Cibles rétrécissantes de rayon $n^{-\frac{1}{d}}$ : propriété du logarithme

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Cibles rétrécissantes de rayon n

⁻¹^d

: propriété du logarithme

Benjamin Mussat

To cite this version:

Benjamin Mussat. Cibles rétrécissantes de rayonn⁻¹^d: propriété du logarithme. 2010. �hal-00574970�

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Cibles r´etr´ecissantes de rayon n

⁻¹^d

: propri´et´e du logarithme

Benjamin Mussat 23 mars 2011

R´esum´e

On dit qu’une translation sur le tore de dimensiondpossède la propriété du logarithme si la propriété des cibles rétrécissantes est vérifiée dans le cas des boules de rayon n⁻d¹. En dimension 1, toute rotation irrationnelle possède la propriété du logarithme. En dimension supérieure, nous donnons des critères permettant de déterminer si cette propriété est vérifiée ou non.

Ces crit`eres reposent sur une notion de type diophantien diff´erente de la notion standard.

A l’aide d’une construction en dimension 2 de vecteurs dont nous con- trôlons les types diophantiens, nous obtenons des contre-exemples à la pro- priété du logarithme pour lesquels les vecteurs de translation sont diophantiens d’exposants arbitrairement petits et des exemples possédant la pro- priété du logarithme pour lesquels les vecteurs sont Liouville.

1 Introduction

Soit(M,B, µ, T)un système dynamique ergodique probabilisé inversible, où M est un espace compact métrique etBl’ensemble de ses boréliens.

1.1 Cibles r´etr´ecisssantes

On suit les d´efinitions de [7].

Définition 1.1. Une suite d’ensembles mesurablesA = (An)n∈Nest appelée une suite de Borel-Cantelli (BC) pour T si, pour presque tout x dans M, pour une infinité den,Tⁿ(x)appartient àAnautrement dit si

−n

(3)

D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, il est n´ecessaire que Xµ(An) =∞.

Lemme 1.1. Une suite(An)_n∈Nd´ecroissante est une suite de Borel-Cantelli si µ(lim sup

n→∞

T⁻ⁿAn)>0.

On noteB = lim sup(T⁻ⁿAn). La suite(An)n∈N est décroissante, donc quel que soit nentier positif on aT⁻⁽ⁿ⁺¹⁾An+1 ⊂ T⁻¹T⁻ⁿAn, d’oùB ⊂ T⁻¹B. Les T⁻ⁱ(T⁻¹B\B)sont deux à deux disjoints et de même mesure, d’oùµ(T⁻¹B \ B) = 0. L’ensembleB est invariant parT à un ensemble de mesure nulle près.

Le système étant supposé ergodique,B est de mesure nulle ou égale à un.

On dit que le système(M,B, µ, T)a la propriété des cibles rétrécissantes si pour tout x₀ ∈ M, toute suite de boules de centrex₀ dont la série des mesures diverge est BC pour T et qu’il a la propriété des cibles rétrécissantes monotone si pour toutx0 ∈ M, toute suite décroissante de boules de centrex0 dont la série des mesures diverge est BC pourT.

1.2 Translation sur le toreT^d

On s’intéressera dans toute la suite au système ergodique(T^d, µ, Tθ), où T^d est le tore de dimensiond(d ≥1),µest la mesure de Lebesgue etTθest la translation par un vecteurθ dont les coordonnées sont rationnellement indépendantes modulo un. Un théorème prouvé par Kurzweil en 1955 ([16]) et redécouvert par Fayad ([7]) donne d’une part qu’aucune translation n’a la propriété des cibles rétrécissantes et d’autre part qu’elle possède la propriété des cibles rétrécissantes monotone si et seulement si son vecteur est de type constant.

Il est naturel de considérer le cas limite des boules de rayonn⁻¹^d, puisque nous nous intéressons à des cibles dont la série des mesures diverge. S’agissant d’une translation, le choix desx₀ est indifférent, on se restreint à des boules de centre0.

