Propriétés de la dérivée

Formulaire de dérivation

Définition

x y

x x+∆x f(x)

f(x)

∆x f(x+∆x)

f(x)

Définition de la dérivée f⁰(x) = lim

∆x→0

f(x+∆x)−f(x)

∆x Équation de la droite tangente en(x,f(x))(yfonction dedx)

y=f(x) +f⁰(x)dx Approximation de f(a+∆x)

f(a+∆x)≈f(a) +f⁰(a)dx

x y

a x

f(x)

f(x) (x−a) f(x)

f(a)

Définition de la dérivée f⁰(a) =lim

x→a

f(x)−f(a) x−a Équation de la droite tangente

y=f(a) +f⁰(a)(x−a) Approximation par la droite tangente

f(x)≈f(a) +f⁰(a)(x−a)

Notations

Différentes notations pour la dérivée dey=f(x) =x².

Notations pour la dérivée première f⁰(x) y⁰

x²0 dy dx

d f(x) dx

dx² dx f⁰(a) y⁰|_x=a

x² 0

x=a

dy dx x=a

d f(x) dx

x=a

dx² dx

x=a

Notations pour la dérivée seconde f⁰⁰(x) y⁰⁰

x²00 d²y dx²

d²f(x) dx²

d²x² dx² f⁰⁰(a) y⁰⁰|_x=a

x²00 _x=a

d²y dx² _x=a

d²f(x) dx²

_x=a

d²x² dx²

_x=a

Propriétés de la dérivée

Linéarité

C f(x)0

=C f⁰(x),C∈R

f(x) +g(x)0

=f⁰(x) +g⁰(x)

Produits et quotients

f(x)g(x)0

= f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x) f(x)

g(x) 0

= f⁰(x)g(x)−f(x)g⁰(x) g(x)2

Règle de chaine

f g(x)0

=f⁰ g(x) g⁰(x) dz

dx=dz dy

dy dx

Fonctions algébriques (A)⁰=0,A∈R

x^a0

=ax^(a−1),a∈R

Fonctions exponentielles et logarithmes

e^x0

=e^x

ln(x)0

=1 x

b^x 0

=b^xln(b)

log_b(x)0

= 1

xln(b)

Fonctions trigonométriques

sin(x)0

=cos(x)

cos(x)0

=−sin(x)

tan(x)0

=sec²(x) cot(x)0

=−csc²(x)

sec(x)0

=sec(x)tan(x)

csc(x)0

=−csc(x)cot(x)

Fonctions trigonométriques inverses

arcsin(x)0

= 1

√ 1−x²

arccos(x)0

= −1

√ 1−x²

arctan(x)0

= 1

x²+1

arcctg(x)0

= −1 x²+1

asec(x)0

= 1

x√ x²−1

arccosec(x)0

= −1

x√ x²−1

Dérivation logarithmique Pour dériver une fonction de la formeu^v. Truc 1 : utiliser l’identitéA=e^ln(A)

u^v

0

= e^ln(uv)0

= e^vln(u)0

Truc 2 : appliquer ln et dérivation implicite

y=u^v ⇐⇒ ln(y) =ln(u^v) ⇐⇒ ln(y) =vln(u)

ln(y)0

=

vln(u)0

=⇒y⁰ y =

vln(u)0

Dérivées et différentielles

x y

x x+dx

f(x)

y dx

∆x

dy ∆y y+∆y=f(x+dx)≈y+dy

y=f(x)

∆y=f(x+∆x)−f(x)

dy≈f(x+dx)−f(x)sidxinfinitésimal.

y+dy≈f(x+dx)sidxinfinitésimal.

Fonction dérivée f⁰(x):

dy=f⁰(x)dx dy

dx=f⁰(x) Droite tangente enx=a:

y=f(a) + dy dx x=a

(x−a)

Propriétés des différentielles

Linéarité uetvfonctions dex

d(Cu) =C du,C∈R d

u+v

=du+dv Produits et quotients

uetvfonctions dex d uv

=v du+u dv du v

=v du−u dv v²

Règle de chaine Siz=g(y)ety=f(x), alors

dz dx= dz

dy dy dx Fonctions algébriques

d(C) =0dx,C∈R d(x^a) =ax^(a−1)dx,a∈R

Exponentielles et logarithmes

d e^x

=e^xdx d

ln(x)

=1 xdx d

b^x

=b^xln(b)dx d

log_b(x)

= 1

xln(b)dx

Fonctions trigonométriques

d sin(x)

=cos(x)dx d

cos(x)

=−sin(x)dx d

tan(x)

=sec²(x)dx d cot(x)

=−csc²(x)dx d

sec(x)

=sec(x)tan(x)dx d csc(x)

=−csc(x)cot(x)dx

Fonctions trigonométriques inverses

d

arcsin(x)

= 1

√

1−x²dx d

arccos(x)

= −1

√

1−x²dx d

arctan(x)

= 1

1+x²dx d

arcctg(x)

= −1 1+x²dx d

asec(x)

= 1

x√

x²−1dx d

arccosec(x)

= −1

x√

x²−1dx