroissante sur ] − ∞ ;³₄ ] Sur [³

4 ; +∞ [ 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 donc 𝑓 est croissante sur [ ³

4 ; +∞[

De plus, 𝑓(0) = 0⁴− 0³= 0 𝑓 (³

4) = (³

4)⁴− (³

4)³= ⁸¹

256−²⁷

64= ⁸¹

256−¹⁰⁸

256= − ²⁷

256

0

³

4 +∞

Signe de 𝑓′(𝑥) −

0 − 0 +

Variations de 𝑓

−

²⁷

256

Question 2 𝑓^′(0) = 0 donc le coefficient directeur de la tangente est 0

La dérivée de 𝑓 s’annule bien en 0. Mais la dérivée ne change pas de signe en 𝑥 = 0 donc le théorème sur l’existence d’un extremum ne s’applique pas !

(3)

Exercice 2

Question 1

 Calcul de la dérivée

𝑓(𝑥) = 𝑥³− 𝑥²− 𝑥 = 1 × 𝑥³− 1 × 𝑥²− 1 × 𝑥

𝑓’(𝑥) = 1 × 3𝑥²− 1 × 2𝑥 − 1 = 3𝑥²− 2𝑥 − 1

 Etude du signe de la dérivée

𝑓′(𝑥) est sous la forme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 = 3 𝑏 = −2 𝑐 = −1 Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = (−2)²− 4 × 3 × (−1) = 16

Comme Δ > 0, 𝑓^′(𝑥) = 0 a deux solutions 𝑥₁=^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 =^{−(−2)−√16}

2×3 = −¹

3 et 𝑥₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 =^{−(−2)+√16}

2×3 = 1 De plus, 𝑓’(𝑥) est du signe de 𝑎 à l’extérieur des racines (signe contraire sinon)

 Variations de la fonction Sur ]−∞ ; −¹

3 ] et sur [ 1 ; +∞ [ 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 donc 𝑓 est croissante sur ces intervalles.

Sur [− ¹₃ ; 1 ] 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 donc 𝑓 est décroissante sur cet intervalle.

De plus, 𝑓 (−¹₃) = (−¹₃)³− (−¹₃)²− (−¹₃) = −₂₇¹ −¹₉+¹₃=⁻¹₂₇−₂₇³ +₂₇⁹ =₂₇⁵ 𝑓(1) = 1³− 1²− 1 = −1

−

¹

3

1

+∞

+ 0 − 0 +

⁵

27

Variations de 𝑓

−1

Question 2 𝑓(−1) = (−1)³− (−1)²− (−1) = −1

𝑓 (³

2) = (³

2)³− (³

2)²−³

2=²⁷

8 −⁹

4−³

2=²⁷

8 −¹⁸

8 −¹²

8 = −³

8

Valeurs de 𝑥 −∞ −1

−

¹

3 1 ³

2

+∞

+ 0 − 0 +

⁵

27

Variations de 𝑓

−1 −

³

8 Partie du tableau

−1

qui nous intéresse

Par lecture du tableau de variation (qu’on a pris soin de bien lire), Pour 𝑥 ∈ [−1 ;³₂] on a : −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤₂₇⁵

(4)

Question 3 Représentation graphique

Bien choisir les unitités pour bien apréhender la fonction.

Exercice 3

Question 1

𝑓(𝑥) = 2 × 𝑥³+ 𝑥²− 1

𝑓^′(𝑥) = 2 × 3𝑥²+ 2𝑥 = 6𝑥²+ 2𝑥 = 2𝑥(3𝑥 + 1)

 Etude du signe de la dérivée

𝑓^′(𝑥) = 0 ⇔ 2𝑥(3𝑥 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −¹

3

De plus, 𝑓′(𝑥) est un polynôme du second degré avec 𝑎 = 6. Comme il a deux racines, Δ > 0 et 𝑓′(𝑥) est du singe de 𝑎 à l’extérieur des racines (signe contraire sinon)

Bien entendu, on peut calculer travailler avec la forme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 = 6 𝑏 = 2 𝑐 = 0 Calculer le discriminant Δ et appliquer les formules

 Variations de 𝒇

Valeurs de 𝑥 −∞ −¹₃ 0 +∞

+ 0 − 0 +

−

²⁶

27

Variations de 𝑓

−1

Sur ]−∞ ; ⁻¹₃ ] et sur [ 0 ; +∞ [ 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 donc 𝑓 est croissante sur ces intervalles.

Sur [− ¹

3 ; 0 ] 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 donc 𝑓 est décroissante sur cet intervalle.

(5)

Question 2 Le coefficient d’une tangente à 𝐶_𝑓 au point d’abscisse 𝑎 est : 𝑓′(𝑎)

Une droite est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur est 0.