Définition 1.2. On dit qu’une translationTθpossède la propriété du logarithme si la suite(B(x0, n⁻¹^d))n∈N^∗ est de Borel-Cantelli pourTθ.

Nous utilisons dans la suite la distance sur le tore d´efinie ci-dessous, le lec- teur se convaincra facilement que nos r´esultats restent vrais pour les distances

´equivalentes.

Un problème lié est celui de “la loi du logarithme”. On en donne une définition et on explicite ses liens avec la la propriété du logarithme dans la partie 1.5. Un article de Galatolo et Peterlongo ([9]) revient sur les liens entre la loi du logarithme

(4)

et les diff´erents probl`emes des temps d’approche d’un pointx₀par les orbites d’un autre point.

.

1.3 Notations et d´efinitions

Pourxréel, on notera par[x]la partie entière dex. Pourx= (x1, ..., xd)∈R^d, on note|x|= max_i=1..d|xi|. La notationk.ksera utilisé pour la distance à l’entier le plus proche dans R ou au point deZ^d le plus proche dansR^d (pour la norme

|.|). On utilisera la distance donn´ee parkx−ykentre deux pointsxet ydu tore T^d.

Dans toute la suite, on considère θ = (θ1, ..., θd) un vecteur de R^d à coor- données rationnellement indépendantes modulo un. On utilise deux approximations deθ, d’une part l’approximation linéaire, où pour∆ = (s1, ..., sd)∈Z^d, on considère

kh∆, θik= inf

p∈Z|s1θ₁ +...+sdθd−p|;

et d’autre part l’approximation simultanée, où pourq∈Z, on considère kqθk= max

1≤i≤d inf

p∈Z|qθi−p|.

Evidemment en dimension1, les deux approximations sont confondues.

On dit qu’un vecteur ∆ de Z^d, non nul, est une meilleure approximation lin´eaire deθ ∈R^dsi pour tout∆^′ ∈Z^dv´erifiant0<|∆^′|<|∆|, on a

kh∆, θik<kh∆^′, θik.

Notons quekh∆, θik=kh∆^′, θikimplique∆ =±∆^′, il existe donc une suite (∆n)_n∈N, rangée par normes strictement croissantes, composée, au signe près, de toutes les meilleures approximation linéaires. On l’appelle suite des meilleures approximations linéaires.

On dit qu’un entierq, strictement positif, est une meilleure approximation si- multan´ee deθ ∈R^dsi que quel que soitq^′entier tel que0< q^′ < q, on a

kqθk<kq^′θk.

On appelle suite des meilleures approximations simultanées la suite strictement croissante, notée (qn)n∈N, qui est composée de toutes les meilleures approximations simultanées.

On utilisera ´egalement les notations suivantes : pourhr´eel non nul

(5)

et

εl(h) = min

x∈Z^d,|x|≤|h|khx, θik.

La suite des meilleures approximations simultanées deθvérifie l’inégalité suivante

1

2q_n+1⁻¹ <(qn+q_n+1)⁻¹ ≤ ||qnθ|| ≤q_n+1⁻^d¹ . (1) Ce lemme est bien connu en dimension1 et provient des propriétés du dévelop- pement en fractions continues. En dimension supérieure, l’inégalité de droite se montre avec le principe de Dirichlet. Une démonstration de l’inégalité de gauche est donnée dans [2].

1.3.1 Notions habituelles d’approximation diophantienne en dimensiond.

Soitτ un r´eel positif ou nul.

On rappelle queθ est diophantien de typeτ pour l’approximation simultan´ee si

infq6=0q^1+τ^d kqθk>0, c’est-`a-dire avec nos notations siinfq6=0q^1+τ^d εs(q)>0.

On rappelle queθest diophantien de typeτ pour l’approximation lin´eaire si

|∆|6=0inf |∆|^d(1+τ)kh∆, θik>0,

c’est-`a-dire siinfh6=0h^d(1+τ)εl(h)>0.

