L’essentiel du cours 2014/2015
Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence
Sommaire
1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne . . . 2 1.2. Congruences . . . 2 1.3. PGCD, Bézout, Gauss . . . 3 1.4. Équations diophantiennes . . . 3 1.5. Chiffrements . . . 4 1.6. Nombres premiers . . . 5 2. Matrices 6 2.1. Opérations . . . 6 2.2. Systèmes linéaires . . . 62.3. Puissances de matrices carrées . . . 7
2.4. Suites et matrices . . . 7
2.5. Marches aléatoires . . . 8
3. Logique et raisonnement 9 3.1. Démontrer qu’une proposition est fausse . . . 9
3.2. Implication . . . 9
3.3. Équivalence . . . 9
3.4. Unicité . . . 10
3.5. Double inclusion . . . 10
3.6. Disjonction de cas . . . 10
3.7. Raisonnement par récurrence . . . 11
1. Arithmétique
1. 1. Division euclidienne
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d’entiers (q, r) tels que
a = bq + r avec 0 6 r < b Théorème 1.
C’est le théorème central de l’arithmétique. À connaître par cœur. 1. 2. Congruences
À retenir :
⋆ a ≡ b[n] lorsque a et b ont le même reste dans la
division euclidienne par n.
⋆ a ≡ b[n] si et seulement si a − b est divisible par n.
⋆ a ≡ b[n] si et seulement si il existe un entier k tel que a = b + kn. Les congruences sont stables par addition, soustraction et multiplication. En d’autres termes,
Si a ≡ b[n] et a′ ≡ b′[n], alors :
a+ a′ ≡ b + b′ [n]; a − a′ ≡ b − b′ [n]; aa′ ≡ bb′ [n] et, pour tout k ∈ N, ak ≡ bk[n]
BPar contre, pas de division !
⋆ Par exemple, si 2n ≡ 2[4], on ne peut pas écrire que n ≡ 1[4]. Il suffit de prendre n = 3 pour s’en convaincre...
⋆ Mais, lorsque an ≡ k[b] et a et b sont premiers entre eux, le théorème de Bézout nous assure l’existence de u et v tels que au + bv = 1 et on a donc au ≡ 1[b]. On dit que a et u sont inverses modulo b.
On peut donc écrire an ≡ k[b] ⇔ uan ≡ uk[b] ⇔ n ≡ uk[b]. Par exemple, 2n ≡ 2[5] ⇔ 6n ≡ 6[5] ⇔ n ≡ 1[5].
Ce principe est utilisé, entre autres, pour le décodage d’un chiffrement af-fine. Il peut se généraliser aux systèmes de congruences (cf chiffrement de Hill).
Quelques applications des congruences :
⋆ Montrer que a est divisible par b revient à montrer que a ≡ 0[b].
⋆ Déterminer le chiffre des unités d’un nombre n revient à déterminer le reste de n modulo 10. (chiffre des unités de 72013
?)
⋆ Démontrer des critères de divisibilité en écrivant des entiers en base 10. (abc = a × 102
+ b × 101
+ c × 100 ).
⋆ Étudier par exemple les restes de 2n modulo 7 pour tout n, à l’aide d’un tableau.
⋆ Une relation de congruence permet de partitionner l’ensemble des entiers relatifs, ce qui est utile pour raisonner par disjonction de cas. Par exemple, la relation de congruence modulo 2 partage les entiers en deux familles disjointes : les pairs et les impairs.
1. 3. PGCD, Bézout, Gauss
Le PGCD de deux entiers peut se déterminer à l’aide de l’algorithme d’Eu-clide. C’est le dernier reste non nul de la suite des divisions successives.
À retenir :
⋆ Si D = P GCD(a; b) alors il existe u et v tels que au + bv = D (égalité de Bézout).
⋆ a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u et v tels que au + bv = 1 (théorème de Bézout).
☞ On peut déterminer un tel couple en remontant l’algorithme d’Euclide. Exemple 1. Déterminer un couple d’entiers (u, v) tel que 21u + 26v = 1 Algorithme d’Euclide : 26 = 21 × 1 + 5 21 = 5 × 4 + 1 5 = 1 × 5 + 0 D’où : 1 = 21 − 5 × 4 = 21 − (26 − 21 × 1) × 4 = 21 × 5 + 26 × (−4). On a donc (u, v) = (5, −4)
☞ On peut aussi utiliser l’algorithme d’Euclide étendu que nous avons pro-grammé sur la calculatrice.
