E566 - Le tournoi [*** à la main]
Problème proposé par Augustin Genoud
Les cinq équipes A, B, C, D, E disputent un tournoi dans lequel chacune joue une seule fois contre les quatre autres équipes. On sait que l’équipe A a battu C par 3 à 2 et qu’il n’y a pas eu deux scores identiques sur toutes les parties du tournoi (4 à 2 est identique à 2 à 4). Pour chaque match, on a attribué 2 points à l’équipe gagnante, 0 point à la perdante et 1 point à chacune en cas de match nul.
Dans le tableau ci-dessous, on trouve, par ligne, pour chacune des équipes, les informations suivantes :
Dans la première colonne, l’équipe;
Dans la deuxième colonne, le rang;
Dans la troisième colonne, le nombre de buts marqués;
Dans la quatrième colonne, le nombre de buts reçus;
Dans la dernière colonne, le nombre de points obtenus.
Quels sont les scores de tous les matches ? Solution de Raymond Bloch.
10 rencontres ont eu lieu, pour un total de 28 buts. Les 10 plus petits scores distincts 0/0, 1/1, 2/2, 3/3, 0/1, 0/2, 0/3, 1/2, 1/3, 2/3
totalisent 30 buts. L’unique façon de réduire ce total de 2 consiste à supprimer le score 3/3 et à lui substituer le score 0/4. Nous connaissons donc déjà les 10 scores du tournoi :
0/0, 1/1, 2/2, 0/1, 0/2, 0/3, 0/4, 1/2, 1/3, 2/3.
Les équipes A, B et C ayant 4 points, un nombre pair, ont réalisé 0 ou 2 matches nuls. Les équipes E et D ayant un score impair, ont réalisé 1 ou 3 scores nuls. Sachant que 3 matches nuls ont été constatés – 0/0, 1/1, 2/2 - , l’unique disposition possible pour les 3 scores nuls est du type PP’, PD, P’E où P et P’ sont deux des équipes « paires » A, B ou C.
Mais C a marqué 8 buts et encaissé 4 buts, et a perdu 2/3 contre A : l’unique série de scores donnant 4 points à C est 2/3, 4/0, 2/0 et 0/1. Donc C a réalisé 0 score nul, ce sont donc A et B qui sont P et P’ et qui ont réalisé chacun 2 scores nuls. Récapitulons :
A a 1 victoire 3/2 contre C, 2 nuls contre B et D, 1 défaite contre E. (*) B a 2 nuls contre A et E, et 1 victoire et 1 défaite contre C et D. (*)
C a une défaite 2/3 contre A, 1 autre défaite 0/1 contre B et 2 victoires 4/0 et 2/0 contre D et E.
D a 1 victoire contre B, 1 nul contre A et 2 défaites contre C et E.
E a 2 victoires contre A et D, 1 nul contre B et 1 défaite contre C.
Il reste à affecter les scores à chaque match en respectant les nombres de buts marqués et encaissés par chacun, d’où le résultat :
AB : 2/2 ; AC : 3/2 ; AD : 0/0 ; AE : 1/3.
BC : 1/0 ; BD : 0/3 ; BE : 1/1.
CD : 4/0 ; CE : 2/0.
DE : 1/2.
(*) A ce stade, D et E sont encore permutables comme adversaires de A et B. L’ambigüité sera levée à l’étape suivante.
E 1 6 5 5
C 2 8 4 4
A 3 6 7 4
B 4 4 6 4
D 5 4 6 3