On noteΩ^d_s(τ)(respectivementΩ^d_l(τ)) l’ensemble des vecteurs diophantiens de typeτ pour l’approximation simultan´ee (respectivement pour l’approximation lin´eaire).

Les deux types d’approximations sont liés par le théorème de transfert de Khintchine ([13], voir [4] et [17] en dimension2).

Th´eor`eme. [Khintchine] Pour toutτ ≥0, Ω^d_s

τ (d−1)τ+d

⊂Ω^d_l(τ)⊂Ω^d_s(dτ).

En particulier, on a Ω^d_l(0) = Ω^d_s(0). On appelle vecteurs de type constant les vecteurs de type 0. Cette notion concerne donc les mêmes vecteurs pour les approximations linéaires et simultanées.

(6)

1.3.2 Une autre notion de type diophantien

Nous nous intéressons à une notion différente introduite par Jarnik dans [12].

On pourra voir aussi un article de Khintchine ([15]). Laurent [17] reprend cette notion en vue d’un résultat qui précise le théorème de transfert de Khintchine.

D´efinition 1.3. Soitτ ≥0.

On noteΘ^d_l(τ)l’ensemble des vecteursθdeR^dtels que lim sup

h→+∞

h^d(1+τ)εl(h)>0, etΘ^d_s(τ)l’ensemble des vecteursθdeR^dtel que

lim sup

q→+∞

q¹⁺^d^τεs(q)>0.

Autrement ditθappartient àΘ^d_l(τ)s’il existe une constanteCtel que pour une infinité d’entiersn, pour tout ∆deZ^d, vérifiant 0< |∆| ≤n, on aitkh∆, θik ≥ Cn^−(1+τ)d.De même, θ appartient à Θ^d_s(τ) s’il existe une constanteC telle que pour une infinité d’entiers strictement positifs n, pour tout tout entier q avec <

q ≤n, on aitkqθk ≥Cn⁻⁽¹⁺^d^τ⁾.

On a bien sûr, Ω^d_s(τ) ⊂ Θ^d_s(τ) et Ω^d_l(τ) ⊂ Θ^d_l(τ). Pour mieux pointer la différence entre ces définitions et les notions habituelles d’approximation diophantienne, réécrivons-les à l’aide des meilleures approximations. Si on aqn ≤ q < q_n+1, alorsεs(q) = kqnθk. D’oùθ ∈Θ^d_s(τ)si et seulement si

lim sup

n→+∞

q¹⁺

τ d

n+1kqnθk>0, tandis queθ ∈Ω^d_s(τ)si et seulement si

lim inf

n→+∞q¹⁺

τ

nd kqnθk>0.

La différence est la même pour les approximations linéaires.

1.3.3 Le casΘ^d_s(0).

D’après l’inégalité (1), tout vecteur deR^dà coordonnées rationnellement indé- pendantes modulo un appartient à Θ^d_s(d−1). Le cas de la dimension 1 est donc particulier puisque toutθirrationnel appartient àΘ¹_s(0).

En dimensiond > 1, on montrera que ce n’est plus vrai (voir par exemple la partie 4). Toutefois Chevallier a montr´e dans [5] que pour presque toutθ, on a

lim supqn+1||qnθ||^d>0.

(7)

1.4 R´esultats

Ces notions diophantiennes moins usuelles vont nous permettre de donner une quasi-caractérisation des vecteursθpour lesquels la translationTθ a ou n’a pas la propriété du logarithme.

Théorème 1. (i) Siθ appartient àΘ^d_s(0) alors la translationTθ possède la pro- priété du logarithme.

(ii) S’il existeτ >0tel queθn’appartienne pas àΘ^d_s(τ)alorsTθne possède pas la propriété du logarithme.

On a l’analogue pour l’approximation lin´eaire.

Théorème 2. (i) Siθ appartient àΘ^d_l(0) alors la translationTθ possède la pro- priété du logarithme.

(ii) S’il existeτ >0tel queθn’appartienne pas àΘ^d_l(τ)alorsTθne possède pas la propriété du logarithme.

