Problème A5908 : Concaténations à la chaîne
1. Comme 192−10.62 = 1, on a pour tout n ∈ N,(19−6√
10)n(19 + 6√
10)n= 1 Or (19 + 6√
10)n = pn+qn√
10 et (19−6√
10)n = pn−qn√ 10 où
pn=
bn/2c
P
k=0 n 2k
62k10k19n−2k etqn=
bn−1/2c
P
k=0 n 2k+1
62k+110k19n−2k−1
La concaténation deq2n et de12 donne doncp2n et comme lespnsont tous distincts nous avons trouvé une famille infinie de solutions dont la première est192 = 361.
On peut remarquer qu’en multipliant l’égalité par 4 on obtient40qn2+ 4 = 4p2n c’est à dire que la concaténation de (2qn)2 et de 22 donne (2pn)2.
De même, en multipliant l’égalité par 9 on obtient 90qn2 + 9 = 9p2n c’est à dire que la concaténation de(3qn)2 et de 32 donne (3pn)2. De plusqnest clairement pair puisque divisible par 6 donc en notant qn = 2rn et en multipliant la dernière égalité par 25 on obtient que 9000r2n+ 225 = 225p2n c’est à dire que la concaténation de(3rn)2 et de152 est (15pn)2 ce qui fournit une quatrième famille de solutions.
2. Pour 3 carrés, c’est en quelque sorte plus simple puisqu’il suffit de prendre n’importe quel entier a non multiple de 5, de noter n le nombre de chiffres de4a2 et on a alors (10n+ 2)a qui convient. Par exemple, pour a = 29, 4a2 = 3364 a 4 chiffres donc 29×10002 = 290058 convient : son carré est la concaténation de 841 et de deux fois3364
3. Pour 4, il suffit de coupler les deux méthodes. Par exemple, 1900382 est la concaténation de36,1 et deux fois1444 = 382
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