d'accroissement et dérivée

Chapitre

Leçon

17

: Taux

7 : Dérivation

d'accroissement et dérivée

l. Coefficient directeur

Soit une fonction

y:

_.f

^(")

^{définie sur un} intervalle. Lorsque

x

varie

dex, àxr:.

.

^Âx

^:

^xz

_- xt

^est appelé l'accroissement de la variable x,

êt

x2,

. ^Ly:

_-f

^(rr)-

_f (x,) est I'appelé accroissement'de I'image entre

f

^(x,)

et f ^(xr).

.+:"f (xr)-f(x,)

-f(x,+Lx)-f(x,)

^est appelé le taux

M xz-xr

Lx

-

d'accroissement de la

fonction /

^entre

^{x, ct x,}

^sur

I'intervalle I :b"*,f'

Sur le graphique ci-dessous, 4Z

_ax - ^{f (x')-} _xz-xt

^'f

^(x') - ^f

^@,+

^Lr)-

^{"f (x,)}

le

coefficient

directeur de la sécante

(pù

à la courbe,

Ar

Exemple

I

: Soit

/

^une

^fonction

^{définie par y} ₌

f

^(x)=

x'.

Calculer

le tauxd'accroissemefi + ^de -f

^lorsque

x ^variede

^x, = 2 à

xr:{.

Ax

Solution

Ona ; Ly:f(xr)-f(x,) _"f(4)-f(2)

^x

^{xz- xr}

4-2

Ly _43 -23

=&-8

^_

^r*

Ax22

7.

Dérivation

I ¹⁶⁵

Exemple

2

: Calculer le taux d'accroissement de volume d'une sphère lorsque son rayon

varie

de 2 à 7 unités.

Solution

Soit lz

:

_-f

(r),

la fonction volume de cette sphère de rayon

r.

D'après la formule

, r :4,

3

42.73

^'4n.23

Ona: _ f0-rQ)

7-2

⁵

4r(343-8) _ ^268tr

Exemple

3

: Pendant

r

ans, une entreprise réalise un bénéfice de

x2

+5

(cent millions kips). Calculer le thux d'accroissement de ce

bénéfice

lorsque

x

varie de

I

^à 3 ans.

Solution

Soit p

: _{_[(x): x'}

+ 5, la

fonction

bénéfice pendant

x

ans.

onadonc ;

^LP

_f(3)-f(r) Lx 3-l

LP (3'+s)-(t'+s

^x2

AV

Lr

AV

Ar 3.5

14-6 =4

^{cent millions kips.}

2

Tangente à une courbe

Sur le graphique, lôrsque

Q

^tendvers

P

en restant sur la courbe, x, est de

plus

en plus prochgs de x,,

h

coefficient

directetr

"f(x')-

'f

('')

de la sécante se rapproche

d'un

nombre.

on dit

que ce

xz-xt

nombre est la limite

6" ^{f @r)-}

^"f

^(x')

^quand

.r,

tend vers rr.

. ^xz-xr

On note

:

lim

9=

_lim ^{-f @'')--f}

^(x')

Àr-+0 [y x2--t\ _XZ - ^Xt

h- _^/

=

[m f

^{@' + Lx)-}

f ^(x')

Àr--+0 [y Àx-+0

La sécant

e (Pù

devient la tangente ^X à la courbe en x = xt ^. Cette tangente a pour

coefficient

directeur :

,^ ^f

^{(x, + Lx)-}

^f

^{(x,) .}

^x-+0

^_f

1'

-x

Exemple : Trouver le

coefficient

directeur de la tangente à

la

courbe représentant la fonction y

: _f (x):.r3

au

point x:2

^.

'Solution

On suppose Ar

=h

^et m

le

coeffrcient directeur de la tangente.

On

obtient : f ^(x+h)=(x+

^h)3

Donc m

:

tim f@' ^{+ Lx)}

- f(x,) _=tynf@

^{+ h)}

_- f(x)

ô'x+0 LX à-+0 _h

,,-- (x* h)t

-rt - r.-(x+h-ù@

m

:

_I[n :---:-

:

lilTl

h-->o h n-o

_h

*:fim(x'

+2xh+ h' +

x'

⁺ xh+

x')

à+0\

* :

7iy"G' ^{+ 2xh +}

h'

+

x'

+ xh

+r')=

l4(3 ^{x2 + 3xh + h2): 3rz} Pour x

:2

_{, on à} m=3x2

:3x22 :12

Donc

le

coefficient.de la tangente cherchée est 12.

Remarque

,

^Soit

y: s(r)

l'équation du mouvement

d'un

solide, la vitesse de ce mouvement est

d.' m{34=v(/).

Exemple :

Un

solide se déplace selon la

formule

s = t2

-5t+50 où

^s

est la distance en mètre

et t

est la durée du parcours en seconde. ^' Calculer ^:

a.

La vitesse à un instant r

b.

La distance pendant lOs du parcours

c.

La distance parcourue par rapport à son départ lorsque ce solide est en arrêt (la vitesse

initiale

est nulle).

7. Dérivation | 167

Solution

Ona: s:t2-5r+50

On supPose

Ax=ft.