Dans la partie 2, nous démontrons le théorème 1 (i) et le théorème 2 (ii). Pour finir de montrer les théorèmes 1 et 2 nous allons démontrer dans la partie 3 une variante adaptée à notre situation d’un théorème de transfert dû à Jarnik ([12]) : Théorème 3. Pour toutτ ≥0,

Θ^d_s

τ (d−1)τ +d

⊂Θ^d_l(τ)⊂Θ^d_s(dτ).

En effet, cela impliqueΘ^d_s(0) = Θ^d_s(0)et donc que les énoncés(i)des théorèmes 1 et 2 sont équivalents. D’après l’inclusion de droite la condition(ii)du théorème 1 implique la condition(ii)du théorème 2.

En dimension1, les parties(i)des théorèmes 1 et 2 montrent en particulier que toute translation irrationnelle possède la propriété du logarithme. En dimension supérieure, d’après le résultat de Chevallier cité dans la partie 1.3.3, nous obtenons que pour presque toutθla translationTθpossède la propriété du logarithme.

Dans la dernière partie, pour d = 2, nous construirons des vecteurs dont nous contrôlons les approximations diophantiennes. Cela permet de montrer le théorème suivant :

Théorème 4. (i) Il existe des vecteursθdans l’intersection de tous lesΩ²_s(τ)pour τ strictement positif, pour lesquelsTθ ne possède pas la propriété du logarithme.

(ii) Il existe des vecteursθpour lesquelsTθpossède la propriété du logarithme et qui n’appartiennent à aucunΩ²_s(τ).

D’après le théorème de transfert de Khintchine (1.3.1), on a les mêmes énoncés pour lesΩ²_l(τ).

(8)

1.5 Propri´et´e du logarithme et loi du logarithme

Nous donnons le lien entre la propriété du logarithme et la loi du logarithme et nous en déduisons des résultats. On suit la définition générale de [9] et on l’applique aux translations sur le tore de dimensiond.

D´efinition 1.4. On dit que la translationTθ v´erifie la loi du logarithme si pour presque toutx,

lim sup

n→∞

−logkT_θⁿ(x)k logn = 1

d.

Lemme 1.2. La propri´et´e du logarithme implique la loi du logarithme.

Remarquons que si la suite(B(0, n⁻¹^d))n∈N^∗ est de Borel-Cantelli, alors pour presque toutxil existe alors une infinit´e dentels quekT_θⁿ(x)k< n⁻¹^d, d’o`u

lim sup

n→∞

−logkT_θⁿ(x)k logn ≥ 1

d. Inversement, étant donné un réelδstrictement positif, si

lim sup

n→∞

−logkT_θⁿ(x)k logn > 1

δ,

on a, de la mˆeme mani`ere, que la suite (B(0, n⁻¹^δ))n∈N^∗ est de Borel-Cantelli.

Alors la somme des mesures des boules est nécessairement infinie, et δ ne peut être strictement inférieur àd. On a donc toujours

lim sup

n→∞

−logkT_θⁿ(x)k logn ≤ 1

d.

L’article de Galatolo et Peterlongo ([9]) donne, dans le cas des translations sur le tore de dimension2, des contre-exemples `a la loi du logarithme, qui sont donc

également des contre-exemples à la propriété du logarithme.

Remarque

Les théorèmes 1 et 2 restent vrais si on remplace “propriété du logarithme” par

“loi du logarithme”. Pour les parties(i), cela résulte du lemme. Nous prouverons que c’est également vrai pour la partie(ii)du théorème 2 (corollaire 2.6) et donc aussi pour la partie(ii)du théorème 1 par le théorème de transfert.

(9)

2 Crit`eres sur θ pour que T

_θ

possède ou non la pro- priété du logarithme

2.1 Démonstration du théorème1(i)

Soitθ ∈ Θ^d_s(0)et(qn)n∈Nla suite des meilleures approximations simultan´ees deθ, il existe doncC >0, tel que l’on ait pour une infinit´e den,

q

1 d

n+1kqnθk ≥C.

