2008-2009 TS 1/ 1 Sujet DM suites et récurrences
Devoir maison n
◦5
Exercice 1 :
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère l’ensemble (E) des suites(xn)n∈Ndéfinies surNet vérifiant la relation suivante : pour tout entier naturelnnon nul,xn+1−xn= 0,24xn−1.
1. On considère un réelλnon nul et on définit surNla suite(tn)n∈Npartn=λn.
a. Démontrer que la suite(tn)appartient à l’ensemble (E) si et seulement siλest solution de l’équation λ2−λ−0,24 = 0.
b. En déduire les suites(tn)n∈Nappartenant à l’ensemble (E).
On admet que (E) est l’ensemble des suites(un)n∈Ndéfinies surNpar une relation de la forme : un=α(1,2)n+β(−0,2)n oùαetβ sont deux réels.
2. On considère une suite(un)n∈Nde l’ensemble (E).
Déterminer les valeurs deαetβ telles queu0= 6etu1= 6,6.
En déduire que, pour tout entier natureln, un =39
7 (1,2)n+3
7(−0,2)n. 3. Déterminer lim
n→+∞un. Partie B
On considère la suite(vn)n∈Ndéfinie surNpar :
v0= 6et, pour tout entier natureln, vn+1= 1,4vn−0,05vn2
1. Soitf la fonction définie surRparf(x) = 1,4x−0,05x2. a. Étudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 8].
b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 06vn < vn+168.
2. En déduire que la suite(vn)n∈Nest convergente et déterminer sa limiteℓ.
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