On

obtient :

^s(t

+h)=(t+h)2 -5(t+h)+50,

n^-^

^{s(/ + ft)}

-

^s

()

-

^{(t + n)2}

-

^{S(t + h) + 50 -Q'z}

^-

^{St + S0l}

IJOÎC =-

_h

s(t+ft)-s(t)

-t2

+zth+h2 -5t-5h+50-t2 +5t-50 -2th+42 -sh

-1,

7,

^h

,. s(/+ft)-s(r) -*^2r4jt-5h

^_

r,^h(2t+h-5)

_{=2t--5 m/s}

(,)

₌

Bàatt;: =W;---i-

⁼

^lA---

^h

a.

v(10):

2xl0-5=15

^m/s

b. v(0): ^Oe2t-5=0 =,::

"[t) - (t'\'

-s

^f

l).

s0

: 4 ^{-'z]. ro}

^-25

^-

^{59+ 200}

^=ry,

'[t):\t) -'\z)''- 4 2 4 4

r

Exercices

' l.

^{Calculer le} taux d'accroissement suivant.

a. f(x\=4x+l

^pgur

4:2 et

^xr+h=S

b. f(x)=x'-2x

^pOUr

x,:l et

^xr+h=4

c.

_"f ^(x)

=:

I ^pour

^xi: I et

x,+h=1,02

x

d. -f(r)=Jx+4 pour4:l et

^xr+h=12

e. _f(x)= _r-

1

_+l

^pouf

4:l et

^xr+h=1,01

f. f@)= ,

1 ^pOUf

x,:a et xr+h=ath x'

g. f(x):x'+1

^pour

x,:a

et -

4 +h=a+h

2.

Calculer le taux d'accroissement

dlaire

du cané lorsque son côté

varie de2à5unités.

3.

Calculer le taux d'accroissement de volume du cylindre de

l\cm

^de rayon de base lorsque son hauteur varie de lcm à tocm ^.

. ^Le

^{coût de -r} productions est de

I"' *35x+25dollars.

Calculer le taux d'accroissement du coût de production lorsque le nombre de

production varie

de

100 à 150.

5. Un

solide se déplace selon la formule s

:64t

_-16t2

_dont s

est la distance en mètre

et l

^{est la durée} du parcours en seconde.

Calculer le taux d'accroissement de distance

lorsque r

varie de

2secondeà 5seconde.

-' _6.

Déterminer le

coefficient

directeur de la tangente à la courbe représentant chacune des fonctions suivantes

' _{a. f} (x)=2x'

^{e11 x} = ^I

b. _.f(x)=x2 +x+l en x=l

c.

.f

(ù=Jn

atr x

=2

d. f(x)=2x+a

1_x ^eD

^x=l

7.

Dérivation

| 169

3. Dérivé d'une

fonction

Définition I

On

dit que .r

estdérivable en

v=x,

Si le

rapport fG'+L!)-f(x')

admet une limite

finie quand lx

^tend

vers 0. ^r

. Cette

limite

est appelée nombre dérivé de

f

^{eD .tr=x, et notée}

f,(x,)

^:

r(,x,+Ar)- f(x,)

f,(x,):l,gr.=ff

En général, on note

: -f'(x), +, {9 _{dx' ù} ^{ou ,'.}

.

-f'(a)

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant au point

x:

a

Définition

2

Soit

7

^{une fonction}

^définie

^{sur un} intervalle I.

Dire

que /

^{est dérivable sur}

^I

^{signifie que}

.f

^{est dérivable én}

^tout

réel

x

^{de I.}

Exemple 1 : Soit la

fonction

_-f

(x)=4x+5. Trouver f'(x\.

Solution

on

a

: f'(x)=n[9+J@

f,(,):\lxwTE=Iy,T:o

Donc

f ^(x):4x+5= f'(x):4.

Exemple

2

: Soit la

fonction f(x)=x'. ^Trouver /'(x).

Solution

on

a

: f'(x\

=

r' ^{f(x+ Lx)- f(x)}

^r+0 ^LX

f'(x):

^{lim (x+Lx)'}

-x'

Ar+0 AI

Donc _-f

(x):x2

= f'(x):)a

Exemple 3 : Soit Solution

Ona:.f'(x)=lim

la

fonction

f (x):2x2

^{+ x + 4.} Trouver -f'(x) ^.

f

^{(x +}

^Lr)-.f

^(x)

/'(")

⁼

llg

^{2x2 + 4x.Lx +2(Lrt)' + x + Lx + 4-2x2}

^-

^x

^-

⁴

r, (x) =,_ry,

1g#g ^: _*ry,q@#@ ^:

4x

t

I

Donc f(x)

^{=2x2 + x + 4}

+

_{T' @) =} 4x

+l

^.

Exemple 4 : Soit

la

fonction

f(x)=

^{x'-. Trouver}

4.

dx

Solution

),. 1/ -- , '-\ r/--\ t

On

a

, 9= f'(xl:*nf ^@+D-f@)

dx â__+0

_h

= lim

(x+hl -x'

h+o h

.f, (x) =

nY

^_

_^n(tx'

^{+ tir.h}

⁺

^{h') _}

^r*,

Donc

_-f(x)=x3

= f'(x)=3x'.