Soitq ∈N. On choisit unntel queq_n+1 ≥qetq_n+1¹^d kqnθk ≥C et on note U =

q+q[n+1−1 l=q

T_θ^−lB(0, 1 l¹^d).

Les rayons de cesqn+1boules sont supérieurs à(2qn+1)⁻¹^d. Lesqn+1 pointsT_θ^−j0, avec q ≤ j ≤ q+q_n+1−1sont à distance les uns des autres d’au moinskqnθk etkqnθk ≥Cq⁻

1 d

n+1. DoncU contientqn+1 boules disjointes de rayonscq⁻

1 d

n+1, avec c= min

C

2,(¹₂)¹^d . Il en r´esulte

µ(U)≥qn+1

2^dc^d

q_n+1 ≥2^dc^d. On a donc, quel que soitqentier,µ

∪l≥qT_θ^−lB(0, ¹

l¹^d)

≥2^dc^d>0,d’o`u µ

lim supT_θ^−lB(0, 1 l¹^d)

>0.

D’apr`es le lemme 1.1, la suite de boules est de Borel-Cantelli.

2.2 Un critère pour queTθ ne possède pas la propriété du loga- rithme

Nous donnons une condition suffisante pour ne pas posséder la propriété du logarithme. L’idée de la démonstration est que lorsque les approximations linéaires sont suffisamment bonnes, les éléments de l’orbite vont être assez proches d’un hyperplan pour que la mesure occupée par l’union des boules soit petite. Nous en déduirons le théorème2(ii)

(10)

Théorème 5. S’il existe une suite de vecteurs à coefficients entiers, de normes strictement croissantes,(Xn)_n∈Ntelle que

X|X_n+1|^d⁺¹^d khXn, θik^d⁺¹¹ <∞, (2)

alors la translationTθ ne possède pas la propriété du logarithme.

Supposons la condition (2) v´erifi´ee. Notonsεn=khXn, θiketBn =B(0, n⁻^d¹).

Nous devons montrer queµ lim supT_θ⁻ⁿBn

= 0. Pour cela, il suffit de montrer qu’il existe une suite de r´eels strictements positifs (Ln)n>0 tendant vers l’infini telle que

X

n

µ



 [

Ln≤l<Ln+1

T_θ^−lBl



<+∞. (3)

Etant donn´ee une suite(Ln)de r´eels strictements positifs, soitUn =S

Ln≤l<Ln+1T_θ^−lBl. Soientxun point deUnetkun entier avecLn ≤k < L_n+1, tel quex ∈T_θ^−kBk, c’est-`a-direkx+kθk ≤L⁻

1

nd. On a alors

khXn, xik ≤ kkhXn, θik+khXn, x+kθik,

≤ L_n+1εn+dkx+kθk |Xn|,

≤ L_n+1εn+dL⁻

1

nd|Xn|.

L’applicationXñdeT^d dansTqui envoiex surhXn, xi mod 1est un mor- phisme surjectif de groupes compacts. L’image deµparXñest donc la mesure de Lebesgue surTet il résulte de l’inégalité précédente que

µ(Un)≤2

L_n+1εn+dL⁻

1

nd|Xn| .

Il nous suffit donc de construire une suite(Ln)n∈Ntendant vers l’infini telle que X

n

Ln+1εn+|Xn|L⁻n¹^d

<∞. (4)

On poseLn =|Xn|^d⁺¹^d ε⁻

d d+1

n−1 . Cette suite tend bien vers l’infini et Lnεn−1 =|Xn|L⁻n¹^d =|Xn|^d⁺¹^d ε

1 d+1

n−1.

D’où l’hypothèse (2) entraˆıne (4), ce qui conclut la démonstration du théorème 5.

(11)

2.3 Démonstration du théorème2(ii)

Nous donnons des conditions équivalentes à la condition (2) du théorème 5.

Lemme 2.1. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe(Xn)n∈N, une suite de vecteurs non nuls `a coefficients entiers de normes strictement croissantes, telle queP

|Xn+1|^d+1^d khXn, θik^d+1¹ <∞.

