E328 Le tournoi de matheux [**** à la main]
Solution
On désigne par a (i = 1 à 7) les âges des membres de l’équipe A et par i b l’âge du benjamin 1 de l’équipe B avec b193 .
Les restes calculés modulo a des divisions respectives de i b ,1 b +1, 1 b +2, 1 b +3, 1 b +4, 1 b +5 1 et b +6 par 1 a sont sept entiers relatifs consécutifs identiques quel que soit i variant de 1 à 7. i Il en résulte que :
1) tous les entiers a sont i 7
2) l’âge d’Hippolyte qui est égal à la somme de ces restes est un multiple de 7.
La recherche purement manuelle des valeurs possibles de b et des séquences 1
correspondantes des a est réalisable mais, il est vrai, fastidieuse. Pour la faciliter, il est i logique de rechercher en priorité les entiers b qui ont au moins 6 diviseurs > 7. On obtient 1 ainsi les valeurs :
60 = 22.3.5 qui a 6 diviseurs > 7 et les a qui donnent la même somme S des restes des i divisions des b1 j (j=0 à 6) par a sont respectivement 7, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 avec S = i 21
72 = 23.32 qui a 7 diviseurs > 7 et les a sont à choisir dans l’ensemble de huit entiers {7, 8, i 9, 12, 18, 24, 36, 72} avec S = 21
80 = 24.5 qui a 6 diviseurs > 7 et les a sont à choisir dans l’ensemble de sept entiers {7, 8, i 10, 16, 20, 40, 80} avec S = 21
84 = 22.3.7 qui a 6 diviseurs >7 et les a sont à choisir dans l’ensemble de sept entiers {7, 12, i 14, 21, 28, 42, 84} avec S = 21
90 = 2.32.5 qui a 7 diviseurs > 7 et les a sont à choisir dans l’ensemble de huit entiers {7, 9, i 10, 15, 18, 30, 45 90} avec S = 21
On poursuit la recherche manuelle des valeurs possibles de b en incrémentant d’une puis 1 deux puis trois…unités chacune des cinq valeurs précédemment retenues.
Un tableur facilite évidemment les choses. Grâce à lui, on établit un grand tableau à double entrée dont la première ligne donne les valeurs possibles de a comprises entre 7 et 99 et la i première colonne les valeurs possibles de b 1 93. Chaque case du tableau contient une formule très simple qui donne la somme des restes des divisions de b ,1 b +1, 1 b +2, 1 b +3, 1
b +4, 1 b +5 et 1 b +6 par 1 a . On retient les valeurs de i b pour lesquelles sur une même ligne il 1 y a au moins 7 cases qui donnent la même somme des restes.
On obtient le tableau condensé ci-après dans lequel ont été coloriées d’une même couleur (bleu = 21, vert = 28, jaune = 35) les cases d’une même ligne qui donnent la même somme:
Dès lors, la solution se déduit logiquement à partir du dialogue entre Hippolyte et les membres de l’équipe A.
Hippolyte : " Les âges des membres de B sont des entiers consécutifs. Quand je divise ces âges par votre âge, la somme des 7 restes est égale à mon âge. Il est bien connu que vous avez tous des âges différents. Quel est mon âge et quels sont les âges des membres de B?"
Après mûre réflexion, tous les membres de A répondent qu'ils ne peuvent pas répondre.
Si les membres de A ne peuvent pas répondre, c’est qu’ils sont tous devant des solutions multiples. Or il y a des lignes dont une case coloriée appartient à une colonne qui a seulement cette même case coloriée.
C’est le cas de la ligne b = 84. Il y a 7 valeurs possibles des 1 a parmi lesquelles i a = 14, 3 a = 5 28, a = 42 et 6 a = 84 . Si 7 b = 84 était solution, alors les quatre membres de A âgés de 14, 28, 1 42 et 84 ans diraient tous en chœur qu’ils connaissent tous les âges des membres de B. Ce n’est pas le cas.
On supprime alors la ligne b = 84. On peut faire de même avec la ligne 1 b = 80 car pour les 1 âges 40 et 80 des membres de A il y a une seule case coloriée.
On est alors ramené au tableau suivant :
Le même raisonnement que précédemment amène à supprimer la ligne b = 62 (pour 1 a = 21, 5 il y a une seule case coloriée). D’où le nouveau tableau :
Cette fois-ci, c’est la ligne b = 60 qui disparaît (pour 1 a = 20 et 5 a = 60 , il y a encore une 7 seule case coloriée) mais on ne peut pas aller au-delà :
Les membres de A ne peuvent pas répondre car quels que soient les âges a , il y a toujours i deux au moins réponses possibles.
"Vous avez raison, leur rétorque Hippolyte, mais sachez que le vétéran de votre équipe est plus jeune que le benjamin de B"
Si le vétéran de A est plus jeune que le benjamin de B, alors les valeurs b = 72 et 1 b = 90 ne 1 sont possibles que si le vétéran de A a respectivement 36 ans et 45 ans.
On a donc cinq solutions possibles définies par les âges suivants des équipes A et B : A = {7, 8, 9, 12, 18, 24, 36} et B = { 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78}
A = {8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} et B = {73, 74, 75, 76, 77, 78, 79}
A = {7, 9, 10, 15, 18, 30, 45} et B = {90, 91, 92, 93, 94, 95, 96}
A = {9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} et B = {91, 92, 93, 94, 95, 96, 97}
A = {9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} et B = {92, 93, 94, 95, 96, 97, 98}
Il suffit de quelques secondes pour que cette fois-ci l’un des membres de A donne les âges des membres de B ainsi que l'âge d'Hippolyte.
Si l’un des membres de A peut répondre, c’est qu’il est devant une solution unique. Le seul qui est dans cette situation a 72 ans (voir configuration n°2)
Conclusion : les âges de A sont respectivement de 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72 ans. Ceux de B sont respectivement de 73, 74, 75, 76, 77, 78 et 79 ans. Enfin Hippolyte a 28 ans.