4. Continuité

et

dérivabilité Propriété

Soit a

un réel appartenant à un

intervalle

1.

Si une fonction

y: _f ^(x)

est dérivable

en x=e,

alors cette fonction est continue en

x:

^a

Démonstration

Puisque y ₌

f(x)

est dérivable en x

: _e,

_{on a} :

nV@)-r@)l=I'yry6-o)

=tunf e)-f(a).hm(x

_r+o

-

^a):

_f,(a).0=o

x-a ^x+o

C'est-à-dire

fim/(x)-

_-f

@))=0+lim/(

^x)=

f

^(a).

Donc

y ₌

f

^{(x) est continue en}

x:

^{ct .}

La

réciproque de cette propriété est fausse.

7.

Dérivation

I

l7l

Ax

Exemple

,

,u ,onr,ion /(.r)

= _| ^x I est continue en

x=a

mais n'est ^pas

dérivable

en

x=e.

5. ^Fonctions

dérivées des fonctions usuelles

fonction

dérivée

k,ke9r

0

x I

xn flJo-t

,

ⁿ

e.fi

J; _xefr-

T

)c

-{, ^r=n'

Exemple

: Trouver

-f'(x),

la fonction dérivée de chacunç des

fonctions

suivantes :

l) _71x1=a

3)

_-f ^(x) =

x'

5) f(x)=x' 7) _f(x)=6x

²I

9) _f

^(x) =

Ji

^{* s,ri + 4x}

^+r.

2) f(ù=Ji

3

4)

_71x1= ^7z

6) _f ^(x)=7x' 8) -f(x)=xt +x'

Solution

l) _{.f(x)=4= f'(x):Q} 2) _-f(x)=Ji- f'(x):o 3)

_-f(x)=

x' =

^-f'(x)

^:7x6

4) _f ^(x)=r) + _7,1g

=

1ri' _=1*l 22

'l-?-ta-l

5) _{f(x) =r-I} + f'

^{(x) --}

-!

^{r-1-' =}

-! ^r-l 6)

_-f(x)=7x3

> _f'(x):21x2

I I -!-'

-1

7)

J'Q't=6x-1

+ f'(x)=-!y6r-1-' =-3x-i

S) _-f(x)=xt +x'= _f'(x)=3x2

^+2x

e) f'(x)=#-),r,i-' +4=#*E; ^*q

Opérations

fonction

dérivée

a.f a.f'

f+s f'+g'

J -s ^f'-g'

f.s f'-g+ f

^-g'

L.

g

fLsG)l

.f'Ls@)Id(:-)

Vofr ^V(ùI-'..f'(r)

t

Exemple 1 :

Trouver -f'(x\,

^{la fonction dérivée de chacune des} fonctions suivantes :

l) _f

^(r)

=(6r'+ +)(r''

^{+ s)}

2) f(x)=\ro *r)(r' ^+r+r)

n-2

rl

3) .f(x)=+

x2

Solution

l) ./t') =(6r' ++)(:''

+s)

T'@)=(er' *q)b*' +s)+{e" ++)(r''

+s)

.f' (r) ₌ t2x.(3x' + s)+ (ort + +).s

x' f'

^(x) =36x4 + 60x ^{+ 5 4xa} +36x2 -f' ^(x') =90xa + 36x2 + 60x .'

2) .f(x)=Q" *r)(" ^+r+r)

.f'(x)=Q*o

*l) ("'+r+t)+(zro *t)(*' +r+t):

f'

^{(x) =8}

^x'

^.

^(x'

^{+ x + t)+} Qro

*r)(z

x + r) T'@)=8x5 ^{+8-ro +8x3 +4r5} +2xo

+2x+l f'(x)=l2xs

^{+lOxa +8r3}

+2x+l -

^'

7. Dérivation

ll73

3) _f

^(x)=

-['(x) ⁼

f'(x)=

f'(x)=

f'(x)

⁼

4x2

+l

(+*'

*r).': _-(or'.t) ["t)

3

8x-x2

J

x2

r,i.' -:br,

^+r).

I

x'

-

-d

5 ^,t ^I

- z+-

l6x2

-l2x

^{2 -3x2}

*1

^2x3

55-t5l

l6x2 _12x2

_3x2

_4x2 _3x2

2x3

=z*t'

Exemple 2 :

Trouver f'(x),

^{la fonction dérivée de chacune des}

fonctions suivantes :

l) /rxl

_-4x2

+-7x+l 'r\

^?']

\

^6'x+5

3x2

+8 z)

_J

V)=Æ

3) f(x\= _{' x'+l} l" t-

Solution

r\ 4x2+7x+l -

|

)

J

lx)=-:T-:-

. 3.x'+8

f'(x)

⁼

f'(x)

⁼

f'(r)

⁼

f'(x)=

(4x2 +7x+l)'.(3x2 +8)-(412 +7x+l).(3x2 +8)' (3x2 +8)2

(8x+ 7) ^-

(3r'

+ 8)

-

^{(4x2 +7 x}

+l).