(ii) Il existe une sous-suite(∆_φ(n))_n∈N de la suite des meilleures approxima- tions lin´eaires telle queP

|∆φ(n+1)|^d+1^d kh∆φ(n), θik^d+1¹ <∞.

(iii)P

(2^ndεl(2ⁿ))^d⁺¹¹ <∞.

(iv)P

k∈N^∗k⁻¹(k^dεl(k))^d⁺¹¹ <∞.

Montrons d’abord qu’on déduit le théorème 2 (ii) du lemme 2.1. Supposons qu’il existeτ strictement positif tel queθ n’appartienne pas àΘ^d_l(τ). Alors pour toutkassez grand,εl(k)< k^−d(1+τ). On a donc

k⁻¹(k^dεl(k))^d+1¹ ≤k⁻¹⁻^d+1^dτ .

La propriété (iv) est vérifiée puisque τ est strictement positif. D’après le lemme, l’hypothèse du théorème 5 est également vérifiée et donc Tθ ne possède pas la propriété du logarithme.

D´emonstration du lemme 2.1

Nous montrons tout d’abord que(i)implique(ii). Soit(Xn)n∈N une suite de vecteurs vérifiant la condition(i). On considère la suite(∆n)n∈N des meilleures approximations linéaires. On définit la suite d’entiers(φ(n))_n∈Npar la relation

|∆φ(n)| ≤ |Xn|<|∆φ(n)+1|.

D’après la définition des meilleures approximations linéaires, on a pour tout n, kh∆_φ(n), θik ≤ khXn, θik. D’où

X |∆φ(n+1)|^dkh∆φ(n), θikd+1¹ <X

|Xn+1|^dkhXn, θikd+1¹ <+∞.

La suite(φ(n))n∈Nn’est pas nécessairement strictement croissante, mais on se ramène sans difficulté à ce cas.

Nous montrons maintenant que(ii)implique(iii). Soit(∆φ(n))une sous-suite des meilleures approximations linéaires vérifiant la condition (ii). Pour k ≥ 0, notons hk = |∆φ(k)|. Pour tout entier n tel que hk ≤ 2ⁿ < h_k+1,on a εl(2ⁿ) ≤ kh∆_φ(k), θik,d’où

(12)

X

hk≤2ⁿ<h_k+1

(2^ndεl(2ⁿ))^d⁺¹¹ ≤ kh∆_φ(k), θik^d⁺¹¹ X

hk≤2ⁿ<h_k+1

(2^nd)^d⁺¹¹

≤ kh∆φ(k), θik^d+1¹ (2hk+1)^d+1^d 2^d+1^d −1 . Donc,

X

n≥n0

2^ndεl(2ⁿ)_d+1¹

≤cX

k≥0

h

d d+1

k+1kh∆φ(k), θik^d⁺¹¹ ,

o`un₀ est un entier v´erifiant2ⁿ⁰ ≥h₀etcest une constante strictement positive.

Maintenant, pour déduire la propriété(i)de la propriété (iii), il suffit de re- marquer qu’àεl(2ⁿ)correspond un suite de droites(Xn), avec|Xn| ≤2ⁿ, vérifiant

khXn, θik= min

|X|≤2ⁿkhX, θik=εl(2ⁿ).

On a alors

|Xn+1|^d⁺¹^d khXn, θik^d⁺¹¹ ≤2⁽ⁿ⁺¹⁾^d⁺¹^d εl(2ⁿ)^d⁺¹¹ = 2^d⁺¹^d 2^ndεl(2ⁿ)d+1¹ . On se ram`ene ensuite `a une suite dont les normes sont strictement croissantes.

Nous finissons en montrant que les propriétés(iii) et(iv) sont équivalentes.