On résout donc l’équation 𝑓^′(𝑎) = 0 (ce que l’on a déjà fait à la question 1) D’après le tableau de variation, 𝐶_𝑓 admet deux tangentes horizontales :

 Au point de coordonnées ( −¹

3 ; −²⁶

27 ) . Cette tangente a pour équation 𝑦 = −²⁶

27

 Au point de coordonnées ( 0 ; −1 ) . Cette tangente a pour équation 𝑦 = −1

Question 3 D’après le cours, 𝑇: 𝑦 = 𝑓^′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) Ici 𝑎 = −¹

2

𝑓(𝑎) = 𝑓 (−¹

2) = 2 (−¹

2)³+ (−¹

2)²− 1 = 2 ×⁻¹

8 +¹

4− 1 = −1 𝑓^′(𝑎) = 𝑓^′(−¹

2) = 6 (−¹

2)²+ 2 × (−¹

2) =³

2−²

2=¹

2 Donc 𝑦 =¹

2(𝑥 +¹

2) − 1 =¹

2𝑥 −³

4 Donc 𝑇: 𝑦 =¹

2𝑥 −³

4 Question 4

Autour des points de 𝐶_𝑓 d’abscisses 0 et −¹

3 la courbe « tournent beaucoup » : on va prendre « assez » de valeurs. Pour déterminer des points, on peut utiliser la calculatrice et soit le tracé de la fonction, soit un tableau de valeurs. Attention à la précision.

Question 5

 A gauche du signe égal 𝑓(𝑥) − (¹₂𝑥 −³₄) = 2𝑥³+ 𝑥²− 1 −¹₂𝑥 +³₄= 2𝑥³+ 𝑥²−¹₂𝑥 −¹₄

 A droite du signe égal ¹₄(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)²=¹

4(2𝑥 − 1)(4𝑥²+ 4𝑥 + 1) =¹

4(8𝑥³+ 8𝑥²+ 2𝑥 − 4𝑥²− 4𝑥 − 1) =¹

4(8𝑥³+ 4𝑥²− 2𝑥 − 1) = 2𝑥³+ 𝑥²−¹

2𝑥 −¹

4 Donc on bien l’égalité, 𝑓(𝑥) − (¹

2𝑥 −³

4) =¹

4(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)²

(6)

Question 6

Démarche

Comme 𝐶_𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥) et 𝑇: 𝑦 =¹

2𝑥 −³

4, pour savoir quand 𝐶_𝑓 est au-dessus ou en-dessous de 𝑇, on va étudier le signe de 𝑓(𝑥) − (¹

2𝑥 −³

4). Pour cela on va utiliser la forme factorisée ¹

4(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)² Etude des signes

 ¹

4 est toujours positif et ne s’annule pas

 2𝑥 − 1 est de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 = 2. Cette expression s’annule pour 𝑥 =¹

2 et est du signe de 𝑎 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓) à « droite » de la racine et du signe contraire sinon.

 (2𝑥 + 1)² est un carré donc est toujours de signe +. L’expression s’annule pour 𝑥 = −¹₂

Valeurs de 𝑥

−∞ −

¹

2

¹

2

+∞

Signe de ¹₄

+ + +

Signe de 2𝑥 − 1

− − 0 +

Signe de (2𝑥 + 1)²

+ 0 + +

1

4(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)²

− 0 − 0 +

Positions relatives

 Sur ] − ∞ ; −¹

2[ et sur ] −¹

2 ;¹

2[ 𝑓(𝑥) − (¹

2𝑥 −³

4) < 0 donc 𝑓(𝑥) <¹

2𝑥 −³

4 donc 𝐶_𝑓 est en-dessous de 𝑇

 Sur ]¹

2 ; +∞ [ , 𝑓(𝑥) − (¹

2𝑥 −³

4) > 0 donc 𝑓(𝑥) >¹

2𝑥 −³

4 donc 𝐶_𝑓 est au-dessus de 𝑇

 Pour 𝑥 =¹

2, 𝑥 = −¹

2 donc 𝑓(𝑥) − (¹

2𝑥 −³

4) = 0 donc 𝑓(𝑥) =¹

2𝑥 −³

4 donc 𝐶_𝑓 et 𝑇 se coupent

Exercice 4

Question 1 𝑓(𝑝) =¹

3𝑝³− 20𝑝²+ 76𝑝 + 7500

𝑓 est une fonction polynôme donc dérivable sur son ensemble de définition.

D' après l'énoncé 𝑓 est définie sur [ 0 ; +∞[ donc elle est aussi dérivable sur cet intervalle.

Donc 𝑓^′(𝑝) =¹

3× 3𝑝²− 20 × 2𝑝 + 76 × 1 + 0 = 𝑝²− 40𝑝 + 76

𝑓′(𝑝) est un trinôme du second degré 𝑎𝑝²+ 𝑏𝑝 + 𝑐 avec 𝑎 = 1 𝑏 = −40 𝑐 = 76 (𝑝 est la variable) On pose Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = (−40)²− 4 × 1 × 76 = 1296

Comme Δ > 0, 𝑓^′(𝑝) a deux racines 𝑝₁=^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 =−(−40)−√1296

2×1 = 2 et 𝑝₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 =−(−40)+√1296 2×3 = 38 De plus, 𝑓’(𝑝) est du signe de 𝑎 à l’extérieur des racines (signe contraire sinon).

