Exponentielle-Logarithme : le retour
1.Limites de l’exponentielle a) Limite en +∞
Une démonstration à savoir refaire Pour tout ∶ ≥ + 1
On pose ( ) = − − 1. ( ) = − 1 est positive si et ssi ≥ 1 soit ≥ 0.
Le minimum de est (0) = 0, donc pour tout ∶ ( ) ≥ 0 et ≥ + 1
D’après le théorème de comparaison, comme lim→ + 1 = +∞, lim
→ = +∞
b) Limite en −∞
On peut écrire = . Comme lim
→ − = +∞ et
→lim = +∞, on en déduit que lim
→ = +∞
par composée, donc lim
→ = 0 par quotient.
On a finalement lim
→ = 0
c)Comparaison avec
Montrons que, pour tout > 0, ≥ : On pose ( ) = − , on a ( ) = − , d’après le a)
′( ) ≥ 0 pour tout donc est croissante sur R.
Comme (0) = 1, est positive sur [0 ; +∞[, ce qui prouve l’affirmation.
Il en résulte que, pour tout > 0, ≥ donc par comparaison lim
→ = +∞
En −∞, la forme indéterminée est (0 × ∞). On écrit = − pour se ramener à la limite précédente, on a lim
→ = 0
On retient que dans les produits, à l’infini l’exponentielle l’emporte sur .
d) Comparaison avec une puissance de On écrit pour > 0 : =
×
= = .
Comme = et que par composée lim
→ =
+∞, on a lim
→ = +∞
On démontre aussi que lim
→ = 0
Dans les produits, à l’infini l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de
2. Limites du logarithme
Les limites du logarithme se déduisent de celle de l’exponentielle en échangeant et
lim→ ln = +∞ et lim
→ ln = −∞
Comparaison avec : comme l’exponentielle l’emporte sur , le logarithme est un loser :
lim→ = 0 et lim
→ × ln = 0 3. Fonctions composées
a)Dérivée de
Théorème : la dérivée de est ′ .
En particulier la dérivée de est . b) Dérivée de ln
La fonction = ln est définie quand > 0.
Sa dérivée est .
En particulier la dérivée de ln ( + ) est c)Primitives
On en déduit que a pour primitive ln (en fait plus précisément ln| |
a pour primitive ln| + |
′ a pour primitive . d) Exemples
Calculer la dérivée des fonctions et ln ( + 1) Donner une primitive des fonctions et
4. La fonction exponentielle
Il y a une seule fonction définie et dérivable sur R, égale à sa dérivée, vérifiant (0) = 1
Nous allons démontrer l’unicité d’une telle fonction, son existence sera admise
Tout ce qui suit est ROC. L’argument de base est qu’une fonction dérivable dont la dérivée est nulle est constante.
Soit une fonction dérivable et égale à sa dérivée et qui vérifie (0) = 1
a) Alors pour tout : ( ) × (− ) = 1 :
Posons ( ) = ( ) × (− ). On va dériver avec la formule + ′.
La dérivée de ( ) est ( ) (on a fait l’hypothèse que est égale à sa dérivée
La dérivée de (− ) est − ′(− ) (dérivée d’une composée) donc − (− )
Finalement
( ) = ( ) × (− ) + ( ) × − (− ) = 0 est donc constante, et (0) = (0) × (−0) = 1.
Ainsi pour tout : ( ) = 1, ce qui signifie ( ) × (− ) = 1
b) Conséquence : ne s’annule jamais et reste positive sur R
ne s’annule jamais car si ( ) = 0, on ne peut pas avoir ( ) × (− ) = 1
Si on avait, pour un certain réel : ( ) < 0, comme (0) = 1, passerait d’une valeur positive (en 0) à une valeur négative (en ). Comme est continue
sur R (parce qu’elle est dérivable), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annulerait au moins une fois entre 0 et . ne s’annulant jamais, elle ne peut pas changer de signe donc reste positive.
c) Il y a une seule fonction
Prenons , deux fonctions égales à leur dérivée et vérifiant (0) = (0) = 1
Posons = et dérivons-la : = = 0.
est donc constante, et comme (0) = 1, les deux fonctions , sont confondues.
Cette unique fonction est la fonction exponentielle, notée exp ( ) (ou )
On a prouvé que : pour tout : exp( ) > 0 et exp( ) × exp(− ) = 1
d) Pour tous réels et : exp( + ) = exp ( ) × exp ( )
Preuve : posons ( ) = ( )
( ) et dérivons.
La dérivée de exp ( + ) est exp ( + ) (encore la dérivée d’une composée)) donc = 0 et est constante.
Comme (0) = ( )
( ) = exp ( ), on a pour tout : ( ) = (0) = exp ( ) donc pour tout ∶
( )
( ) = exp ( ) ce qui s’écrit exp( + ) = exp ( ) × exp ( ).
On a bien obtenu toutes les propriétés algébriques de l’exponentielle