Remarquons que pourn donné si on a2ⁿ ≤ k < 2ⁿ⁺¹, d’après les propriétés de meilleures approximations,εl(2ⁿ⁺¹)≤εl(k)≤εl(2ⁿ)et donc

1

2ⁿ⁺¹(2^ndεl(2ⁿ⁺¹))^d⁺¹¹ ≤ 1

k(k^dεl(k))^d⁺¹¹ ≤ 1

2ⁿ(2^(n+1)dεl(2ⁿ))^d⁺¹¹ . En sommant ces in´egalit´es pourkcompris entre2ⁿet2ⁿ⁺¹

1

2(2^ndεl(2ⁿ⁺¹))^d+1¹ ≤ X

2ⁿ≤k<2ⁿ⁺¹

1

k(k^dεl(k))^d+1¹ ≤(2^(n+1)dεl(2ⁿ))^d+1¹ . Puis on somme sur les entiersn≥0,

2⁻⁽¹⁺^d⁺¹^d ⁾X

n≥1

(2^ndεl(2ⁿ))^d⁺¹¹ ≤X

k≥1

1

k(k^dεl(k))^d⁺¹¹ ≤2^d⁺¹^d X

n≥0

(2^ndεl(2ⁿ))^d⁺¹¹ .

(13)

2.4 Un premier contre-exemple

Donnons maintenant un premier contre-exemple à la propriété du logarithme.

Cet exemple s’inspire de l’idée d’alterner les meilleurs approximations des co- ordonnées de l’angle θ. Cette idée a été utilisée par Yoccoz pour démontrer que la propriété de Denjoy-Koksma n’était plus vraie en dimension supérieure à 1 ([18]). On la retrouve par exemple dans [8] pour montrer que l’on peut construire des flots spéciaux au-dessus de rotations sur le tore de dimension 2 qui ne soient pas mélangeants, dans la construction de contre-exemples à la loi du logarithme par Galatolo et Peterlongo ([9]) ou dans le contre-exemples que donne Chevallier ([6]) d’un point dont la trajectoire est “mal répartie”.

Pour d > 1, soit θ = (θ1, ..., θd). Pour n ∈ N et pour 1 ≤ i ≤ d, on note (qi,n)la suite des d´enominateurs de la fraction continue deθi et on poseXdn+i = (0, ..., qi,n, ..,0). On a alors en particulier

khXdn+i, θik ≤ 1 qi,n+1

.

D’après le théorème 5, la translationTθ n’a pas la propriété du logarithme si ces suites vérifient

X

n



 q_1,n^d qd,n

!_d+1¹

+ q_2,n^d q1,n+1

!_d+1¹

+...+ q^d_d,n qd−1,n+1

!_d+1¹ 

<∞.

Cette condition est r´ealis´ee s’il existe une constantec > 1pournassez grand, tel que

q_1,n^d qd,n

!d+1¹

≤n^−c et pour2< i≤d,

q^d_i,n qi−1,n+1

!_d₊₁¹

≤n^−c. On en d´eduit la proposition suivante

Proposition 2.2. Soitd >1. Soitθ = (θ1, ..., θd)et soit pour1≤ i≤ d, la suite (qi,n) des d´enominateurs des fractions continues deθi. S’il existe δ > d+ 1 tel que pour toutnassez grand,

qd,n ≥q_1,n^d n^δ etqi−1,n+1 ≥q_i,n^d n^δ pour2< i≤d, alorsTθne possède pas la propriété du logarithme.

(14)

Il est aisé de construire des vecteurs θi vérifiant les relations de la proposition 2.2, en construisant par récurrence, simultanément, les développements en fractions continues desθi.

En dimension 2, on montre (voir [8] chapitre 7) que quel que soitε, il existe des vecteursθ ∈ Ω²_s(1 +ε)v´erifiant ces conditions. Par contre, on peut montrer (voir [2]) que de telsθne peuvent avoir des types diophantiens plus petits.