1. 4. Équations diophantiennes
Ce sont des équations dans Z. Il faut connaître la méthode de résolution d’une équation diophantienne du type ax + by = c. Celle-ci ne peut avoir de solution que si P GCD(a; b)|c.
Résolution de l’équation (E) : ax + by = d où d = P GCD(a; b).
1 Recherche d’une solution particulière : On détermine une relation de
Bé-zout. On trouve donc deux entiers x0 et y0 tels que ax0 + by0 = d.
2 On écrit :
ax+ by =d ax0 + by0=d
Si (x, y) solution de (E) alors a(x − x0) + b(y − y0) = 0 (*) soit a|b(y − y0).
3 On utilise le théorème de Gauss : Puisque a et b sont premiers entre eux,
alors a|y − y0 donc y s’écrit y = y0 + ka avec k ∈ Z.
4 On injecte cette valeur dans (*) et on trouve a(x − x
0) + bka = 0 ⇔ x = x0 − kb.
5 On vérifie que de tels couples (x; y) sont solutions de (E) 6 On écrit S = {(x
0 − kb; y0 + ka); k ∈ Z}.
1. 5. Chiffrements
⋆ Chiffrement de César : f : x 7−→ x + b
1 On code la lettre par un entier 0 6 x 6 25 suivant le principe : A →
0; B → 1; ...; Z → 25.
2 On calcule f (x) = x + b modulo 26 (on ajoute la clef b à x puis on prend
le reste modulo 26).
3 On associe une lettre à f (x)
Faiblesse : Ce chiffrement peut être décodé facilement à l’aide d’une analyse de fréquence : on repère la lettre qui apparaît le plus dans le message codé, elle correspond au E. Cela permet de trouver la clef b puis on décode en appliquant la fonction g(x) = x − b ≡ x + (26 − b)[26]. Le chiffrement de Vigenère rend l’analyse de fréquences bien plus difficile.
⋆ Chiffrement affine : f : x 7−→ ax + b avec P GCD(a; 26) = 1
1 On code la lettre par un entier 0 6 x 6 25 suivant le principe : A →
0; B → 1; ...; Z → 25.
2 On calcule f (x) modulo 26. 3 On associe une lettre à f (x)
Pour décoder, (c’est-à-dire trouver la fonction de décodage connaissant la fonction de codage)on détermine l’inverse de a modulo 26 grâce au théorème de Bézout (voir plus haut).
en écrivant les relations de congruences obtenues en codant deux lettres distinctes.
⋆ Chiffrement de Hill :
On code les lettres par blocs de 2 (ou plus). Le blocx y
sera codé enx′ y′
selon le principe suivant :
ax + by≡x′[26] cx+ dy≡y′[26]
Ce système peut aussi s’écrire sous forme matriciellea b c d x y ≡ xy′′ [26]. Le cas favorable est lorsque la matrice A = a b
c d
a une inverse dans Z, c’est-à-dire lorsqu’elle est de déterminant ±1.
On obtient alors x y
≡ A−1xy′′
[26] ce qui permet de décoder. En ef-fet, multiplier par une matrice à coefficients dans Z est stable avec les congruences puisqu’on n’effectue que des multiplications et des additions. 1. 6. Nombres premiers
À retenir :
⋆ Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
⋆ Tout entier non premier n admet un diviseur premier p tel que p 6 √n. ⋆ Si p premier divise un produit de facteurs, alors il divise l’un de ces
facteurs.
⋆ Si p premier divise un produit de facteurs premiers, alors p est l’un de ces facteurs premiers.
⋆ Tout entier se décompose de manière unique en produit de facteurs pre-miers.
BNe pas confondre "premiers entre eux" et premier. Deux nombres premiers
distincts sont premiers entre eux, alors que la réciproque est évidemment fausse (4 et 9).
La décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier permet de connaître les diviseurs de ce nombre et donc le nombre de diviseurs de ce nombre.
