Alignement de séquences (suite)

Alignement de séquences (suite)

Nadia El-Mabrouk

Graphe d’édition pour l’alignement de séquences

b a a

0 1 2 3

a 1 1 1 2

b 2 1 2 2

q

f 1

2

b e

[ ] [ ]

[ ]

a e

[ ] [ ]

[ ]

b e

[ ]

[ ]

[ ]

a e

[ ] [ ]

[ ]

b e

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

b e

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Graphe orienté, dont les arêtes sont étiquetées.

S

T

|S| = m, |T| = n.

• Correspondance bijective entre les alignements de S avec T et les chemins de q= (0,0) à f= (m,n).

• D(i,j): Valeur maximale d’un chemin de q= (0,0) au sommet (i,j) . Trouver la valeur maximale D(m,n) d’un chemin de q=

(0,0) à f= (m,n).

D(0,0) = 0;

Pour j = 1 à n faire

D(0,j) = D(0,j) + v( );

Pour i=1 à m faire

{ D(i,0) = D(i-1,0) + v ( );

Pour j=1 à n faire

D(i,j) = max {D(i-1,j) + v( ) , D(i,j-1) + v ( ), D(i-1,j-1)+ v ( )}

}

Retourner (D(m,n));

Te _j

[ ]

S_i

[ ]

Te _j

[ ]

S_i

[ ]

Expression régulière

• Aligner S = « AT » avec R = « (A|C)T(T|G) »

A

C

T

T

G

q f

On note Q l’ensemble des états de l’automate

On note l (q) l’étiquette d’un état q.

Expression régulière

A

C

T

T

G A

C

T

T

G A

C

T

T

G

A

T

e e

[ ] [ ]

C e

[ ]

T e

]

[ [

]

G e

] [

e e

[ ]

e e

[ ]

e e

[ ] ^{[ ]}

e e

[ ]

• Aligner (A|C)T(T|G) avec AT

(0,q)

(m, f)

Expression régulière

• Aligner S = « AT » avec R = « (A|C)T(T|G) »

A

C

T

T

G A

C

T

T

G A

C

T

T

G

A

T

A A

[ ]

[ ]

C A

[ ]

e C

[ ]

e e

[ ] [ ]

C e

[ ]

T e

]

[ [

]

G e

] [

e e

[ ]

e e

[ ]

e e

[ ] ^{[ ]}

e e

[ ]

(0,q)

(m, f)

Expression régulière

• Aligner S = « AT » avec R = « (A|C)T(T|G) »

A

C

T

T

G A

C

T

T

G A

C

T

T

G

A

T

A A

[ ]

[ ]

C A

[ ]

e C

[ ]

e e

[ ] [ ]

C e

[ ]

T e

]

[ [

]

G e

] [

e e

[ ]

e e

[ ]

e e

[ ] ^{[ ]}

e e

[ ]

(0,q)

(m, f)

• Correspondance bijective entre les alignements de S avec les mots de L(R) et les chemins de q= (0,0) à f= (m,n).

D(0, q) = 0;

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire D(0,q) = max _{t q} {D(0,t) + v( )};

Pour i=1 à m faire

{ D(i, q) = D(i-1, q) + v ( );

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire { D(i,q) = max _{t q} {D(i,t) + v( )};

Si l(q) ≠ e alors

D(i,q) = max {max {D(i,q), D(i-1,q) + v( ), max_{t q} {D(i-1,t) + v( )};

}

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire

D(i,q) = max {D(i,q), max_{t (≠ q)  q} {D(i,t) + v( )};

}

Retourner (D(m,f));

S_i

[ ]

l(q)e

[ ]

l(q)e

[ ]

l(q)S_i

[ ]

l(q)e

[ ]

Recherche de R dans S à k erreurs près

D(0, q) = 0;

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire D(0,q) = max _{t q} {D(0,t) + v( )};

Pour i=1 à m faire

{ D(i, q) = D(i-1, q) + v ( );

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire { D(i,q) = max _{t q} {D(i,t) + v( )};

Si l(q) ≠ e alors

D(i,q) = max {max {D(i,q), D(i-1,q) + v( ), max_{t q} {D(i-1,t) + v( )};

}

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire

D(i,q) = max {D(i,q), max_{t (≠ q)  q} {D(i,t) + v( )};

}

Retourner (D(m,f));

S_i

[ ]

l(q)e

[ ]

l(q)e

[ ]

l(q)S_i

[ ]

l(q)e

[ ]

Recherche de R dans S à k erreurs près

D(0, q) = 0;

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire D(0,q) = max _{t q} {D(0,t) + v( )};

Pour i=1 à m faire

{ D(i, q) = max {0, D(i-1, q) + v ( )};

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire { D(i,q) = max _{t q} {D(i,t) + v( )};

Si l(q) ≠ e alors

D(i,q) = max {max {D(i,q), D(i-1,q) + v( ), max_{t q} {D(i-1,t) + v( )};

}

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire

D(i,q) = max {D(i,q), max_{t (≠ q)  q} {D(i,t) + v( )};

}

Retourner (D(m,f));

S_i

[ ]

[ ]

l(q)e

[ ]

l(q)S_i

[ ]

l(q)e

[ ]

Recherche de R dans S à k erreurs près

D(0, q) = 0;

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire D(0,q) = max _{t q} {D(0,t) + v( )};

Pour i=1 à m faire

{ D(i, q) = max {0, D(i-1, q) + v ( )};

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire { D(i,q) = max _{t q} {D(i,t) + v( )};

Si l(q) ≠ e alors

D(i,q) = max {max {D(i,q), D(i-1,q) + v( ), max_{t q} {D(i-1,t) + v( )};

}

Pour q in Q-{q} en ordre topologique faire

D(i,q) = max {D(i,q), max_{t (≠ q)  q} {D(i,t) + v( )};

}

Retourner toutes le positions i telles que (D(i,f)) ≤ k;

S_i

[ ]

[ ]

l(q)e

[ ]

l(q)S_i

[ ]

l(q)e

[ ]

Conclusion

• Alignement global de deux séquences S et T (|S|

≈ |T| = n)

–

Distance d’édition (Levenshtein) ou valeur de similarité.

–

Algorithme de programmation dynamique en O(n

) en temps et en espace.

– Algorithme de Hirschberg: stratégie « Diviser pour Reigner ». O(n

) en temps et O(n) en espace.

–

Optimisation en temps: calculer la table autour d’une bande. Temps et espace O(kn) où k est la distance

d’édition.

Conclusion

• Alignement local de deux séquences S et T (|S| ≈ |T| = n)

– Valeur de similarité seulement.

– Algorithme de programmation dynamique en

O(n

) en temps et en espace.

Conclusion

• Généralisation de l’alignement local/global aux « gaps »

– Plutôt que de considérer chaque « indel » séparément, les regrouper en « gaps ».

– Dans le cas d’une pondération quelconque des

« gaps », algorithme O(n

) en temps et en espace.

– Dans le cas d’une pondération affine, algorithme

en O(n

).

Conclusion

• Recherche d’une séquence S dans une

séquence T à k erreurs près (|S|=m, |T| = n, m

<< n)

– Distance d’édition (Levenshtein) ou valeur de similarité.

– Algorithme de programmation dynamique en

O(mn) en temps et en espace.

Conclusion

• Alignement d’un texte S avec une expression régulière R (|S|≈|R| = n)

–

Algorithme de programmation dynamique en O(n

) en temps et en espace.

• Recherche d’une expression régulière R dans un texte S à k erreurs près (|S|= n, |R| = m, n>>m)

–

Algorithme de programmation dynamique en O(mn)

en temps et en espace.