Formulaire de dérivation
Définition
x y
x x+h
f(x)
f(x) h f(x+h)
f(x)
Définition de la dérivée
f0(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)−f(x)
∆x
Équation de la droite tangente en(x,f(x))
y=f(x) +f0(x)dx
Approximation de f(a+∆x) f(a+∆)≈f(a) +f0(a)dx
x y
a x
f(x)
f(x) (x−a) f(x)
f(a)
Définition de la dérivée
f0(a) =lim
x→a
f(x)−f(a) x−a
Équation de la droite tangente
y=f(a) +f0(a)(x−a)
Approximation par la droite tangente
f(x)≈f(a) +f0(a)(x−a)
Notations
Différentes notations pour la dérivée dey=f(x) =x2.
Notations pour la dérivée première
f0(x) y0
x20 dy dx
d f(x) dx
dx2 dx f0(a) y0|x=a
x2 0
x=a
dy dx x=a
d f(x) dx
x=a
dx2 dx
x=a
Notations pour la dérivée seconde
f00(x) y00
x200 d2y dx2
d2f(x) dx2
d2x2 dx2 f00(a) y00|x=a
x200 x=a
d2y dx2 x=a
d2f(x) dx2
x=a
d2x2 dx2
x=a
Propriétés de la dérivée
Linéarité
C f(x)0
=C f0(x),C∈R
f(x) +g(x)0
=f0(x) +g0(x)
Produits et quotients
f(x)g(x)0
= f0(x)g(x) +f(x)g0(x) f(x)
g(x) 0
= f0(x)g(x)−f(x)g0(x) g(x)2
Règle de chaine f g(x)0
=f0 g(x) g0(x) dz
dx=dz dy
dy dx
Fonctions algébriques (A)0=0,A∈R
xa0
=ax(a−1),a∈R
Fonctions exponentielles et logarithmes
ex0
=ex
ln(x)0
=1 x
bx0
=bxln(b)
logb(x)0
= 1
xln(b)
Fonctions trigonométriques
sin(x)0
=cos(x)
cos(x)0
=−sin(x) tan(x)0
=sec2(x) cot(x)0
=−csc2(x)
sec(x)0
=sec(x)tan(x)
csc(x)0
=−csc(x)cot(x)
Fonctions trigonométriques inverses
arcsin(x)0
= 1
√ 1−x2
arccos(x)0
= −1
√ 1−x2
arctan(x)0
= 1
x2+1
arcctg(x)0
= −1 x2+1
asec(x)0
= 1
x√ x2−1
arccosec(x)0
= −1
x√ x2−1
Dérivation logarithmique Pour dériver une fonction de la formeuv. Truc 1 : utiliser l’identitéA=eln(A)
uv0
= eln(uv)0
= evln(u)0
Truc 2 : appliquer ln et dérivation implicite
y=uv ⇐⇒ ln(y) =ln(uv) ⇐⇒ ln(y) =vln(u)
ln(y)0
=
vln(u)0
=⇒y0 y =
vln(u)0