Par exemple, 300 = 22
× 3 × 52. Les diviseurs de 300 sont donc de la forme 2i× 3j × 5k avec i = 0; 1; 2, j = 0; 1 et k = 0; 1; 2. Il y en a donc 3 × 2 × 3. 300 a 18 diviseurs.
2. Matrices
2. 1. Opérations
⋆ On définit une addition sur les matrices de même dimension. Cette addi-tion vérifie les mêmes propriétés que l’addiaddi-tion des réels.
⋆ On définit la multiplication par un réel en multipliant tous les cœffi-cients de la matrice par ce réel.
⋆ On définit ensuite la soustraction en posant A − B = A + (−1) × B. ⋆ Il s’ensuit que toute matrice a une matrice opposée et que l’élément neutre
(le zéro des matrices) est la matrice dont tous les cœfficients sont nuls. ⋆ On définit également une multiplication qui est plus subtile :
— On ne peut multiplier deux matrices que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombres de lignes de la seconde. ("(n, p) × (p, m) = (n, m)") Le cas où les matrices sont carrés est le plus courant. — Cette multiplication n’est pas commutative c’est-à-dire que AB 6= BA en général. Ceci implique que certaines propriétés de la multiplication des réels ne sont plus valables (identités remarquables etc...). Soyons vigilants !
⋆ Certaines matrices carrées sont inversibles. Dans ce cas, l’inverse de A est notée A−1. C’est l’unique matrice vérifiant A × A−1 = A−1× A = I. (Dans la pratique pour vérifier que B est l’inverse de A, il suffit de vérifier l’une des égalités AB = I ou BA = I.
⋆ La matrice identité (ou unité) d’ordre n, notée In, est la matrice dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1 et les autres sont nuls.
⋆ Si A = a b c d
, alors A est inversible si et seulement si ad − bc 6= 0. Le réel ad−bc s’appelle le déterminant de A. De plus, A−1 = 1
ad− bc
d −b
−c a
. Pour les dimensions supérieures, on a recours à la calculatrice pour calculer
l’inverse.
2. 2. Systèmes linéaires
On peut écrire tout système linéaire de n équations à n inconnues sous la forme AX = B où A est une matrice carrée d’ordre n, X une matrice colonne d’ordre n (matrice des inconnues x1, x2, . . . xn) et B une matrice colonne d’ordre n. Le système AX = B admet une solution unique si et seulement si A est inversible. Dans ce cas, la solution est X = A−1B.
2. 3. Puissances de matrices carrées Par convention A0
= I, pour toute matrice carrée A.
Voici deux méthodes rencontrées pour déterminer An pour tout n ∈ N :
⋆ On calcule à la main les premières puissances de A puis on conjecture une expression pour An. On démontre ensuite cette conjecture par récurrence. ⋆ On nous donne deux matrices P (inversible) et D (diagonale) telles que
A = P DP−1 (on dit que A est diagonalisable). Dans ce cas, une récurrence immédiate nous donne : An = P DnP−1
Remarque : Le calcul de P et D n’est pas au programme. Ces matrices seront donc données dans l’énoncé. Le logiciel Xcas permet de calculer ces matrices, si elles existent, à l’aide de la commande jordan(A).
2. 4. Suites et matrices
Les matrices permettent d’étudier des suites définies par des relations de ré-currence plus complexes que celles vues dans le tronc commun.
⋆ Soit (un) la suite de Fibonacci définie par u0 = 1, u1 = 1 et un+2 = un+1+ un, pour tout n ∈ N.
On pose pour tout entier n, Un = un un+1 . On a donc : U0 = 1 1 . En posant A = 0 1 1 1 , on peut écrire Un+1 = AUn.
⋆ Soient deux suites numériques couplées (un) et (vn) définies pour tout n ∈ N par : u0 = 2, v0 = 4 et un+1 = 2un − 3vn + 1 vn+1 = −un + 5vn − 4 En posant A = 2 −3 −1 5 , B = 1 −4 , Un = un vn , on peut écrire : Un+1 = AUn + B. 1 Suites du type U n+1 = AUn :
⋆ La relation Un = AnU0 permet, comme dans le cas des suites géomé-triques réelles, d’obtenir une définition explicite de (Un).
