E109
Les quatre termes initiaux étant pairs, par récurrence, tous les termes seront pairs. Considérons 629 termes consécutifs de la suite, formant 626 séquences de 4 termes consécutifs. D’après le principe de Dirichlet, puisqu’il y a théorique- ment54 = 625séquences distinctes formées de 4 chiffres pairs, il y a donc une répétition. Quitte à prolonger la suite à gauche, le motif entre deux répéti- tions doit se répéter, et la suite est clairement périodique. Or, en prolongeant la suite à gauche, nous voyons rapidement apparaître la séquence demandée : ...,8,8,8,0,4,0,2,6,2,0,0,8. A l’aide d’un tableur, il est aisé de vérifier que la péri- ode de la suite est de 312, ce qui implique que 313 séquences n’apparaîtront jamais dans cette suite, comme par exemple 0000 (suite nulle) ou 2000 (autre suite formée de 312 séquences absentes de celle considérée ici). De plus, la première apparition de 8,8,8,0 aura lieu à partir du rang 305.
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