On suppose qu’on a||ei

MPSI 2 Semaine 29

Exercice 1 Endomorphismes et orthogonalité

Dans la suiteE un espace euclidien. On note(|)son produit scalaire.

1. L’application(x, y, z)7→

1

3(x−2y−2z),1

3(−2x+y+ 2z),1

3(−2x−2y+z)

est-elle une isomé- trie de R³?

2. On suppose dans cette questionE de dimension 3. Soit (e1, e2, e3)une base orthonormée de E et ula réflexion par rapport au planV ect(e1+ 2e2+e3, e3). Donner la matrice deudans(e1, e2, e3).

3. Soit(e₁,· · ·, e_n)une famille de vecteurs de E. On suppose qu’on a||e_i||= 1pour tout1≤i≤n et ∀x∈E,||x||²=Pn

i=1(x|ei)². Montrer que(e1,· · ·, en)est une base orthonormée deE.

4. Soitf etg deux applications deE dansE.

(a) On suppose∀(x, y)∈E²,(f(x)|y) = (x|g(y)). Montrer que f et g sont linéaires.

(b) On suppose∀(x, y)∈E²,(f(x)|f(y)) = (x|y). Montrer quef appartient àO(E).

5. On suppose E de dimension au moins 2. Soitxet y dansE tels que (x|y) =||y||. Montrer qu’il existe un hyperplanH tel quey=pH(x). Cet hyperplan est-il unique ?

Exercice 2 Isométries du plan

Dans la suiteE est un plan euclidien orienté et B= (i, j)en est une base orthonormée directe.

1. Soituetv donnés paru= 3i+j etv=√

2i+αj, avecα∈R^∗₊.

(a) Comment faut-il choisirαpour qu’il existe une rotationrtelle quer(u) =v. Déterminer alors la matrice derdansB et l’angle der.

(b) Soitw=−i+3j. Montrer qu’il existe une unique symétrie orthogonalestelle quew=s◦r(u).

Déterminer la matrice desdansB.

2. Déterminer les basesB⁰ telles queudonné parM atB⁰(u) =

2 −1 3 −1

soit une rotation.

Exercice 3 Isométries de l’espace

Dans la suiteE est euclidien de dimension 3 orienté et (i, j, k)en est une base orthonormée directe.

1. Former la matrice de la rotation d’axe orienté pari+j+k et d’angleπ/4. Idem pour la réflexion envoyant i+j+ 4k sur 3i+ 3j. Idem pour la rotation fixant i−j+k et envoyant i sur k. On précisera l’angle de la rotation.

2. A quelle condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c)a-t-on





a b c b c a c a b



∈SO(3,R)? 3. Que dire de deux rotations qui ne sont ni l’identité, ni un demi-tour et qui commutent ?

4. Soit u∈ L(E). Montrer ∀(x, y, z) ∈E³, [u(x), y, z] + [x, u(y), z] + [x, y, u(z)] = tr(u)[x, y, z]. En déduire qu’il existe v dans L(E)tel que∀(x, y)∈E²,u(x)∧y+x∧u(y) =v(u∧y) et exprimer la matrice dev dansB en fonction de celle deu.

Exercice 4 Équation d’une conique

1. Montrer que l’équation cartésienne (dans un repère orthonormé) d’une conique est du type (x− a)²+(y−b)²= (αx+βy+γ)²si et seulement si elle admet(a;b)comme foyer et la droite d’équation αx+βy+γ= 0.

2. Interpréter ce résultat en donnant la nature de la conique en fonction de la quantité α²+β². 3. Que se passe-t-il si on accepte la valeur 0 pourα²+β²?

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Exercice 5 Coniques

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la conique d’équation :x²+xy+y²−4x−

5y+ 2 = 0.

2. Montrer que la courbe d’équations paramétriques(x, y) = (at²+bt+c, a⁰t²+b⁰t+c⁰), avec(a, b) non colinéaire à(a⁰, b⁰), est une parabole. Quelle est sa direction asymptotique ?

3. Montrer que la courbe d’équation paramétrique(ax+by+c)(a⁰x+b⁰y+c⁰) =k, avec (a, b)non colinéaire à(a⁰, b⁰)et kréel non nul, est une hyperbole. Quelles sont ses asymptotes ?

4. Montrer que la courbe d’équations paramétriques x= at²+bt+c

a”t²+b”t+c”, y= a⁰t²+b⁰t+c⁰ a”t²+b”t+c”

avec(a, b, c),(a⁰, b⁰, c⁰)et (a”, b”, c”) non coplanaires, est une conique.

5. SoitΓune parabole et M un de ses points. On trace la tangente et la normale àΓen M. Ces deux droites coupent l’axe focal en respectivement T et N.

(a) Montrer que le triangle(N M P)est rectangle.

(b) Soit P le point tel que(N M T P)forme un rectangle. Déterminer le lieu de P lorsque M décrit Γ.

6. Soitpun réel strictement positif etΓ la parabole d’équationy²= 2px. Soient A et B deux points de P tels que les tangentes àΓen A et B soient orthogonales. Quel est le lieu du centre de gravité du triangle (OAB)?

7. SoitΓune hyperbole et M un de ses points. On note H et K les projetés orthogonaux de M sur les deux asymptotes deΓ. CalculerM H·M K.

8. Déterminer la courbe orthoptique (i.e. le lieu des points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales)

(a) d’une hyperbole.

(b) d’une ellipse.

Exercice 6 À propos des antennes paraboliques (*) Soit Γ une parabole d’équation polairer = p

1 + cos(θ). On note~uθ et~vθ les vecteurs unitaires dirigés parθetθ+^π₂ respectivement.

1. En prenant θ comme paramètre, montrer que r˙ = r(1−cos(θ))

sin(θ) (r˙ désigne la dérivée de r par rapport àθ).

2. En prenant θ comme paramètre dans l’expression des coordonnées cartésiennes d’un pointM de Γ, montrer que la tangente en M est dirigée par le vecteur r~vθ+ ˙r~uθ ou encore par le vecteur (1−cos(θ))~uθ+ sin(θ)~vθ et que la normale est dirigée par ~n =−sin(θ)~uθ+ (1−cos(θ))~vθ. (On précisera les cas d’exception.)

3. Calculer~n.~uθ et~n.~ı.

4. En déduire la propriété des antennes, miroir et lampes paraboliques : tout rayon parallèle à la direction asymptotique se réfléchit sur la parabole en un rayon passant par le foyer.

5. En déduire également que la tangente enM est bissectrice de(M F)et(M H)(oùH est le projeté deM sur la directrice).

6. En déduire que le symétrique du foyer par rapport à la tangente enM appartient à la directrice et que le triangle (F M P)est droit, oùP est le point d’intersection de la tangente enM et de la directrice.

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