⋆ On est donc ramené à déterminer An (voir précédemment) et ceci permet aussi d’étudier la convergence.
2 Suites du type U
n+1 = AUn + B :
⋆ On peut écrire un algorithme pour calculer les termes successifs d’une telle suite.
U_0 reçoit ...(initialisation) Pour i allant de 1 à 10: U reçoit AU_0+B U_0 reçoit U FinPour Afficher U
⋆ Pour étudier la convergence, on introduit une suite auxiliaire (comme pour les suites arithmético-géométriques réelles). Pour cela, on détermine une matrice L telle que L = AL + B (seul candidat pour la limite) puis on pose Vn = Un− L. Ces calculs sont guidés dans les exercices !
On montre alors que Vn+1 = AVn ce qui permet de "remonter" à Un. 2. 5. Marches aléatoires
L’étude des marches aléatoires fait intervenir des graphes, des probabilités, des suites, des matrices.
☞Exemple d’une marche aléatoire à deux états :
A B
1 − p
p
q
1 − q
⋆ On définit la matrice de transition par : M =1 − p q
p 1 − q
.
C’est la matrice carrée M = (mij) dont le coefficient mij est la probabilité de transition du sommet j vers le sommet i. ("départ en colonne, arrivée en ligne").
Tous les coefficients appartiennent à [0; 1] et, pour chaque colonne, la somme des coefficients est 1.
⋆ Pour n ∈ N , on note an et bn les probabilités que le système soit respecti-vement dans l’état A et dans l’état B après n pas. On a alors an+ bn = 1. La matrice colonne Pn =
an bn
est appelée état de la marche aléatoire après n pas.
P0 est appelé état initial.
⋆ Pour n ∈ N, Pn+1 = MPn et Pn = MnP0.
⋆ On dit que la marche aléatoire converge si la suite (Pn) est convergente. ⋆ Dans ce cas, elle converge nécessairement vers un état stable P vérifiant
P = MP .
⋆ On peut déterminer l’état stable en résolvant le système P = MP d’incon-nues an, bn avec la condition an + bn = 1.
BL’existence d’un état stable n’entraîne pas nécessairement la convergence de
la marche aléatoire. Cela peut dépendre de l’état initial P0. Cependant, pour une marche aléatoire à deux états, il y a toujours convergence et cela indépendam-ment de l’état initial.
BDans la plupart des exercices, la matrice Pn est une matrice colonne. Cepen-dant, on peut aussi la définir comme une matrice ligne. Dans ce cas, la matrice de transition est la matrice M = (mij) dont le coefficient mij est la probabilité de transition du sommet i vers le sommet j. ("départ en ligne, arrivée en colonne") et l’on a Pn+1 = PnM.
3. Logique et raisonnement
Voici un récapitulatif des différents types de raisonnement que nous avons rencontrés cette année :
3. 1. Démontrer qu’une proposition est fausse On trouve un contre-exemple.
Exemple : Toute suite strictement croissante tend vers +∞. C’est faux car la suite (1 − 1
n) tend vers 1. 3. 2. Implication
A =⇒ B veut dire "A implique B" ou encore "si A alors B". On dit aussi que B est une condition nécessaire pour A : pour que A soit réalisée, il faut que B le soit aussi.
Par exemple, une condition nécessaire pour qu’il pleuve est qu’il y ait des nuages (Il pleut =⇒ il y a des nuages). Mais cette condition n’est pas suffisante (Il peut y avoir des nuages sans qu’il ne pleuve).
Pour démontrer que A implique B on peut aussi raisonner par contraposée c’est-à-dire démontrer que nonB implique nonA.
Par exemple, pour démontrer que si le produit de deux entiers naturels est impair alors ces deux entiers sont impairs, on peut démontrer que si l’un des deux entiers est pair alors leur produit est pair.
3. 3. Équivalence
A ⇐⇒ B veut dire "A est équivalent à B" ou encore "A si et seulement si B". On dit aussi que B est une condition nécessaire et suffisante pour A : pour que A soit réalisée, il faut et il suffit que B le soit.
Pour démontrer une équivalence, on peut démontrer deux implications. Par exemple, pour démontrer A ⇐⇒ B, on doit démontrer A =⇒ B et B =⇒ A.
