E105 – Les séquences de Beatty (suite et fin) Solution
Les séquences complémentaires des séquences S pour i = 1,2,3,4,5 qui complètent les
i« trous » laissés par les S pour donner l’ensemble des entiers naturels N sans omission ni
irépétition, sont définies par Ent[ nA/(A-1)] où Ent[ ] désigne la partie entière par défaut, n entier quelconque = 1,2,3,….. et A est le nombre irrationnel qui est égal successivement à
π, e, , 3 ,
2 .
Le tableau ci-après détaille les résultats obtenus pour n variant de 1 à 27.
n Ent[nA] Ent[nA/A-1] Ent[nA] Ent[nA/A-1] Ent[nA] Ent[nA/A-1] A = e Ent[nA] Ent[nA/A-1] Ent[nA] Ent[nA/A-1]
1 1,41421356 1 3 1,73205081 1 2 3,14159265 3 1 2,71828183 2 1 1,61803399 1 2
2 2,82842712 2 6 3,46410162 3 4 6,28318531 6 2 5,43656366 5 3 3,23606798 3 5
3 4,24264069 4 10 5,19615242 5 7 9,42477796 9 4 8,15484549 8 4 4,85410197 4 7
4 5,65685425 5 13 6,92820323 6 9 12,5663706 12 5 10,8731273 10 6 6,47213595 6 10
5 7,07106781 7 17 8,66025404 8 11 15,7079633 15 7 13,5914091 13 7 8,09016994 8 13
6 8,48528137 8 20 10,3923048 10 14 18,8495559 18 8 16,309691 16 9 9,70820393 9 15
7 9,89949494 9 23 12,1243557 12 16 21,9911486 21 10 19,0279728 19 11 11,3262379 11 18
8 11,3137085 11 27 13,8564065 13 18 25,1327412 25 11 21,7462546 21 12 12,9442719 12 20
9 12,7279221 12 30 15,5884573 15 21 28,2743339 28 13 24,4645365 24 14 14,5623059 14 23
10 14,1421356 14 34 17,3205081 17 23 31,4159265 31 14 27,1828183 27 15 16,1803399 16 26
11 15,5563492 15 37 19,0525589 19 26 34,5575192 34 16 29,9011001 29 17 17,7983739 17 28
12 16,9705627 16 40 20,7846097 20 28 37,6991118 37 17 32,6193819 32 18 19,4164079 19 31
13 18,3847763 18 44 22,5166605 22 30 40,8407045 40 19 35,3376638 35 20 21,0344419 21 34
14 19,7989899 19 47 24,2487113 24 33 43,9822972 43 20 38,0559456 38 22 22,6524758 22 36
15 21,2132034 21 51 25,9807621 25 35 47,1238898 47 22 40,7742274 40 23 24,2705098 24 39
16 22,627417 22 54 27,7128129 27 37 50,2654825 50 23 43,4925093 43 25 25,8885438 25 41
17 24,0416306 24 58 29,4448637 29 40 53,4070751 53 24 46,2107911 46 26 27,5065778 27 44
18 25,4558441 25 61 31,1769145 31 42 56,5486678 56 26 48,9290729 48 28 29,1246118 29 47
19 26,8700577 26 64 32,9089653 32 44 59,6902604 59 27 51,6473547 51 30 30,7426458 30 49
20 28,2842712 28 68 34,6410162 34 47 62,8318531 62 29 54,3656366 54 31 32,3606798 32 52
21 29,6984848 29 71 36,373067 36 49 65,9734457 65 30 57,0839184 57 33 33,9787138 33 54
22 31,1126984 31 75 38,1051178 38 52 69,1150384 69 32 59,8022002 59 34 35,5967478 35 57
23 32,5269119 32 78 39,8371686 39 54 72,256631 72 33 62,5204821 62 36 37,2147817 37 60
24 33,9411255 33 81 41,5692194 41 56 75,3982237 75 35 65,2387639 65 37 38,8328157 38 62
25 35,3553391 35 85 43,3012702 43 59 78,5398163 78 36 67,9570457 67 39 40,4508497 40 65
26 36,7695526 36 88 45,033321 45 61 81,681409 81 38 70,6753275 70 41 42,0688837 42 68
27 38,1837662 38 92 46,7653718 46 63 84,8230016 84 39 73,3936094 73 42 43,6869177 43 70
2
A A 3 Aπ Aφ