6x

(3x2 +8)z

24x3 +64x+21x2 +56-24x3 -42x2

-6x

(3-r2 +8)2

-21x2+58x+56

(3x2 + 8)2

2)

.f(x):#

(6.x+5)t

(r'

⁺ l)

-

(6x+5).(x2 +

l)'

(x2 +l)2

f'(x)

=

6-(r'+l)-(6x+

5).2x

@?

+\2

-f'(x)=

3) _f

^(x)=

-f'(t)=

.f'(x)=

f'(x)=

"f'(x) ⁼

?.,

\ 6x2+6-12x2-llx _{-6x2 -l0x+6} J'\X)=-=-(x'+l)2

(x2 +l\2

*r J;

(Ji)'-

(r'

+ t) -.,,6.(.r' ⁺

l)'

(x2 +1)2

J---tr' _+t\-Ji.2x

2Jx

(x2 +l)2

+*-l--zrJi _2,lx

2Jx

(x2

+l)2

^.

x2

+l-ZrJx ^-ZG z,li

_1x'

+t1'

x2

+l-4x2

_-3x2

+l

fr(-\= ' :' '* = ": ' '-

r \ t-ffiG\y =rJ;G\f

Exemple 3 :

Trouver f'(x),la ^fonction

^dérivee de chacune des

fonctions suivantes ^:

l) f(r)=(4r'+8r+l) ²⁾ f(r)=(,r, *rf, 3) ftù=,lr'q;

Solution

l) f(r)=br'+8x+l)

.f'(x):5Q*'+

^{8x + tf-'}

gr'+

8x +

l)'

^:

.f' (x) = 5@"' + sx +

lf

^(8.r + 8)

f'

^{(x) =ao (x +}

l\4*'

+ sx +

lf

2) _f

^(r)=

("' * r)i

r'6)=l!' *r[-'(r'*r)

f'

^(,)

=1G'

^*

t)i .r'' =I.r,'(''

^*

^rfi

f'(x)=I-tO('' +rfi ' = ^-,tu"

_,,,

s(r'*r)i

7. Dérivation | 175

6.

Dérivées successives

Définition

Soit 7

^une

^fonction

^{dérivable sur}

^un

intervalle

/. On

^{a :}

- La

fonction dérivée première

de .f ^{: y':} f'(ù=*

_dx

-

La fonction dérivée second e de

f ^{I y"=} f"(x)=L(4)={1 _dr\d*

)

^dx2

-

La fonction dérivée troisièm e

de f ^:

^y'i'-

.l'"'(x): _' +( _dx\d*' +)= +

)

^dx'

- La

fonction dériv ée n'"^" de

f ^{: y(') :} f"'(r)=+(+)=+ _{ùld**' )}

_dxn

Exemple

I

: Soit la fonction

f(x) :

4x3 +3x2

+]"+s.

2

Trouver .f"'(x) de f(x).

Solution

D'après f(x)=4x3

^+3x2

+]r+S

Ona : f'(x)=12x2+er+!

2

-f"(x)=24x

*6,

_.

f"'(i) :

24.

Exemple 2 : Soit

la

fonction

"f(x):2xs

^{+3x2 +4x+1.}

m dov |

_^.

'I'rouver -' 1

^de _-f

^(x).

dx' Solution

D'après

f(x)=2xs

^+3x2

^+4x+l

On

a

,4=l;xa +6x+4. 4=4ox3 *e . t4=120x2.42=240x

dx dx' dx'

^dxo

Exercices

l.

^Trouver

_.f'(x),

^la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

l) f(r):6x-l

3) f(r):4x2 -2x 5) f<t>:2x3

^+6x

7)

f(*) _x+l

I

9) _l'G): -!

^x-

+l

f

^(x)

:3x2

+ 2x

+l

f(r):x3 ^+l r@):",1;*2

fG):+

2)

.4)

6) 8)

2.

Trouver

4

a"chacune des fonctions suivantes ^: dx

! :4

+ 2x -3x2 -5.r3 -8x4 +9x5

Y--*-;* xx-x' 132

.

3) Y:'h"-#

4) v:,'-+*r'-+

5) f(r):(6r'

^+r)p.r+s)

6) ft ):(4r' ^*r)(.,Ç*r)

3.

^Trouver

_-['(x),

la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

l)

f

(x\:3-2x

3+2x

3) f(xl: _^x+l

x'+2x+7 5) f(r): ^(3x--x'+l/ /-\(

7) ftù:(e'-+l(a"+o')

4.

^Soit

_71x;:,rt

^+12x5 _-4x4 ^+10-13

_-6x+5.

Trouver les fonctions dérivées

f'(x),

.f ^"

(r),

.f"'(x)

^et

fet(x)

^de

f(x).

l)

2)

l0)

_11x;

:

2) f(r):

3x+5

x2

+l 4) _f (*):

^(1-5x)6

6) tu,:(*)'

7. Dérivation | 177

Leçon 18

:

Applications

de

la dérivation 1.

Taux dtaccroissement

On a le taux d'accroissement

de y

en ,, _.

Ll ,.