(7)

Valeurs de 𝑥 0 2 38 +∞

+ 0 − 0 +

Variations de 𝑓

Sur [0 ; 2 ] et sur [ 38 ; +∞ [ 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 donc 𝑓 est croissante sur ces intervalles.

Sur [ 2 ; 38 ] 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 donc 𝑓 est décroissante sur cet intervalle.

Question 2 D’après le cours, 𝑇: 𝑦 = 𝑓^′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) Ici 𝑎 = −1 𝑓(−1) = (−1) − ¹

−1= 0 𝑓^′(−1) = 1 + ¹

(−1)²= 2 Donc 𝑦 = 2(𝑥 − 0) + 2 Donc 𝑇: 𝑦 = 2𝑥 + 2

Question 3 𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 2) = 𝑥 −¹

𝑥− 2𝑥 − 2 =^−𝑥²^−2𝑥−1

𝑥 = −^𝑥²^+2𝑥+1

𝑥 =^−(𝑥+1)²

𝑥

−(𝑥 + 1)² s’annule pour 𝑥 = −1 et est toujours négatif Remarque: on peut aussi calculer 𝛥 à partir de −𝑥²− 2𝑥 − 1

Valeurs de 𝑥

−∞ −1 0 +∞

Signe de −(𝑥 + 1)²

− 0 − −

Signe de 𝑥²

− − 0 +

𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 2)

+ 0 + −

Pour 𝑥 < 0, 𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 2) > 0 donc 𝑓(𝑥) > 2𝑥 + 2

donc 𝐶_𝑓 coupe ou est au-dessus de 𝑇 (𝐶_𝑓 et 𝑇 se coupent pour 𝑥 = −1) Pour 𝑥 > 0, 𝑓(𝑥) − (2𝑥 + 2) < 0 donc 𝑓(𝑥) < 2𝑥 + 2

donc 𝐶_𝑓 est en-dessous de 𝑇 (𝐶_𝑓 et 𝑇 ne se coupent pas)

Exercice 5

Question 1

 Calcul de la dérivée 𝑓(𝑥) = 𝑥 −¹

𝑥=^𝑥²⁻¹

𝑥

𝑓 est une fonction rationnelle (fonction polynôme divisée par fonction polynôme) donc dérivable partout où elle est définie. D' après l'énoncé 𝑓 est définie sur ℝ donc elle est aussi dérivable sur cet intervalle.

On pose : 𝑢(𝑥) = 𝑥 donc 𝑢^′(𝑥) = 1

𝑣(𝑥) = −1 ×¹

𝑥 donc 𝑣^′(𝑥) = −1 ×⁻¹

𝑥² = ¹

𝑥²

Donc 𝑓^′(𝑥) = 1 + ¹

𝑥²=^𝑥²_𝑥⁺¹₂

(8)

 Etude des signes

𝑥²+ 1 est toujours positif (somme des deux nombres positifs 1 et 𝑥² ) 𝑥² est toujours positif et s’annule pour 𝑥 = 0

0

+∞

Signe de 𝑥²+ 1

+ +

Signe de 𝑥²

+ 0 +

+ +

Variations de 𝑓

Sur ] − ∞ ; 0 [ et sur ]0 ; +∞[ 𝑓^′(𝑥) > 0

donc 𝑓 est strictement croissante sur ] − ∞ ; 0 [ et sur ]0 ; +∞[

Attention, il est faux de dire que 𝑓 est strictement croissante sur ] − ∞ ; 0 [ ∪ ]0 ; +∞[ car cet ensemble n’est pas un intervalle (un intervalle est une partie de ℝ sans « trou »)

Exercice 6

𝑓(𝑥) = −𝑥³+ 3𝑥 − 4 𝑓 est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur ℝ Donc 𝑓^′(𝑥) = −1 × 3𝑥²+ 3 = −3𝑥²+ 3

 Etude du signe de 𝒇′(𝒙)

Le plus simple est de remarquer que : 𝑓(𝑥) = −3(𝑥²− 1) = −3(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) Sinon 𝑓′(𝑥) est un trinôme du second degré avec 𝑎 = −3 𝑏 = 0 𝑐 = 3

On pose Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 0²− 4 × (−3) × 3 = 36 Comme Δ > 0, 𝑓^′(𝑥) a deux racines

𝑥₁=^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 =^−0−√36

2×(−3) = 1 et 𝑥₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 =^−0+√36

2×(−3) = −1

De plus, 𝑓’(𝑥) est du signe de 𝑎 à l’extérieur des racines (signe contraire sinon).

 Tableau de variation de 𝒇 sur [−𝟐 ; 𝟐]

Valeurs de 𝑥 −2 −1 1 +2

Signe de 𝑓′(𝑥) −

0 + 0 −

−2 −2

Variations de 𝑓

−6 −2

(9)

Sur ]−∞ ; −1 ] et sur [ 1 ; +∞ [ 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 donc 𝑓 est décroissante sur ces intervalles.

Sur [−1 ; 1 ] 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 donc 𝑓 est croissante sur cet intervalle.

 Encadrement

Par lecture du tableau de variations, le minimum de 𝑓 sur [−2 ; 2] est −6.

Il est atteint pour 𝑥 valant −1