SUR LES NOMBRES DE PISOT

R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire

Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieur et de la Recherche Scientifique Ecole Normale Sup´´ erieure

Kouba, Alger

M´ emoire pr´ esent´ e pour obtenir le grade de magister

Par :Ilias LAIB Sp´ecialit´e : Math´ematiques Option : Alg`ebre et th´eorie des nombres

SUR LES NOMBRES DE PISOT

Soutenu le 26/05/2016 `a 08 : 00

Devant le jury :

Mr. Djilali BENAYAT Professeur, ENS KOUBA Pr´esident Mr. Abdallah DERBAL Professeur, ENS KOUBA Examinateur Mr. Djilali BEHLOUL Professeur, USTHB Examinateur

Mr. Rachid MECHIK M.C.A, USTHB Directeur de m´emoire

Table des Mati` eres

Remerciements

R´esum´e

Notations 1

Introduction 3

1 Pr´eliminaires 5

1.1 D´efinitions et rappels . . . 5

1.1.1 Corps des fractions rationnelles . . . 7

1.1.2 Rationalit´e des s´eries formelles . . . 7

1.1.3 S´eries enti`eres . . . 10

1.1.4 Fonctions analytiques . . . 11

1.1.5 Fonctions holomorphes . . . 14

1.1.6 Pˆoles et r´esidus . . . 14

2 La r´epartition modulo 1 16 2.1 Equir´epartition . . . 16

2.1.1 Le crit`ere de Weyl . . . 17

2.1.2 Mesure de Lebesgue dans R . . . 22

2.1.3 Th´eor`eme de Koksma . . . 23

3 Les nombres de Pisot 31

3.1 L’ensemble U . . . 31

3.2 L’ensemble S . . . 38

3.2.1 Une caract´erisation des nombres de Pisot . . . 38

3.3 Annexe: Quelques nombres de Pisot inf´erieurs `a 1.6 . . . 42

4 Une autre approche des nombres de Pisot 43 4.1 D´eveloppement d’un entier naturel en base ϕ . . . 43

4.1.1 Application ϕ-additive . . . 45

4.1.2 Application ϕ-multiplicative . . . 46

4.2 Caract´erisation de certains nombres de Pisot . . . 47

Notations

1. N={0,1,2...}: d´esigne l’ensemble des nombres entiers naturels.

2. Z: d´esigne l’anneau des entiers rationnels ou relatifs.

3. Q: d´esigne le corps des nombres rationnels.

4. R: d´esigne le corps des nombres r´eels.

5. C: d´esigne le corps des nombres complexes.

6. A : d´esigne un anneau commutatif et unitaire.

7. V\Ω : d´esigne l’ensemble des ´el´ements de V que ne sont pas dans Ω.

8. D(z0, r) : d´esigne un disque ouvert, de centre z0 et de rayon r.

9. D(z0, r) : d´esigne un disque ferm´e, de centrez0 et de rayon r.

10. log : d´esigne le logarithme n´ep´erien.

11. E(x) : d´esigne la partie enti`ere de x.

12. {x}: d´esigne la partie fractionnaire de x.

13. E^′(x) : d´esigne l’entier le plus proche de x i.e.

E^′(x) =







E(x),{x}< ¹₂ E(x) + 1,{x} ≥ ¹₂.

; ainsi: E^′(1.4) = 1; E^′(1.6) = 2

1

14. kxk: d´esigne la distance du nombre r´eel x `a l’entier le plus proche i.e.

kxk =

x−E^′(x)

= min{|x−n|, n∈Z}

= min{{x},1− {x}}.

On a pour deux nombres r´eels x1, x2 et un entier n kx1 +x2k ≤ kx1k+kx2k,

knx1k ≤ |n| kx1k.

15. ´Etant donn´e un nombre r´eel x, nous pouvons ´ecrire xsous la forme:

x=E^′(x) +ε(x) avec −1

2 ≤ε(x)< 1 2. 16. Pour deux nombres entiers n etk tels que 0≤k≤n on note

Cn^k =



 n k



= n!

k! (n−k)!.

17. Si f(x) et g(x) deux fonctions d´efinies sur [x0, +∞[ et g(x)>0 pour x≥x0, alors f(x) = O (g(x)) signifie (∃M >0) tel que |f(x)| ≤M g(x) (∀x≥x0)

lim sup|f(x)|

g(x) <∞

(f(x) est un grand O de g(x)) f(x) = o (g(x)) signifie lim

x→+∞

|f(x)|

g(x) = 0 (f(x) est un petit o deg(x)) f(x) ∼ g(x) signifie lim

x→+∞

|f(x)|

g(x) = 1 (f ´equivalente `a g au V(+∞)) Ces notations seront aussi valables dans un voisinage V(x0),avec x0 6= +∞.

2

‘ jÊÓ

áÓ

éJKA JK É¿ Ég.@ áÓ àA¿ @ X@

YKXQK. ÐA ¢J KAK. é« PñÓ Aî E@

éJËAJJÓ á« Èñ® K éJ ¯A¾Ó

ÐAªË@ YmÌ'@ H@ X éJËAJJÖÏ@ ,

ÈAj.ÖÏ@

.n(b−a)

XYªÊË AJK.PA®K : éJËAJË@ HA«ñÒj.ÖÏ@ úÍ@

X@Y«@ éƒ@PX ú ¯ h.AJm ' : é«ñÒj.ÖÏ@

E =







α >1/(α, λ)∈R×R^∗,

1

YKXQK. ÐA ¢J KAK. é« PñÓ Q «

éJËAJJÖÏ@







: é«ñÒj.ÖÏ@

U⊂E .1

øðA‚ ð

@ áÓ Q ª“

@ éKA® ¯@QÓ éÊKñ£ ,øQ.g. XY«

IJk : é«ñÒj.ÖÏ@

S ⊂U

.1

áÓ AÓAÖß Q ª“

@

HA® ¯@QÓ éÊKñ£ IJk

R´ esum´ e

Une suite (uⁿ)n∈N est dite ´equir´epartie modulo 1 si pour tout couple de r´eels a < b de [0,1], la suite d’entiers de terme g´en´eral ϕ(n) = Card{k ∈ N, k < n, a ≤ {u^k} ≤b} est asymptotiquement ´equivalente `an(b−a).

On a besoin, dans l’´etude des nombres de Pisot, des ensembles suivants:

1. L’ensemble

E ={α >1/la suite (λαⁿ)n∈N non ´equir´epartie (mod1), (α, λ)∈R×R^∗}.

2. L’ensemble

U ⊂E,

o`u α est un entier alg´ebrique dont les conjugu´es sont de module inf´erieur ou ´egal `a 1.

3. L’ensemble

S⊂U,

dans lequel les conjugu´es deα sont de module strictement inf´erieur `a 1.

Mots-cl´es : Nombre de Pisot, ´equir´epartition, le th´eor`eme de Koksma, application ϕ-additive ou ϕ-multiplicative.