^{.f (x, + Ax)} -

f(x,)

_^,

lim

z

₌

lim çt

on sai

Âx-+0 [y Àr-+0 _LX

Donc le taux d'accroissement

dé y

en .rr peut s'écri

r" , 1l

_dxl,=,,

Exemple

I

^:

On

a gonflé Sm3 /s un ballon de rayon calculer la

variation

de rayon

- (+)de _\dt.)

ce ballon.

Solution

Soit

lz le

volume

de ce ballon en instant r

r

^le

rayon

de ce ballon

on

a

, _-4nr3 =dv ^{=4o(]sr, o'\:4or,} L

^t

3 dt 3\ dt)

^dt

Puisque

_'dt +:5mt ^/s

^et

^r=10m,

on obtient

: 5:4rr2L=qofiO), dt . L-dr = 5 dt dt

4Mn =O.004

Cela signifie que lorsque le

ballon

est gonflé 5m3

/s,

^{son rayon}

augmente O,OO4n/s.

Exemple 2

:Un

réservoira la

forme

d'un cône

dont

la hauteur l2Ùcm et de I O|cm de diamètre de base. Un robinet coule fficm3 /s ^. Quelle ^est la

variation

de la hauteur de I'eau sachant que la hauteur de l'eau dans ce récipient est Socm ?

.rr est :

Lv

^dv

Ique:nrn _'

_ar--+o

_4y - -'

dX

l0z

. On veut

ï

{ h

I

I

l i

I I +

Solution

Soit Z

^{le volume} de ce

récipient

en instant I

r le

rayon de la surface de l'eau dans le récipient

à

la hauteur de l'eau

On

a: V:!rr'h

_I

.J

D'après la propriété _de Thalès, on a :

, _ h )r_50h_5h

50 r20 120

^r2

on

obtien

t :

v

=!orrt, =! ^r( 2!)

_{o -25nh3}

3 3 \r2)

^3xt44

dV

:258h2

>dh-

dt 144

dt-

Puisque

_-dt +=60cm3 ls et h:B(,cm,

_r

on

obtient donc

uo-25nh2 *4h _=zsr(go)' ,ah lM dt 144

dt

o! _dt ==l*"!2

_=o,ot72

25nx64OO

Cela

signifie

que lorsque la hauteur de I'eau dans le récipient est 80cm,la hauteur de augmente 0,0l72crn/s .

Exemple

3

:

une

entreprise fabrique un certain objet en grande quantité.

Le

coût b1r; de'-x objets est donné

par

C(.r) = 10O00+ 5x+0,01x2. On veut fabriquer

un

objet de plus.

Quel est I'augmentation du

coût

sachant que

la

fabrication

initiale

est 500 objets ?

Solution

C(x)= 10000+5x+0,01x2

+

C'(x) =5+0,02x

C'(500)

:

5 + 0,02x 500 = ^{I 5}

cela

signifie

que pour fabriquer un objet de

plus

le coût augmente

l5

unités.

7. Dérivation _| 179

,. ^Oé.rnée et tangente Définition

Soit

I

^une

^fonction

^dérivable

^en

^{xo. On appelle tangente à la courbe}

représentative de

f

aupoint d'abscisse xo la droite passant par le point de coordonnées (ro,.f @u;) et ^de coefficient

directeur f'(x).

Théorème

Soit

/

^{une fonction dérivable}

^en

^{xo :}

- La courbe représentative

de -f

^{admet au}

point A(xo,f!x))

un9 tangente dont une équation

est

^y =

f$)Q-x)+ f(x).

- La courbe représentative

de f

^{admet au}

^point

^A(xo,f

^@))

^une

perpendiculairè dont une équation

est ,

⁼

-fi(r -

^{xo )+}

f (tr)

^.

I

e

^{la tangente}

Exemple

I :

Soit la

fonction f

d,éfiniesur

fr

^par

f(x)=*2 -3r-4.

Déterminer une équation de la tangente et une équation de la

. perpendiculaire à la courbe représentative de

f

^au

^{point Q,-A).}

Solution

Le coefficient directeur de la tangente au point

Q,-0)

^est

f'Q).

On a :

f(x):*2 -3x-4> f'(*)-2x-3

^et

f'(2):2r2-3=1.

Donc la tangente a pour équation ^:

y-f'(2)(x-2)+f(2)

l:lx(x-2)-6: ^x-8

Et la perpendiculaire a

pour

équation ^: y

--:^(x-2)+ ^f

⁽²⁾

' _f'(r)'

, - -! ^r(x - ^2\-

^{6 =}

^-x

⁺²

-

⁶

- _-x -

^{4 .}

-l

'

_Exemple

₂

: Soit la

fonction y

dêfiniesur

fr

^par

_f ^(x)-

¹³

_-3r2

^.

Déterminer une équation de la tangente à

la

courbe représentative de

/

^{passant par le}

^{point (t,-+).}

Solution

On a

: f (l):7-2:-l+ 4 ^donc _0,-+) n'est

pas le point tangent.

Soit

x: ^a

^€st I'abscisse du point tangent.

