On suppose que l’on a : ( ) ( )

PanaMaths Janvier 2018

Soit : 0 ;1 f

^⎡_⎣ ^⎤_⎦

→ continue en 0.

On suppose que l’on a : ( ) ^{( )}

00

lim 2

xx

f x f x

x L

→>

− = ∈

Montrer que f est dérivable à droite en 0.

Analyse

Remarquons que l’on a, pour tout réel x de l’intervalle

] ]

^{0 ; 1 :}

( )

²

( ) ( )

²

( )

⁰

( ) ( )

⁰

( )

²

( )

⁰

( ) ( )

⁰

2 2

f x f x f x f f x f f x f f x f

x x x x x

− − − − −

= − = −

Si on suppose alors f dérivable à droite en 0 et que l’on note f^'d

( )

⁰ le nombre dérivé correspondant, on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

0 0

2 2 0 0

lim lim 2

2

2 0 0

2 lim lim

2

2 ' 0 ' 0

' 0

x x

x x

x x

x x

d d

d

f x f x f x f f x f

x x x

f x f f x f

x x

f f

f

→ →

> >

→ →

> >

− ⎛ − − ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

− −

= −

= −

=

Ainsi, l’exercice nous suggère une réciproque… et ce qui précède nous permet d’effectuer une conjecture, à savoir que l’on aurait :

( ) ( )

0 0

lim 0

x x

f x f x L

→>

− = .

A partir de

( ) ( )

0 0

lim 2

x x

f x f x

x L

→>

− = , nous allons donc essayer de nous ramener en 0 où nous

disposons d’une hypothèse forte sur f, la continuité.

Résolution

On a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

2 1

lim 0 ; , 2

2

x x

f x f x

L x f x f x xL x x

x ε

→>

− = ⇔ ∀ ∈⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ = + + avec

( )

0 0

lim 0

x x

ε x

→>

= .

PanaMaths Janvier 2018

Soit aussi :

[ ] ( )

^{0 ; 1 ,}

2 2 2 2

x x x x

x f x f ^{⎛ ⎞} L ε^{⎛ ⎞}

∀ ∈ = ⎜ ⎟⎝ ⎠+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠.

On a alors, pour tout réel x de l’intervalle

] ]

0 ; 1 et tout entier naturel n non nul (en toute rigueur, il conviendrait d’établir l’égalité par récurrence) :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

0 2 0 1 1

2 2 2

1 2 0 1 1

2 2 2 2

2

1 1 4 0 1 1 1 1

2 2 2 2 4 2 2 2

4

1 4 0 1 1 1 1

4 2 4 2 2 4 4

4

2ⁿ

f x f

f x f x

x x L

f x f

L x x

f x f

x x

L L

x

f x f

x x

x L

f x

ε

ε

ε ε

ε ε

⎛ ⎞ −

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠ + + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟ ⎛ ⎞

= ⎝ ⎠ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎞

⎜ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= ⎝ ⎠ +⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

=

⎛

=

…

( )

⁰

1 1 1 1 1 1

2 4 2ⁿ 2 2 4 4 2ⁿ 2ⁿ

f x x x

x L ε ε ε

⎜ ⎞ −⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

⎝ ⎠ +⎜⎝ + + +… ⎟⎠ +⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +… ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠

Comme lim 0

2ⁿ

n

x

→+∞ = et comme la fonction f est continue en 0, il vient : ^lim

( )

⁰

2ⁿ

n

f x f

→+∞

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

puis :

( )

⁰

2 0 0

lim 0

n n

f x f

x x

→+∞

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟ −

⎝ ⎠ = = .

Par ailleurs, on a classiquement 1 1 1 1

2+ + +4 … 2ⁿ = −1 2ⁿ et 1 1 1

lim 1

2 4 2ⁿ

n→+∞

⎛ + + + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ … ⎠ .

Enfin : 1 1 1 1 1 1

2 2 4 4 2ⁿ 2ⁿ 2 2 4 4 2ⁿ 2ⁿ

x x x x x x

ε^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠+ ε^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠+ +… ε^⎛⎜⎝ ^⎞⎟⎠≤ ε^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠ + ε^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠ + +… ε^⎛⎜⎝ ^⎞⎟⎠.

Comme

( )

0 0

lim 0

x x

ε x

→>

= on a, pour tout ε >0 et tout x suffisamment petit : ^ε

( )

^{x <ε .}

Pour tout entier naturel k, on a alors : 2^k

ε^⎛⎜⎝ x ⎞ <⎟⎠ ε et finalement :

1 1 1 1 1 1

2 2 4 4 2ⁿ 2ⁿ 2 4 2ⁿ

x x x

ε^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠ + ε^{⎛ ⎞}⎜ ⎟⎝ ⎠ + +… ε^⎛⎜⎝ ^{⎞ ⎛}⎟ ⎜⎠ ⎝≤ + + +… ^⎞⎟⎠ε ε≤

PanaMaths Janvier 2018

Soit alors ε >0 fixé.

D’après ce qui précède, on a, pour tout entier naturel n non nul :

( ) ( ) ( )

( )

0 2 0 1 1 1

2 2 2 4 4 2 2

0 1 1 1

2

2 2 2 4 4 2 2

n

n n n

n

n n n

f x f

f x f L x x x

x L x

f x f

L x x x

x

ε ε ε

ε ε ε

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟

− − = ⎝ ⎠ − +⎛⎜⎝ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ + ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎞⎟⎠

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎝ ⎠

≤ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ + ⎜⎝ ⎟⎠

…

…

Et, pour x suffisamment petit :

( ) ( )

₀

( )

⁰

2

2

n

n

f x f

f x f L

x L x ε

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟

− − ≤ ⎝ ⎠ + +

En passant à la limite (sur n), il vient finalement :

( ) ( )

⁰

f x f

x L ε

− − ≤

On en déduit finalement :

( ) ( )

0 0

lim 0 0

x x

f x f x L

→>

−

⎛ ⎞

− =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , c’est-à-dire :

( ) ( )

0 0

lim 0

x x

f x f x L

→>

− = .

La fonction f est bien dérivable à droite en 0 et on a :

( ) ( ) ( )

0 0

'_d 0 lim 2

x x

f x f x

f L

→ x

>

= = − .

Résultat final

Si f est une fonction définie sur

[ ]

^{0 ; 1} , continue en 0 et vérifiant

( ) ( )

0 0

lim 2

x x

f x f x

x L

→>

− = ∈

alors f est dérivable à droite en 0 et f ^'d

( )

⁰ =L.