La déduction naturelle

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La déduction naturelle

Cours ďintroduction à la logique et à la philosophie du langage au semestre ďhiver 2005-2006

Feuilles ďaccompagnement pour le cours du 5 décembre 2005

Points à retenir du dernier cours

1. Une interprétation propositionnelle atomique attribue des valeurs de vérité aux propositions simples. Elle est la base pour une interprétation propositionnelle qui attribue des valeurs de vérité à toutes les formules du langageL.

2. Une interprétation propositionnelle correspond à une possibilité logique et à une ligne dans une table de vérité.

3. Les notions sémantiques “tautologie”,“contradiction”,“satisfaisabilité” et “conséquence séman- tique” peuvent être déﬁnies en termes ďinterprétations propositionnelles.

4. Un ensemble de propositions est satisfaisable si et seulement s’il y a une interprétation qui rend vraies toutes les propositions de cet ensemble.

5. Un calcul syntaxique (un calcul axiomatique, un calcul ďarbres ou un calcul de la déduction naturelle) est dit ‘correcť si tous ses théorèmes sont des tautologies.

6. Un tel calcul est dit ‘compleť si toute tautologie en est un théorème.

7. Prouver une propositionφpar la méthode des arbres revient à montrer que toutes les branches de ľarbre de sa négation!¬φ"se ferment.

8. La méthode des arbres nous fournit un test de consistance : elle nous permet ďétablir si oui ou non un ensemble de propositions est consistant. Si ľensemble en question est eﬀectivement consistant, elle permet également de trouver une interprétation qui rend vraies toutes les propositions de cet ensemble.

9. La méthode des arbres nous permet ďétablir si une propositionφest ou non une tautologie : elle ľest si et seulement si ľarbre de sa négation!¬φ"ne contient que des branches fermées.

10. La méthode des arbres nous permet également de tester un argument pour sa validité, en vériﬁant le caractère tautologique de ľimplication correspondante.

Les suppositions

Dans un calcul axiomatique, il faut ďabord trouver les bons axiomes, en faire des substitutions perti- nentes et ensuite appliquer les bonnes règles ďinférence dans le bon ordre ; en appliquant la méthode des arbres, on décompose successivement la formule initiale en cherchant une interprétation sous laquelle elle est vraie.

La méthode de la réduction à ľabsurde ne s’insère dans aucune de ces catégories, puisqu’elle utilise essentiellement la notion ďune ‘suppositio!’. Dans la langue naturelle, une supposition est ľénonciation ďune proposition qui manque de force assertoire. C’est ľusage des suppositions qui caractérise la méthode de la déduction naturelle.

Une réduction à ľabsurde :

1 ⊢ p→q prémisse

2 ⊢ q→ ¬p prémisse

3 p ⊢^∗ p supposition

4 p ⊢^∗ q de (1) et (3) avec (MP)

5 p ⊢^∗ ¬p de (2) et (4) avec (MP)

(2)

Une preuve conditionnelle :

1 ⊢ p→q prémisse

2 ⊢ p→(q→r) prémisse

3 ⊢ ¬r prémisse

5 p ⊢^∗ q de (1) et (4) avec (MP)

6 p ⊢^∗ q→r de (2) et (4) avec (MP)

7 p ⊢^∗ r de (5) et (6) avec (MP)

8 ⊢ p→r de (4) et (7) par (PC)

9 ⊢ ¬p de (3) et (9) par (MT)

Les règles ďintroduction et ďélimination

⊢ !φ→ ⊥"

⊢ !¬φ" ¬I ⊢ !¬¬φ"

⊢ φ ¬E

⊢ ψ

⊢ φ

⊢ !φ∧ψ" ∧I ⊢ !φ∧ψ"

⊢ φ ∧E ⊢ !φ∧ψ"

⊢ ψ ∧E

⊢ φ

⊢ !φ∨ψ" ∨I ⊢ ψ

⊢ !φ∨ψ" ∨I

⊢ !¬φ"

⊢ !φ∨ψ"

⊢ ψ ∨E

φ ⊢^∗ φ φ ⊢^∗ ψ

⊢ !φ→ψ" →I

⊢ φ

⊢ !φ→ψ"

⊢ ψ →E

⊢ !ψ→φ"

⊢ !φ→ψ"

⊢ !φ↔ψ" ↔I ⊢ !φ↔ψ"

⊢ !φ→ψ" ↔E ⊢ !φ↔ψ"

⊢ !ψ→φ" ↔E

Les règles de la déduction naturelle

La règle des suppositions

n φ ⊢^∗ φ supposition

Modus ponens (modus ponendo ponens)

m ⊢!φ→ψ"

. . .

n ⊢φ

. . .

o ⊢ψ de (m) et (n) par (MP)

(3)