Latangente a pour equation ^:

y: f'(a)(x-a)+ f(a)

^tel

^que f'(*):3x2 -6x

, :

^ç3a2

-

^6a)(x

^-

^{a)+ (a3}

- ^zo2)

Cette tangente ^passe par

(1,-4),

oo u ^t

-

⁴

-

^(3o2

-

^6o)0

^-

^{a)+ 1a3}

-ta2y -4-3a2 -3o3 -6a+6a2 ^+o3 -3o2

2a3

-Ga2 +6a-4:o

o3

_3o2 +3a_2=0+

a

_2

Donc

l'équation

de la tangente-est ^:

y: (3122 -Gx2)(x-2)+

¹²³

-lrzzy

./=0x(x-2)+8 -12=4

Exemple

3

: Soit

Cf y:*2 ^et Crty=-x2 +2x-1.

Déterminer

l'équation

de la tangente cofilmune à ces

deux

courbes

représentatives.

7. Dérivation I

l8l

Solution

t

Soit (r,r'),

le point tangente

d

C,. On a

l'équation

de la tangente a

/ _^

\'

c,

; y

:k'

_)'

(, - )+P

^{= 2t(x}

-t)*

^{t2 .}

Puisque

C, et C,

a pour même tangente, on

obtient

donc ^:

-*2 *2x-t:zt(r-t)+?

-r2 *2x-l:2xt-2t2

+t2

o *2 +zQ-t)x-t2 +l:o

A'-o<+

Q-Û ^*t2 -i=o

,2

_-2t

+t+

t2

-t :2t|-l):

o

=

^/

^:

^{o ; I}

Les équations de la tangente commune est

donc

^:

/=0 ^et y:2(x-l)+l _=2x-1.

3.

^Sens

de variation d'une fonction

Théorème

Soit

7

une fonction dérivable sur un intervalle 1

:fa,b[

de fr .

Si,pourtout x de.I=lo,bl, f'(t):0

^alors

/

est constantesur

1.

Si, pour

tout x

de 1=

fo,bl, -f'(*)

^{> 0 alors}

/

est strictement croissante

sur

1.

Si, pour

tout x

de

1=lo,b[, _f'(r)<0

^alors

/

est strictement décroissante sur 1.

Exemple : Etudier les variations de la

fonction

_-f(x)=xo

-2x,

^.

Solution

-f'(x)

:

_xo

_{-2x' + f'(x)} :

4x3

-

^{4x =}

qr(r' -t):

+x(x -r)(x+ ^r)

. Vxef æ;-l]ulo;rJ, f'(x)<0

^donc

/(x)

^est décroissante..;

.

vxe[-r;o_lu[ri+*[, f'(x)>0

^donc

/(x)

estcroisSante.

4. Détermination

des

extremums

locaux

d'une

fonction

Théorème.

Soit 7

une fonction dérivable sur un

interrl

alle

I :fa

_;

_{b[ et}

_{-ro un}

réel

de

1.

Si ,f'

^s'annule

^€r

^xo

^en

changeant de signe, alors

/

^{admet un}

extremum local en xo.

Dire

que

,f'

^s'annule

^en

^.r0 en changeant de signe signifie

qu'il

existe un intervalle ^'

ho-o ; ^ro+al

^inclus

^dans /

pour lequel

:

^,

-pour tout x d.

_Jro

-a ^,

^xol,

f'(r)<0

^(resp.

f,(x)t0);

-pour tout x d.

_{Jr, ,}

xotal, f,(r)>O

^(resp.

-f,(x)<0).

Deux

cas peuvent alor.s se présentent :

Premier

cas

x ^xo

-a xo

^xo+a,

-f'(x) 0

+

r@)

f

^(xo)

x -co

-l

^{0 I +co}

Signe de

/'(x) 0+00+

Variations de

f

^(x)

7.

Dérivation

| ¹⁸³

f

@o)

.

f(x\<o ^sur bo-a;xol, fG;

^est décroissante

et f'(x)>0

^sur

f*o; ro*of, /(.r)

^est croissante donc

f

^{admetun minimum en}

^ro

^{et on}

note :

fon:

-f(xo)

Deuxième

cas

^r

x

xo-d ro

xo+a

"f'(x)

+

0

"f (x)

f

^(xo)

bx -+

f'(x)>0 ^sur _ho-a;xol, f@) /(x)

^est décroissante

donc /

f^

⁼

f(r).

est croissante

et f'(x)<0

sur [ro i ro *o1., admet un

maximum

en -ro et on

note

^:

Exemple I

: Trouver le maximum et le

minimum

de la

fonction

f (r):

^xo

_-2x'

^.

Solution

f@):

^xo

-2x' + f'(x):4x3 -4x=q*6' -l): ax(x-l)(x+l)

Par lecture du tableau de variation.