Dans certains cas, on peut aussi raisonner par équivalence. C’est ce que l’on fait en général lorsqu’on résout des équations. (3x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −2
3). Lorsque l’on résout des équations avec des congruences, c’est plus délicat :
Exemple : Résoudre dans Z, 2x ≡ 0[3] :
Si 2x ≡ 0[3], alors il existe k ∈ Z tel que 2x = 3k. On a donc 2|3k et, d’après le théorème de Gauss, 2|k. Donc, il existe m ∈ Z tel que k = 2m. D’où 2x = 6m et x = 3m.
On a raisonné par implication et montré que si 2x ≡ 0[3] alors x ≡ 0[3]. Réciproquement, si x ≡ 0[3] alors 2x ≡ 0[3].
On peut donc écrire 2x ≡ 0[3] ⇐⇒ x ≡ 0[3].
D’une manière générale, il est conseillé d’utiliser le symbole ⇐⇒ à bon escient, c’est-à-dire de s’assurer que l’on peut bien "aller dans les deux sens" à chaque fois qu’on l’écrit.
3. 4. Unicité
Pour démontrer l’unicité d’un objet vérifiant certaines conditions, la méthode générale consiste à supposer qu’il existe un autre objet satisfaisant les mêmes conditions. On parvient à montrer que ce dernier objet est égal au précédent. Exemple : Démontrons que l’inverse d’une matrice A inversible est unique. Supposons qu’il existe B telle que AB = I. En multipliant les deux membres par A−1, on a : A−1AB = A−1I soit B = A−1.
3. 5. Double inclusion
Pour démontrer que deux ensembles E et F sont égaux, on peut raisonner par double inclusion c’est-à-dire monter que E ⊂ F puis F ⊂ E.
Pour démontrer que E ⊂ F , on prend un élément quelconque de E et on montre qu’il est dans F .
3. 6. Disjonction de cas
On utilise le raisonnement par disjonction de cas lorsqu’on dispose d’une parti-tion d’un ensemble qui permet de balayer tous les cas possibles. Ce raisonnement est souvent utilisé avec les congruences.
Par exemple, si n désigne un entier naturel, démontrer que n(n + 2)(n + 4) est divisible par 3.
3. 7. Raisonnement par récurrence
Il est utilisé pour démontrer des propriétés vérifiées par tout entier naturel n. Il faut raisonner en trois étapes (Initialisation, Hérédité, Conclusion).
Exemple : Si A = P DP−1 avec D diagonale alors An = P DnP−1, ∀n ∈ N. ⋆ Initialisation : Il s’agit ici de démontrer une égalité. Attention à la
présen-tation ! Pour n = 0, on a A0 = I et P D0 P−1 = P IP−1 = I donc A0 = P D0 P−1 (On calcule séparément les deux membres).
⋆ Hérédité : Il peut être utile d’écrire la proposition à démontrer : P(n) : An = P DnP−1.
On suppose que P(k) est vraie pour un entier k et on montre qu’alors P(k + 1) est vraie.
Ak+1 = A × Ak = P DP−1 × P DkP−1 = P DDkP−1 = P Dk+1P−1 (Bien noter où l’hypothèse de récurrence intervient).
⋆ Conclusion : D’après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
BAttention à ne pas utiliser à outrance le raisonnement par récurrence et
envi-sager parfois un raisonnement direct. 3. 8. Par l’absurde
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que la propriété à démontrer est fausse et à aboutir à une absurdité.
Voir par exemple la démonstration de l’infinitude des nombres premiers. Exemple : Démontrer que √2 est irrationnel.
On suppose que √2 = pq avec pq irréductible c’est-à-dire p et q premiers entre eux. Si √2 = pq alors 2 = p2
q2 et 2q
2
= p2. p2 est donc pair et donc p aussi (car le carré d’un impair est impair (2k + 1)2
= . . . ).
Il existe donc a ∈ N tel que p = 2a. On a alors : 2q2 = p2
= 4a2 soit q2
= 2a2. Ceci prouve que q2 est aussi pair donc q aussi. On a donc montré que p et q sont pairs. C’est absurde puisqu’on a supposé p et q premiers entre eux. Notre hypothèse de départ était donc fausse ce qui prouve que √2 est irrationnel.
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