E628. La roue tourne ****

E628. La roue tourne ****

Zig et Puce se rendent à la Fête à Neu-Neu où l’un des forains propose une attraction constituée de six paires de disques concentriques (voir figures ci-dessous) portant les étiquettes n° 4,5,6,7,8 et 9.

Dans chaque paire, le disque extérieur et le disque intérieur sont divisés en k secteurs angulaires identiques, avec k = numéro de l’étiquette.

Dans les k secteurs de chaque disque extérieur le forain a placé une fois pour toutes des jetons de k couleurs différentes.

Zig tire au sort l’étiquette k de la paire de disques avec laquelle il va jouer la partie.Puis il tire au sort un deuxième entier j compris entre 2 et k (2≤ j ≤ k) et place sur les k secteurs du disque intérieur k jetons de j couleurs différentes choisies parmi les couleurs disposées sur le disque extérieur.

Par exemple pour k = 6 et j = 3, on peut avoir la disposition suivante des jetons sur le disque extérieur et sur le disque intérieur:

Le forain fait tourner le disque intérieur secteur par secteur, k fois jusqu’à revenir à la position initiale.Zig gagne la partie si dans chaque position du disque intérieur, un seul jeton est de la même couleur que le jeton du disque extérieur placé dans le même secteur.

Zig place les k jetons sur le disque intérieur de manière à optimiser ses chances de gain. Quelle est la probabilité de gain de Zig ?

Pour les plus courageux : donner une formulation générale des couples (k,j) gagnants pour k quelconque > 2 et 2 ≤ j ≤ k.

En étudiant cas par cas les différentes roues, on répertorie tous les j qui permettent à Zig de gagner à coup sûr.

Par exemple, pour la roue n° 6 (6 secteurs et 6 couleurs extérieures) il y a 4 valeurs de j qui font gagner Zig : j= 2 , j= 3 , j= 4 et j= 5

Voir en annexe le tableau complet pour les 6 roues. (avec la disposition des couleurs intérieures)

La probabilité de gain de Zig est :

Prob = 1

6 ⋅ 2 3 + 1

6 ⋅ 2 4 + 1

6 ⋅ 4 5 + 1

6 ⋅ 4 6 + 1

6 ⋅ 6 7 + 1

6 ⋅ 7

8 = 3667 5040

Formulation générale : Il semblerait que :

Si k est pair alors les couples gagnants sont : (k , j ) 2≤ j≤k −1

Si k est impair premier alors les couples gagnants sont : (k , j ) 3≤ j≤k −2 et (k , k )

Si k est impair composé alors les couples gagnants sont : (k , j ) 2≤ j≤k −2 et (k , k )

Tableau des j qui font gagner Zig