Modus tollens (modus tollendo tollens)

m ⊢!φ→ψ"

.. .

n ⊢!¬ψ"

.. .

o ⊢!¬φ" de (m) et (n) par (MT)

Preuve conditionnelle

m φ ⊢^∗ φ supposition

.. .

n φ ⊢^∗ ψ

. ..

o ⊢!φ→ψ" de (m) et (n) par (PC) Introduction et élimination de la double négation

m ⊢!¬¬φ"

.. .

n ⊢φ de (m) par (DN)

m ⊢φ

.. .

n ⊢!¬¬φ" de (m) par (DN)

Réduction à ľabsurde (reductio ad absurdum)

m φ ⊢^∗ φ supposition

. ..

n φ ⊢^∗ ψ

.. .

o φ ⊢^∗ !¬ψ"

.. .

p ⊢!¬φ" de (m),(n) et (o) par (RAA)

(4)

Introduction de la conjonction

m ⊢φ

.. .

n ⊢ψ

.. .

o ⊢!φ∧ψ" de (m) et (n) par (∧I) Elimination de la conjonction

m ⊢!φ∧ψ"

.. .

n ⊢φ de (m) par (∧E)

m ⊢!φ∧ψ"

.. .

n ⊢ψ de (m) par (∧E)

Iintroduction de ľéquivalence matérielle

m ⊢!φ→ψ"

. ..

n ⊢!ψ→φ"

.. .

o ⊢!φ↔ψ" de (m) et (n) par (↔I) Elimination de ľéquivalence matérielle

m ⊢!φ↔ψ"

. ..

n ⊢!φ→ψ" de (m) par (↔E)

m ⊢!φ↔ψ"

. ..

n ⊢!ψ→φ" de (m) par (↔E)

(5)

Introduction de la disjonction

m ⊢φ

.. .

n ⊢!φ∨ψ" de (m) par (∨I)

m ⊢ψ

.. .

n ⊢!φ∨ψ" de (m) par (∨I)

Elimination de la disjonction

m ⊢!φ∨ψ"

. ..

n φ ⊢^∗ φ supposition

.. .

o φ ⊢^∗ χ

.. .

p ψ ⊢^∗ ψ supposition

.. .

q ψ ⊢^∗ χ

.. .

r ⊢χ de (m),(n),(o),(p) et (r) par (∨E)

Quelques exemples

1.

1 p∧q ⊢ p∧q prémisse

2 p∧q ⊢ p de (1) par (∧E)

3 p∧q ⊢ q de (1) par (∧E)

4 p∧q ⊢ q∧p de (2) et (3) par (∧I)

2.

2 p ⊢^∗ p (1)

3 ⊢p→p de (1) et (2) par (PC)

(6)

3.

1 p→q, q→r ⊢ p→q prémisse

2 p→q, q→r ⊢ q→r prémisse

3 p→q, q→r, p ⊢^∗ p supposition

4 p→q, q→r, p ⊢^∗ q de (1) et (3) avec (MP)

5 p→q, q→r, p ⊢^∗ r de (2) et (4) avec (MP)

6 p→q, q→r ⊢ p→r de (3) et (5) avec (PC)

4.

1 p→ ¬q ⊢ p→ ¬q prémisse

2 p→ ¬q, p∧q ⊢^∗ p∧q supposition 3 p→ ¬q, p∧q ⊢^∗ p de (2) par (∧E) 4 p→ ¬q, p∧q ⊢^∗ ¬q de (1) et (3) par (MP) 5 p→ ¬q, p∧q ⊢^∗ q de (2) par (∧E)

6 p→ ¬q ⊢ ¬(p∧q) de (2),(4) et (5) par (RAA)

5.

1 ¬(p→(p→q)) ⊢^∗ ¬(p→(p→q)) supposition 2 ¬(p→(p→q)), q ⊢^∗ q supposition 3 ¬(p→(p→q)), q, p ⊢^∗ p supposition 4 ¬(p→(p→q)), q, p, p ⊢^∗ p supposition

5 ¬(p→(p→q)), q, p ⊢^∗ p→q de (4) et (2) par (PC) 6 ¬(p→(p→q)), q ⊢^∗ p→(p→q) de (3) et (5) par (PC) 7 ¬(p→(p→q)) ⊢^∗ ¬q de (2),(1) et (6) par (RAA)

8 ⊢ ¬¬(p→(p→q)) de (1),(2) et (7) par (RAA)

9 ⊢ p→(p→q) de (8) par (DN)

6.

1 p∨q ⊢ p∨q prémisse

2 p∨q, p ⊢^∗ p supposition

3 p∨q, p ⊢^∗ q∨p de (2) par (∨I)

4 p∨q, q ⊢^∗ q supposition

5 p∨q, q ⊢^∗ q∨p de (4) par (∨I)

6 p∨q ⊢ q∨p de (1,2,3,4,5) par (∨E)

7.

