E573. Le jeu des triplets
Problème proposé par Augustin Genoud
Une bande de papier est formée de n cases juxtaposées sur une seule ligne (5 ≤ n ≤21). Chaque case ne peut contenir qu’un pion. Albert et Benoît jouent à tour de rôle en posant un pion sur n’importe quelle case. Le premier joueur qui réussit à faire que trois pions soient adjacents gagne. C’est toujours Albert qui
commence.
Pour quelles valeurs de n, Albert perd-il, lorsque les deux joueurs jouent parfaitement ? Existe-t-il une méthode permettant de connaître les parties perdues par Albert lorsque n > 21 ? Solution partielle proposée par Daniel Collignon
Lorsqu'un joueur joue ...(..X..)..., le joueur suivant n'a pas intérêt à jouer dans la zone d'influence (entre parenthèse) sous peine de créer une situation perdante .XX, X.X ou XX.
Pour n impair, voici une stratégie pour Albert : il pose un pion sur la case centrale ...X... et joue
symétriquement à Benoît, sauf si ce dernier crée une situation perdante (ce qui finit par arriver le nombre de cases vides décroissant strictement) auquel cas Albert gagne en la complétant en XXX
Voyons à présent les cas pairs :
n=6 est perdant : la zone laissée par A peut être occupée par B (exemple : il pose son pion décalé de 3 cases par rapport au coup initial de A).
(A..)...
(.A..)..
(..A..).
n=8 est gagnant : .(..A..).. et B laisse une zone qui peut être occupée par A n=10 est gagnant : ..(..A..)... idem
n=12 est perdant : on donne à chaque fois une réponse de B où quel que soit le coup suivant de A, B occupera la dernière zone
(A..)...(..B..).
(.A..)..(..B..).
(..A..).(..B..).
.(..A..).(..B..) ..(..A..).(..B.) ...(..A..).(..B)
n=14 est gagnant : ....(..A..)...
(B..).(..A..)..(..A) (.B..)(..A..)(..A..) (A..).(..A..)(B..)..
(A..).(..A..)(.B..).
(.A..)(..A..)(..B..) A poursuivre...