. f admetpourminimum -r

^(atteint

^en -t ^{;en t);}

. f

^{adrnet pour}

maximum 0

(atteint

en

0 ).

t

Exemple

2

: Trouver le maximum et le

minimum

de la

fonction

f (x):

^{xt +}

x'-8x-l

Solution

f(x):x3

^+x2

-8x-I + -f,(x):3x2 +2x-g:(lx-+)(x+Z)

Par lecture du tableau de variation,

. -f

admet pour

minimum -ry,

^on

^écrit

^{1 .fo,;n}

: _fe)=

_-29? :

27

'''-^ '

-/mn

I (l/ 27

^'

. f

^{admet pour}

^maximum

^I

^l,

^{on éc.'it}

7*

⁼

-f(-2)=tt

^.

Exemple

2

: Trouver

le

maximum et le

minimum

de la

fonction

f (x): x' _-3x+6

sur

l'intervalf. [-1 | 2'

^{, ,-1.I}

x

-æ-l 01+co

Signe de

f'(x)

0 ^-t 0 0 -r

Variations

de

f

^(x)

"f(0) ^{= 0}

,/\

-f

(-r)=-t/ ^-,r(,)

=

-,

x

^-æ -2 ;

⁴_J ^+æ

Signe

de/'(r)

+ 0 0 +

Variations

de

f

^(x)

f (4)=rr

-(

q\

_zo3

/[;J=- n

7.

Dérivation

I 185

x

-t

^JI

^-l

^{I J}

Signe de

f'(x)

^{-r 0 0 +}

Variations

de

f(x)

/(-r)

=8

f ^(3):24

'(-:)=+ ^f(r)=4

Solution

f(x) : _{xt -3x}

+ 6

+ f'

^(x)

:

3x2

-3 :3(x-l)(x

+

l)

Par lecture du tableau de variation,

.

^q

.T

^donc

f

^{admetpour minimum 4}

, ^onécrit

^{: f^n}

⁼

J'Q):

+;

.8

.

^{24> 8 donc}

f

admetpour maximum

24, on

éct'rt

7*= fQ):2+

^.

5. Point d'inflexion

Théorème.

Soit 7

une fonction dérivable sur un interv alle

I :fa

_;

_{b[ et}

_{.ro irn}

réel

de

1.

Si -f"

^s'annule

^0r

xo, alors la courbe représentative de

/

^{admet un}

point d'inflexion

("0

;.f("0)).

. ^Exemple

^{: Soit une}

^fonction

^définie

^par

-f

(r):

^xo _-4x' ^,

a. Étudier

le sens de variation de

/.

b.

^{En déduire les} extremums de

/.

c.

Trouver

lepoint d'inflexion

de la courbe représentative

de /.

d.

^{Tracer la courbe} représentative de

/

^{dans un repère} orthonormé.

Solution

a.

_-f

(r):

xo

-4xt + _f'(x)=4x3

_-12x2

:4x' ("-3)'

x

_-æ

0

3

^+co

Signe de

f'(r)

^{0 0 -T}

Variations

del(x) ^{,r(o)= o}

\*r(t)=-zt

Par lecture du tableau de variation ^:

. VxeJ-*;l] , .f'(x)<0

^donc

/(x)

estdécroissante;

.

Vx e [f ^;

*-[, _f'(x)

^{> 0 donc}

_/(x)

^est croissante.

b. /

^{a pour}

^minimum -27

^:

f.n: fO)=17

^et

.f ^n'a

^{pas de}

maximum.

c.

f'(x)=4x3 -12x2

=4x21x-3)+ f"(x):12x2 -24x:t2x(x-2)

f"(r)=0 = ^l2x(x

^-2)=0

=.r : _{0 ou}

x

:

2

La courbe représentative de

f

^{admet deux points}

d'inflexion

^:

.

/(o):

^o

=

^{le point(o ; o)}

.

f(2):-l

⁶

₌

^{le point(2 ;}

-l

⁶⁾

6. Écriture différentielle Définition

- Si /

^une

^fonction

^{dérivable sur}

^un

intervalle

I =fa,b[

^de

n.

On écrit ,

!:

_0x

-f'(x\

^{ou dy=}

^f'(x)dx

^.

L'écriture dy: f'(x)dx

^{est appelée}

écriture différentielle

de

/.

Exemple : Soit une

fonction'/(x) :

x3 +2x2

a.

Calcller dy ^.

b.

Calculer

dy pour x=2

et dx:O,7 Solution

a. f(x)=xt +2x' +

f'(x)=3x2

+4x

Donc dy =

-f'(r)

^d,

=br'

^{+ +x)ax}

b.

^ay

^:(t.z'

^{+ +. z).(o,r)= zo.(o,t)}

^:

^z

7. Dérivation | 187

7. Approximation affine

en un

point

- Graphiquement, au voisinage au

point A,la

courbe est très proche de la tangente en A ^.

f

^{(a + h)-}

f

^(a) _{est très proche de}

f,(a)

^.

h

Autrement dit ^:

-f (" + n)- _7@)- h.

f'(")

^{ou encore}

f("

^{+ n)} = 7@)+ ^h.

f'(")

^.

La

fonction affine

:

^'

h =>

f

^{(a)+ h.}

f'(o)

^{est appelée}

approximation

affine de

-f

voisinage de a.

f(a+h)

r@)

a

^a,+

T

Exemple I

: Soit

une fonction /(x) :'J;.

Donner une

vâleur

approchée

de y@s):'Jos

.

