TES 2 : Exercices sur le logarithme népérien 1. Résoudre les équations suivantes :
a) ln (4x ² – 1) = 0
b) ln (x) + ln (3)= ln (5 – x) c) ln(x) = – 1
d) 2(ln x) ² – 3 ln x – 5 = 0 (on pourra poser t = ln x) e) ln (2x 3+ x) – 2 ln (x) = 1
2. Résoudre les inéquations suivantes : a) ln (x + 3) ln (5 – x)
b) ln(x) > 0 c) 2 ln (x) 4
d) 3ln(x) + 1 < ln (x ²)
e) Trouver le plus petit entier n tel que 0,98 n 0,5 3. Etudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = (1 – ln x) (2 + ln x) b) f (x) = 2x ln (1 – x) c) f (x) = (ln x) ² – 9 4. Calculs de dérivées
a) f (x) = 3 x ln x + ex b) f (x) = ln x
x c) f (x) = (ln x) ² + 1
lnx d) f(x)= ln (3 x ² + x +1) 5. Déterminer des primitives
• Trouver toutes les primitives des fonctions suivantes : a) f (x) = 2 x + 1
x – 2 x3 b) f (x) = 2x
x² +1 c) f (x) = 3– 5 x ² – 8
x
• Trouver la primitive qui s’annule pour la valeur a : a) f (x) = x + 2
x et a = 1 b) f (x) = 8
2 x +1 et a = 0
6. Etudier les limites aux bornes de leur ensemble de définition des fonctions suivantes : a) f (x) = 2x + 3 ln x
b) f (x) = 2x ln x c) f (x) = 3 ln x
x d) f(x)= 2x – ln x e) f(x) = x ² ln x – 3x 7. Etude de fonctions
TD 3 page 83 et TD 4 page 84 (on rectifiera une erreur d’énoncé à la question 1 a) : Montrer que g’(x) =1 – ln x
x ² .
Etudier le signe de 1 – ln x et en déduire les variations de g sur] 0 ; + [