2.5 Extensions du crit`ere `a des boules de rayonn⁻^δ¹

Nous élargissons dans cette section le cadre du problème. Remarquons que dans la démonstration du théorème 5 le fait que les rayons des boules soient égaux

àn⁻¹^d ne joue pas un rôle important. Soit(Xn)une suite de vecteurs à coefficients entiers. On considère les boulesB(0, rn), avecrndécroissant et une suite(Ln)de réels strictement positifs tendant vers l’infini. Comme dans la démonstration du théorème 5, on noteεn =khXn, θiket on définitUn =S

Ln≤l<Ln+1T_θ^−lB(0, rl).

On obtient de la même manière que si un point du torexappartient àUn, alors khXn, xik ≤Ln+1εn+drLn|Xn|.

D’o`u

µ(Un)≤2(Ln+1εn+drLn|Xn|).

En particulier, lorsquern =n⁻¹^δ, en posant, Ln =|Xn|^δ⁺¹^δ ε⁻

δ δ+1

n−1 , et comme pour le th´eor`eme 5, on obtient

Proposition 2.3. Soitδ >0. S’il existe une suite de vecteurs `a coefficients entiers, de normes croissantes,(Xn)n∈Ntelle que

X|Xn+1|^δ⁺¹^δ ε

1

nδ+1 <∞,

o`uεn=khXn, θik, alors la suite des boulesB(0, n⁻¹^δ)n’est pas de Borel-Cantelli pourTθ.

Remarquons que les suite de boulesB(0, n⁻¹^δ)avecδ < dne peuvent pas ˆetre de Borel-Cantelli, car la somme de leurs mesures est finie.

Dans la démonstration du lemme 2.1, on peut sans difficultés remplacerdpar δ, et on obtient de même

Lemme 2.4. Soitδ >0. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe (Xn)n∈N, une suite de vecteurs `a coefficients entiers de normes strictement croissantes, telle queP

|X |^δ⁺¹^δ khX , θik^δ⁺¹¹ <∞.

(15)

Il en r´esulte

Proposition 2.5. Soitδ ≥ d. Siθ n’appartient pas `a Θ^d_l(τ)pour unτ > _d^δ −1, les suite de boulesB(0, n⁻¹^δ)ne sont pas de Borel-Cantelli pourTθ.

En effet, supposons qu’il existeτ avecτ > ^δ_d−1tel queθn’appartienne pas

`aΘ^d_l(τ). Alors pour toutkassez grand,εl(k)< k^−d(1+τ). On a donc k⁻¹(k^δεl(k))^δ⁺¹¹ ≤k⁻¹⁻^d+dτ^d⁺¹⁻^δ

On ad+dτ −δ > 0, donc la propriété (ii) du lemme 2.4 est vérifiée et la proposition 2.3 s’applique.

Corollaire 2.6. S’il existeτ > 0, tel que θ n’appartienne pas `a Θ^d_l(τ), alors la translationTθ ne v´erifie pas la loi du logarithme.

En choisissantd < δ < d(1 +τ), la suite de boules B(0, n⁻¹^δ)n’est pas de Borel-Cantelli d’après la proposition 2.5. D’après la démonstration du lemme 1.2, on ne peut pas alors avoirlim sup_n→∞ ⁻^log_log^kT^θ_nⁿ^(x)k > ¹_δ,d’où

lim sup

n→∞

−logkT_θⁱ(x)k logn < 1

d.

3 Relation de transfert entre les Θ

^d_l

(τ ) et les Θ

^d_s

(τ )

3.1 Démonstration du théorème de transfert

Nous montrons le théorème 3 en en donnant une version plus précise. Cela complétera la démonstration des théorèmes 1 et 2. Nous en déduirons également une variante du théorème 5 avec une condition portant sur les approximations simultanées.

Th´eor`eme 6. (i) Quels que soienth >0etdentier non nul on a εl(h)≤ 1

Ch^d−1 εs(Ch^d), o`uC = _2(d+1)¹ .

(ii) Soientτ > 0etη >0. Silim suph^d(1+τ)εl(h)< η, alors lim supq ¹⁺

τ

d+(d−1)τεs(q)≤C^′η^d2+d⁽¹^d⁻¹⁾^τ, o`uC^′est une constante strictement positive.