Solution

r1

. f ^(x)='Ji =ti = .f'(x)=!r-i ₃ =^= , ^f(o+)={64

⁼⁴

3tJr''

On

obtient donc ^:

'J 6s

:

_.f(es)= y@+ + t)

: 7$l+r.-+ ' fJ6+1' 3x2" ^:

^{4 *}

-)-

^{= q}

^* |

^{48 = 4,02t}

^.

^.

Exemple 2 : Lors de la fabrication artisanale de balles de ping-pong, le rayon imposé

de 2lcm

estrespecté à plus ou moins 0,O5cm

Déterminer la

variation

de volume de la balle entrainé par un défaut de fabrication

de

O.OScm sur le ravon.

Solution

Soit z(r)

le volume de la

balle

de rayon

r,

On.a I

r=27cm,

dr=0,05cm

et V(r)-4r=r3 '3 +dv(r):4n12dr

On obtient

donc :

dv(r)= +r(z.t)' ^.(o,os) ₌ 277 cm3 .

Exercices .

^'

l.

Un ballon est

gonflé

2cm3

/s. _Quelle

est la variation du rayon sachant que son volume est

de

5ocm3 ?

2.

Unrecevoir a la forme d'un cône t dont la hauteur et le diamètre sont égaux à

tïm. Un

robinet coule 4m3 lmin. Quelle est la variation de hauteur sachant que la hauteur de l'eau dans ce

récipient

est 6m 7

3.

Pour chacune des fonctions, déterminer une équation de la tangente et une perpendiculaire _{à la} courbe représentative au point indique.

a. _/

= ^x3

-2x2

^{en (t ;}

-t) -b. l=2xa-6x2 +8

^en

(z;rc)

c. _l=2x+a

I

en

^(t _{; +)} x

d. x'y' _{=e en} (-f ;:)

4.

Déterminer une équation de la tangente passant par I'origine à la courbe représentative de la

fonction

y ₌

xt -3x' -1.

5.

Discuter sur les nombres de tangentes passant par le

point

(O;t)

de .

_'

la fonction

l:

^{xt +2x2}

^-4x.

6.

Déterminer une équation de la tangente commune des fonctions

!=-x2

^et

y:x2

+3x+2.

7. Dérivation | ¹⁸⁹

7. Soit q t!=xt -x' -12x-l

^et

^Cr;y :-x3

+2x2 +a.

Déterminer la

valeur

de

c

pour

que

Cr

et

C2 soient tangentes.

8.

^{Étudier les} variations de chacune des fonctions suivantes.

a. _{f(x)=x2 -4x+5} b. f(x)=l+2i-x2

c. _f(x)=;*t

I

_-*'-3x+2

J

d. _f(x)=x3

+3x

-2

g.

Déterminer la

valeur

de È pour que la fonction

!:2x3 +kf +kx

soit croissante sur

fr.

- 10.

Soit une fonction définie ^par

: f (x):

^{.x' + ax' +bx}

^+c.

Déterminer la valeur de a

et

b sacharlt que cette

fonction

admet des extremums en

,

=

i, )

_J ^x

⁼²

^{et a}

^pour

^{minimum 0 .}

I l.

Déterminer les extremums de chacune des fonctions suivantes.

a. f(x)=;rt

_JI

^*2x2 -5x-3

b. -f(x)=l+3x+

^4x2

-x3

c. _f

^(x)=2x3

_{-3x2 -12x}

pour

-2 1x 14

d. _f ^(x)=-xt _-3x'+

⁴

poirr

_-3< x < 2

12. Déterminer la

valeur

de /c pour que chacune des équations aient trois racines réels.

a.

^{2x3 +3x2}

_-l2x-

k

=o

b.

^{x3 +2x2}

-4xik:o

13.

Un

cylindre

droit

de hauteur 2x et de rayon de base

c

eSt inscrit dans une sphère de rayon 2.

a.

Exprimer

a

en fonction de

x.

b.

Exprimer le

volume

du cylindre en fonction de

x.

c.

Calculer le

volume

maximal de ce cvlindre.

14. Un

cylindre

droit est inscrit dans un cône de hauteur 12 etde rayon

de base o . Calculer le volume maximal du cylindre.

15. Pour chacune des fonctions suivantes, étudier

le

sens de variation, en déduire les extremums,

trouver

le point

d'inflexion

puis tracer

la

courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. f(x):x'-x

b. f(*):

^xo

-6x'

C. f(x):

_{xo -3x3} ^+3x2 - ^x

d. _.f(x):3xs

_{-5x3 +3}

16. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la différentielle dy ^.

a. _f (x): x'

b' f(ù:\l'

^t

c. -f(x):-

_{zx +3}v-)

17. En

utilisant

la differentielle, calculer les expressions suivantes.

a. ,!-Nl

b.'JW+dr,u c.

^(r,sz)u

d.

^I

l0,l

18. Le rayon

d'un

disque imposé de 24cm est respecté à plus ou moins

0,2cm.

Calculer

la valeur approchée de I'eneur commise de

I'aire

de

ce disque.

7. Dérivation | ¹⁹¹