1 ¬(¬p∧ ¬q) ⊢ ¬(¬p∧ ¬q) prémisse 2 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q) ⊢^∗ ¬(p∨q) supposition 3 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q), p ⊢^∗ p supposition 4 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q), p ⊢^∗ p∨q de (3) par (∨I)

5 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q) ⊢^∗ ¬p de (3),(2) et (4) par (RAA) 6 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q), q ⊢^∗ q supposition

7 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q), q ⊢^∗ p∨q de (6) par (∨I)

8 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q) ⊢^∗ ¬q de (6),(2) et (7) par (RAA) 9 ¬(¬p∧ ¬q),¬(p∨q) ⊢^∗ ¬p∧ ¬q de (5) et (8) par (∧I) 10 ¬(¬p∧ ¬q) ⊢ ¬¬(p∨q) de (2),(1) et (9) par (RAA)

11 ¬(¬p∧ ¬q) ⊢ p∨q de (10) par (DN)

(7)

Résumé des règles

1. supposition : je peux supposer toute proposition (si j’en tiens compte ensuite) 2. MP: si j’ai déjà!φ→ψ"et aussiφ, je peux écrireψ.

3. MT: si j’ai déjà!φ→ψ"et aussi!¬ψ", je peux écrire!¬φ".

4. PC: si j’ai supposéφet montré ensuiteψ, je peux écrire!φ→ψ".

5. DN: si j’ai déjà!¬¬φ", je peux écrireφ; si j’ai déjàφ, je peux écrire!¬¬φ".

6. RAA: si j’ai supposéφet montré qu’il s’ensuitψet aussi!¬ψ", je peux écrire!¬φ". 7. ∧I: si j’ai déjàφetψ, je peux écrire!φ∧ψ".

8. ∧E: si j’ai déjà!φ∧ψ", je peux écrireφet aussi écrireψ.

9. ∨I: si j’ai déjàφ, je peux écrire!φ∨ψ"; si j’ai déjàψ, je peux écrire!φ∨ψ".

10. ∨E: si j’ai montré!φ∨ψ"et queχs’ensuit deφet queχs’ensuit également deψ, je peux écrire χ.

11. ↔I: si j’ai déjà!φ→ψ"etφψ→φ", je peux écrire!φ↔ψ".

12. ↔E: si j’ai déjà!φ↔ψ", je peux écrire!φ→ψ"et aussi écrire!ψ→φ".

Une heuristique pour la déduction naturelle

Voici une heuristique pour la déduction naturelle :

1. Y a-t-il des prémisses ou des propositions déjà démontrées de la forme!φ∧ψ"? Si oui, alors :Utilisez (∧E).

2. Y a-t-il deux prémisses ou des propositions déjà démontrées de la formeφ,!φ→ψ"? Si oui, alors :Utilisez (MP).

3. Y a-t-il deux prémisses ou des propositions déjà démontrées de la forme!¬ψ",!φ→ψ"? Si oui, alors :Utilisez (MT).

4. La conclusion a-t-elle la forme!φ→ψ"?

Si oui, alors :Supposez queφ, prouvez queψet utilisez (PC).

5. La conclusion a-t-elle la forme!φ∧ψ"?

Si oui, alors :Prouvez queφ, prouvez queψet utilisez (∧I).

6. La conclusion a-t-elle la forme!¬φ"?

Si oui, alors :Supposez queφ, prouvez, sous cette supposition, queψet que!¬ψ"et utilisez (RAA).

7. La conclusion est-elle une proposition simple “p”?

Si oui, alors :Supposez “¬p”, prouvez, sous cette supposition, queψet que!¬ψ"et utilisez (RAA).

8. La conclusion a-t-elle la forme!φ∨ψ"? Si oui, alors :Il y a trois possibilités :

(i) essayez de prouverφ, (ii) essayez de prouverψou

(iii) essayez de réduire!¬(φ∨ψ)"à ľabsurde.

9. Y a-t-il des prémisses ou des propositions déjà démontrées de la forme!φ∨ψ"?

Si oui, alors :Essayez de prouver la conclusion à partir deφet à partir deψet utilisez (∨E).

10. Y a-t-il des prémisses ou des propositions déjà démontrées de la forme!¬(φ∨ψ)"?

Si oui, alors :Essayez de prouverφou de prouverψet utilisez (∨I) pour obtenir une contradiction.

11. Pour dériver une contradiction ďune prémisse de la forme!(φ→ψ)"ou!¬(φ∧ψ)", cherchez à dériver!φ→ψ"ou!φ∧ψ".

12. Pour dériver une contradiction ďune prémisse de la forme!φ→ψ", dérivezφ, appliquez (MP)